2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学四模试卷含解析

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）

1113A．2 B．3 C．10 D．5

2．计算﹣8+3的结果是（ ） A．﹣11 B．﹣5 C．5 D．11

3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）

A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）

4．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）

A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9

5．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）

A．8 B．4 C．12 D．16

6．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是( )

A．

B．

C．

D．

7．﹣0.2的相反数是（ ） A．0.2 B．±0.2 C．﹣0.2 D．2

8．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数

9．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=3，则AE的弧长为（ ）

A．2 B．π

3C．2 D．3

10．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）

A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球

C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球 11．一、单选题

y在反比例函数

4x的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）

A． B． C． D．

12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，

1∠ADC=60°，AB=2BC=1，则下列结论：

13①∠CAD=30°②BD=7③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=4AD⑤S△APO=12，正确的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．

14．今年我市初中毕业暨升学统一考试的考生约有35300人,该数据用科学记数法表示为________人.

15．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2： 平均数（cm） 方差s2（cm2） 甲 561 3.5 乙 560 3.5 丙 561 15.5 丁 560 16.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择_____．

16．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，23）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．

17．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是_____．

18．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；求摸出的两个小球号码之和等于4的概率． 20．（6分）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，AE=BC， DF⊥AE，垂足为F，连接DE． 求证：AB=DF．

21．（6分）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表． 评估成绩n（分） 90≤n≤100 评定等级 A 频数 2 80≤n＜90 70≤n＜80 n＜70 B C D 15 6 根据以上信息解答下列问题： （1）求m的值；

（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）

（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．

22．（8分）观察下列等式：

第1个等式：

a1111（1）1323； 1111（）35235； 1111（）57257； 1111（）79279；

第2个等式：

a2第3个等式：

a3第4个等式：

a4…

请解答下列问题：按以上规律列出第5个等式：a5= = ；用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 23．（8分）在矩形ABCD中,点E在BC上,AEAD,DF⊥AE，垂足为F.求证.DFAB若FDC30,且

AB4,求AD.

24．（10分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下：

甲 7.2 9.69.67..3 4 6.58.59.99.6 乙 5..79.76..96.98.26.78.69.7 根据上面的数据，将下表补充完整： 甲 乙 4.0≤x≤4.9 5.0≤x≤5.9 1 ____ 0 ____ 6.0≤x≤6.9 1 _____ 7.0≤x≤7.9 8.0≤x≤8.9 2 ______ 1 _____ 9.0≤x≤10.0 5 _______ （说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0～7.9万元为良好，6.0～6.9万元为合格，6.0万元以下为不合格） 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 结论： 人员 甲 乙 平均数（万元） 8.2 8.2 中位数（万元） 8.9 8.4 众数（万元） 9.6 9.7 （1）估计乙业务员能获得奖金的月份有______个； （2）可以推断出_____业务员的销售业绩好，理由为_______．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 25．（10分）问题提出 （1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝62，求△ABC的外接圆半径R的值； 问题探究

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝86，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值； 问题解决

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝123，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．

26．（12分）如图，AB是

O的直径，AF是O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为点E，过点C作DA的平行线

与AF相交于点F，已知CD23，BE1．

1求AD的长； 2求证：FC是

O的切线．

x2x11·2227．（12分）先化简，再求值：x1x4x4x1，其中x是从-1、0、1、2中选取一个合适的数．

参

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D 【解析】

一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案. 【详解】

21根据题意 ：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=10=5.

故答案为D 【点睛】

此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那

m么事件A的概率P（A）=n.

2、B 【解析】

绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．依此即可求解． 【详解】

解：−8＋3＝−2． 故选B． 【点睛】

考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有1．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 3、A 【解析】

利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标． 【详解】

∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD， ∴A点与C点是对应点，

∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2， ∴点C的坐标为：（4，4） 故选A． 【点睛】

本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键． 4、A 【解析】

根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得. 【详解】

由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC，

∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，

OB23 ， ∴OB故选A．

【点睛】

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 5、A 【解析】

∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E， ∴DA=DB，EA=EC，

则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8， 故选A． 6、C 【解析】

从正面看到的图形如图所示：

，

故选C． 7、A 【解析】

根据相反数的定义进行解答即可. 【详解】

负数的相反数是它的绝对值，所以﹣0.2的相反数是0.2.故选A. 【点睛】

本题主要考查相反数的定义，熟练掌握这个知识点是解题关键. 8、A 【解析】

试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可． 故选A.

考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差 9、B

【解析】

∵四边形AECD是平行四边形， ∴AE=CD，

∵AB=BE=CD=3， ∴AB=BE=AE，

∴△ABE是等边三角形， ∴∠B=60°，

6023360∴AE的弧长=.

故选B.

10、A 【解析】

由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B. 11、B 【解析】

y

根据反比例函数

k

x中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．

【详解】

解：A、图形面积为|k|=1； B、阴影是梯形，面积为6；

1C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（2|k|）=1．

故选B． 【点睛】

y主要考查了反比例函数

kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常

考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的

1线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=2|k|．

12、D 【解析】

①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；

3111122和OD的长，可2②先根据三角形中位线定理得：OE=2AB=2，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=得BD的长；

③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断；

213SS⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=2OE•OC=8，

POEAOP12，代入可得结论．

【详解】

①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE=1，

∴△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=1， ∵BC=2， ∴EC=1， ∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°， ∴∠ACE=30°， ∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°， 故①正确；

②∵BE=EC，OA=OC，

11∴OE=2AB=2，OE∥AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

23112， 2Rt△EOC中，OC=2∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD=∠BAD=120°， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACD=90°，

371222Rt△OCD中，OD=，

∴BD=2OD=7，故②正确； ③由②知：∠BAC=90°，

∴S▱ABCD=AB•AC， 故③正确；

④由②知：OE是△ABC的中位线，

21又AB=2BC，BC=AD， 11∴OE=2AB=4AD，故④正确；

⑤∵四边形ABCD是平行四边形，

3∴OA=OC=2，

111338， ∴S△AOE=S△EOC=2OE•OC=2×2×2∵OE∥AB，

EPOE1∴APAB2， SS∴

POEAOP12，

3232∴S△AOP=3 S△AOE=38=12，故⑤正确；

本题正确的有：①②③④⑤，5个， 故选D． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13、1 【解析】

设购买篮球x个，则购买足球

50x个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x50x个，

，

的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可． 【详解】

设购买篮球x个，则购买足球根据题意得：

80x5050x3000x解得：

503．

x为整数， x最大值为1．

故答案为1． 【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 14、3.53×104 【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，

35300=3.53×104， 故答案为：3.53×104. 15、甲 【解析】

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】 ∵

x甲=x丙＞x乙=x丁 ，

∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵

S2甲＜S2丙 ，

∴选择甲参赛， 故答案为甲． 【点睛】

此题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 16、（-23，6） 【解析】

分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案． 详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，

由题意得，OA=6，AB=OC-23，

AB33， 则tan∠BOA=OA∴∠BOA=30°，

∴∠OBA=60°，

由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°， ∴∠B1OH=60°，

在△AOB和△HB1O，

B1HO＝BAOB1OH＝ABOOB＝OB1，

∴△AOB≌△HB1O，

∴B1H=OA=6，OH=AB=23， ∴点B1的坐标为（-23，6），

故答案为（-23，6）．

点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 17、2+2

【解析】

试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA． ∵PE⊥AB，AB=23，半径为2，

1∴AE=2AB=3，PA=2， 根据勾股定理得：PE=1，

∵点A在直线y=x上， ∴∠AOC=45°， ∵∠DCO=90°， ∴∠ODC=45°，

∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC=CD=2，

∴∠PDE=∠ODC=45°， ∴∠DPE=∠PDE=45°， ∴DE=PE=1， ∴PD=2

∵⊙P的圆心是（2，a）， ∴a=PD+DC=2+2．

【点睛】

本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的． 18、k≥-1 【解析】

首先讨论当k0时，方程是一元一次方程，有实数根，当k0时，利用根的判别式△=b2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可． 【详解】

1x,2方程有实数根； 当k0时，方程是一元一次方程：2x10，

2当k0时，方程是一元二次方程，b4ac44k0，

解得：k1且k0.

2综上所述，关于x的方程kx2x10有实数根，则k的取值范围是k1.

故答案为k1. 【点睛】

考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略k0 这种情况.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

119、 (1)见解析;(2)3.

【解析】

（1）画树状图列举出所有情况；

（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】 解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：

从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种． （2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，

∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=． 【点睛】

本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键. 20、详见解析. 【解析】

根据矩形性质推出BC=AD=AE，AD∥BC，根据平行线性质推出∠DAE=∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA即可． 【详解】

证明：在矩形ABCD中

∵BC=AD，AD∥BC，∠B=90°， ∴∠DAF=∠AEB，

∵DF⊥AE，AE=BC=AD， ∴∠AFD=∠B=90°， 在△ABE和△DFA中

∵ ∠AFD＝∠B，∠DAF＝∠AEB ，AE＝AD ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AB=DF. 【点睛】

本题考查的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质.解决本题的关键在于能够找到证明三角形

全等的有关条件.

21、（1）25；（2）8°48′；（3）．

【解析】 试题分析：（1）由C等级频数为15除以C等级所占的百分比60%，即可求得m的值；（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 试题解析：（1）∵C等级频数为15，占60%， ∴m=15÷60%=25；

（2）∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，

∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：×360°=28.8°=28°48′；

（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，

∴其中至少有一家是A等级的概率为：=．

考点：频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．

11111111100， （）， （）911（2）2n12n+122n12n+1（3）201 22、（1）9112【解析】

（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1． （3）运用变化规律计算 【详解】

1111=（）911； 解：（1）a5=9112（2）an=

1111=（）2n12n+122n12n+1；

11111111111=（1）+（）+（）++（）32352572199201 （3）a1+a2+a3+a4+…+a100211111111111200100=1++++=1==23355719920122012201201.

23、（1）证明见解析；（2）1 【解析】 分析：（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得； （2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案． 详解：（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， 又∵DF⊥AE， ∴∠DFA=90°， ∴∠DFA=∠B， 又∵AD=EA，

∴△ADF≌△EAB， ∴DF=AB．

（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠FDC=∠DAF=30°， ∴AD=2DF， ∵DF=AB， ∴AD=2AB=1．

点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质． 24、填表见解析；（1）6；（2）甲；甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多． 【解析】

（1）月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，去销售额中找到乙大于8.0的个数即可解题, （2）根据中位数和平均数即可解题. 【详解】 解：如图， 销售额 数量 x 人员 甲 乙 4.0≤x≤4.9 5.0≤x≤5.9 6.0≤x≤6.9 7.0≤x≤7.9 8.0≤x≤8.9 9.0≤x≤10.0 1 0 0 1 1 3 2 0 1 2 5 4 （1）估计乙业务员能获得奖金的月份有6个； （2）可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多． 故答案为0，1，3，0，2，4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多． 【点睛】

本题考查了统计的相关知识,众数,平均数的应用,属于简单题,将图表信息转换成有用信息是解题关键. 25、（1）△ABC的外接圆的R为1；（2）EF的最小值为2；（3）存在，AC的最小值为92．

【解析】

（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．证明∠AOC=90°即可解决问题；

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短； （3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE=CD=x．证明EC=【详解】

AC，构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题．

解：（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．

∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣10°＝45°， 又∵∠AOC＝2∠B， ∴∠AOC＝90°， ∴AC＝12，

∴OA＝OC＝1，

∴△ABC的外接圆的R为1．

（2）如图2中，作AH⊥BC于H．

∵AC＝86，∠C＝45°，

2∴AH＝AC•sin45°＝86×2＝83，

∵∠BAC＝10°，

∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，

根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短， 如图2﹣1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．

∵∠EOF＝2∠BAC＝20°，OE＝OF，OH⊥EF， ∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，

3∴EH＝OF•cos30°＝43•2＝1，

∴EF＝2EH＝2， ∴EF的最小值为2．

（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE＝CD＝x．

∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，

∴EC＝2AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，

∴EC的值最小时，AC的值最小，

∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°， ∴∠∠BEC+∠BCE＝10°， ∴∠EBC＝20°， ∴∠EBH＝10°， ∴∠BEH＝30°，

31∴BH＝2x，EH＝2x，

∵CD+BC＝23，CD＝x， ∴BC＝23﹣x

13x123x2＝x2﹣23x+432， 2∴EC2＝EH2+CH2＝（x）2+

∵a＝1＞0，

21232＝13时，EC的长最小， ∴当x＝﹣

此时EC＝18，

2∴AC＝2EC＝92，

∴AC的最小值为92． 【点睛】

本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． 26、（1）AD23；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先连接OD，由垂径定理，可求得DE的长，又由勾股定理，可求得半径OD的长，然后由勾股定理求得AD的长；

（2）连接OF、OC，先证明四边形AFCD是菱形，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线． 【详解】 证明：

1连接OD，

AB是O的直径，CDAB，

CEDE设ODx，

11CD23322，

BE1，

OEx1，

222在RtODE中，ODOEDE，

x2(x1)2(3)2，

解得：x2，

OAOD2，OE1， AE3，

2222ADAEDE3(3)23；

在RtAED中，

2连接OF、OC，

AF是O切线，

AFAB，

CDAB， AF//CD， CF//AD，

四边形FADC是平行四边形，

ABCD

ACAD

ADCD，

平行四边形FADC是菱形

FAFC， FACFCA， AOCO， OACOCA，

FACOACFCAOCA，

即OCFOAF90， 即OCFC， 点C在

O上，

FC是O的切线．

【点睛】

此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

127、2.

【解析】

1先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=x2，由于

x不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可． 【详解】

x2x11·x21x24x4x1,

=

x2x11•x1x1(x2)2x1

1x2=(x1)(x2)(x1)(x2)

=

x1x1x2

1=x2，

112. 当x=0时，原式=02