圆锥曲线上四点共圆解决策略
【摘要】圆锥曲线一直是高考的热点问题，本文针对圆锥曲线上的四点共圆问题提出两种解决策略，一是利用共圆定理，二是利用曲线系
【关键词】圆锥曲线；共圆；曲线系
一、圆锥曲线上四点共圆定理
若A，B，C，D为有心圆锥曲线mx2+ny2=1（m≠n）上四个不同的点，且直线AB与CD交于E，AB与CD倾斜角分别为α，β，则A，B，C，D共圆的充要条件是α+β=π.
证明设E（x0，y0），则直线AB参数方程为
x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t为参数），代入mx2+ny2=1，
并整理得（mcos2α+nsin2α）t2+2（mx0cosα+ny0sinα）t+（mx20+ny20-1）=0，
则EA?EB=|t1t2|=mx20+ny20-1mcos2α+nsin2α，
同理得EC?ED=mx20+ny20-1mcos2β+nsin2β.
因为A，B，C，D四点共圆的充要条件是EA?EB=EC?ED，
所以mcos2α+nsin2α=mcos2β+nsin2β，
即m+（n-m）sin2α=m+（n-m）sin2β.
因为m≠n，所以sin2α=sin2β，又α，β∈[0，π），
所以sinα=sinβ.
而直线AB与CD相交，所以α≠β，
由sinα=sinβα+β=π.
综上所述，A，B，C，D四点共圆的充要条件是α+β=π，即AB与CD斜率互为相反数.
二、圆锥曲线上四点共圆定理的应用
例1（2011年全国高考卷2理科第21题）已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A，B两点，P-22，-1关于O的对称点为Q，求证：A，P，B，Q四点共圆.
证明由P点坐标可知点P在椭 圆C′上，则点Q也在椭圆C′上.因为P，O，Q三点共线，故得PQ的方程为y=2x，又AB的方程为y=-2x+1，两直线斜率互为相反数，即两直线倾斜角互补，根据定理可知A，P，B，Q四点共圆.
例2（2016年高考四川卷文科第20题）已知椭圆x24+y2=1，过原点O且斜率为
12的直线l交椭圆于不同两点A，B，线段AB中点为M，直线OM与椭圆交于C，D.
求证：MA?MB=MC?MD.
证明设直线l的方程为y=12x+m，代入椭圆方程整理得x2+2mx+（2m2-2）=0，?txA+xB=-2m，因为M为线段AB的中点，所以xM=xA+xB2=-m，故yM=12m，所以M-m，12m，故直线OM的方程为y=-12x，故直线AB与CD的斜率互为相反数.
根据共圆定理得A，B，C，D四点共圆，根据相交弦定理得MA?MB=MC?MD.
三、利用曲线系解决圆锥曲线四点共圆问题
我们利用曲线系解决例1中的问题
（2011年全国高考卷2理科第21题）已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A，B两点，P-22，-1关于O的对称点为Q，求证：A，P，B，Q四点共圆.
证明首先易得直线PQ的方程为y=2x，又直线AB的方程为y=-2x+1，所以直线AB与PQ可合并为（2x+y-1）（2x-y）=0，又椭圆方程为2x2+y2-2=0，
故过A，P，B，Q的二次曲线系方程为（2x+y-1）（2x-y）+λ（2x2+y2-2）=0，
整理得（2λ+2）x2+（λ-1）y2-2x+y-2λ=0，（*）
方程（*）若表示圆，则必有2λ+2=λ-1λ=-3，
此时方程（*）为4x2+4y2+2x-y-6=0，
即x+282+y-182=99，
所以A，P，B，Q四点在同一个圆x+282+y-182=99上.
