2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (87)(有解析)

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (87)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知变量x和y满足关系𝑦=−0.1𝑥+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是( )

A. x与y负相关，x与z负相关 C. x与y正相关，x与z负相关

B. x与y正相关，x与z正相关 D. x与y负相关，x与z正相关

2. 已知程序框图如图，若𝑎=0.62，𝑏=30.5，𝑐=log0.55，则输出的数是( )

A. a B. b

2−3𝑖𝑧

C. c

|=( )

13 C. √13

D. d

3. 已知复数𝑧=3+2𝑖，则|

A. 1 B. √13

D. 13

4. 黄山市某年各月的日均最高气温(℃)数据的茎叶图为：，则这组数据的中

位数是( )

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

5. 方程𝑥2+𝑦2+𝑚𝑥−2𝑦+4=0表示圆，则m的范围是( )

A. (−∞,−√2)∪(√2,+∞) C. (−∞,−√3)∪(√3,+∞)

B. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞) D. (−∞,−2√3)∪(2√3,+∞)

6. 某市高中采用分层抽样的方法从三个年级的教师队伍中抽取若干名教师，调查心血管疾病情况，

有关数据如表(单位：人)，则抽取的教师人数样本为( ) 年级 年级教师人数 抽取人数 高一 69 高二 57 高三 54 x y 18 A. 60 B. 59 C. 62 D. 58

7. 下表是对性别与喜欢足球与否的统计列联表，依据表中的数据得到

男 女 总计 喜欢足球 40 5 45 不喜欢足球 28 12 40 总计 68 17 85 A. 𝐾2=9.5 B. 𝐾2=3.5 C. 𝐾2<2.706 D. 𝐾2>3.841

8. 在区间[−2,3]上随机选取一个数x，即𝑥≤1，故所求的概率为( )

A. 5 4

B. 5 3

C. 5 2

D. 5

1

9. 已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为( )

A. 1 B. √3

C. √2 D. 2

10. 某中学为了研究学生的视力和座位(有关和无关)的关系，运用2×2列联表进行性研究，经

计算𝐾2=7.069，则至少有( )的把握认为“学生的视力与座位有关”． 附： 𝑃(𝐾2≥𝑘0) 𝑘0 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 A. 95% B. 99% C. 97.5% D. 90%

11. 某玩具厂为了对新研发的一款“公仔”进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，

得到如下数据：

单价𝑥(元) (周)销量𝑦(件) 80 90 82 84 84 83 86 80 88 75 90 68

∧

根据上表可得回归方程𝑦 =𝑏 𝑥+250，若发售单价为92元，则该产品的(周)销售件大约为

∧

A. 60件 B. 65件 C. 66件 D. 70件

12. 如图，已知抛物线的方程为𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)，过点𝐴(0,−1)作直线

与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为(0,1)，连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为−3，则∠𝑀𝐵𝑁的大小等于( )

A. 2

𝜋

B. 4

𝜋

C. 3

2𝜋

D. 3

𝜋

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 为了解2000名学生对学校晨跑的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑采用系统抽

样的方法，则抽样的间隔为________．

14. 经过点(2,0)且圆心是直线𝑥=2与直线𝑥+𝑦=4的交点的圆的标准方程为________． 15. 下列图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，则第n个图的正方形个数

𝑎𝑛=__________．

16. 设𝑥,𝑦,𝑧∈𝑅，且𝑥+2𝑦+𝑧=2,𝑥2+𝑦2+𝑧2=1，则z的最大值为_________，最小值为

_________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 袋中有编号为1，2，3，4的四个相同小球．

(1)任取2个球，求“编号之和不大于4”的概率；

(2)先取1球，记编号为m，再放回袋中搅匀，再取1球，记编号为n，求“𝑛≤𝑚”的概率．

18. 已知直线l：𝑦=𝑘𝑥与圆C：(𝑥+6)2+𝑦2=25相交于A，B两点，|𝐴𝐵|=√10，求直线l的斜

率k的值．

随机抽取50名会员对商场进行综合评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，19. 某商店会员活动日．

其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计会员对商场的评分不低于80的概率．

(3)采取摸球兑奖的方式对会员进行返代金券活动，每位会员从一个装有5个标有面值的球(2个所标的面值为300元，其余3个均为100元)的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该会员所获的代金券金额．求某会员所获得奖励超过400元的概率．

20. 有甲，乙两班进行数学考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩后，得列

联表，已知全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为5． 甲班 乙班 合计 优秀 15 非优秀 25 合计 100 2

本题可以参考性检验临界值表

𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 𝑘0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 (1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表中数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩优秀与班级有关系”？

21. 随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多．每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量

活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫．已知一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x

有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如表： 日期 温度𝑥/°𝐶 产卵数𝑦/个 2日 7日 15日 10 23 11 25 13 30 22日 12 26 30日 8 16 (Ⅰ)从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；

(Ⅱ)科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

(ⅰ)若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；

(ⅰ)若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(ⅰ)中所得的线性回归方程是否可靠？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为𝑏=

∧

∑𝑛∧𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)，𝑎2∑𝑛(𝑥−𝑥)𝑖=1𝑖=𝑦−𝑏⋅𝑥．

∧

22. 已知圆C：(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=1，点P的坐标为(2,−1)，过点P作圆C的切线，切点为A，

B．

(1)求直线PA，PB的方程； (2)求过点P的圆的切线长．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

̂=−0.1<0，所以x与y负相关，又变量解析：由题意得，变量x和y满足关系𝑦=−0.1𝑥+1知；𝑏y与z正相关，可得x与z负相关，故选A．

2.答案：B

解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是：输出a，b，c中最大的数，

∵𝑎=0.62=0.36<1，0<𝑏=30.5=√3>1，𝑐=log0.55=−𝑙𝑔2<0， ∴输出的数为√3． 故选：B．

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出a，b，c中最大的数，结合指数运算和对数运算的性质，a，b，c与1，0比较后易得到答案． 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．

𝑙𝑔5

3.答案：A

解析：

本题考查了复数的运算与复数求模，属于基础题． 解：∵𝑧=3+2𝑖，∴|故选：A．

2−3𝑖𝑧

|=|

2−3𝑖3+2𝑖

|=

|2−3𝑖||3+2𝑖|

=1．

4.答案：B

解析：

本题考查了茎叶图，以及数据的中位数的判断，属于基础题． 由茎叶图中的数据得到中位数为：

11+132

=12．

解：由茎叶图可知： 中位数为：故选B．

11+132

=12．

5.答案：D

解析：

本题主要考查圆的一般方程的知识，解答本题的关键是知道圆的一般方程的特点． 解：∵方程𝑥2+𝑦2+𝑚𝑥−2𝑦+4=0表示圆， ∴𝑚2+4−16>0， ∴𝑚2>12，

∴则m的范围是(−∞,−2√3)∪(2√3,+∞)， 故选D．

6.答案：A

解析：

本题主要考查分层抽样的定义和方法，注意每个个体被抽到的概率都是相等的，属于基础题． 根据条件求出抽样比例，求出高一，高二抽取的教师人数，然后三个年级的抽取人数相加即可． 解：由题知按54=3的比例抽取，

所以𝑦=57×3=19人，𝑥=69×3=23人， ∴抽取的教师共19+23+18=60人． 故选A．

1

1

18

1

7.答案：D

解析：

【解答】解：∵根据表中数据，得到𝐾2的观测值为：故选：D．

【分析】根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据8.333>7.879，即可得到有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．

85(40×12−5×28)245×40×17×68

≈4.7222>3.841，

本题考查性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．

8.答案：B

解析：

本题考查几何概型，利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，利用长度比求概率． 解：在区间[−2,3]上随机选取一个数x， 则−2≤𝑥≤3，

则𝑥≤1的概率𝑃=3−(−2)=5． 故选B．

1−(−2)

3

9.答案：C

解析：

本题考查了标准差的计算，属于基础题．

由样本数据得到平均数，代入标准差公式，即可得到结果． 解：∵样本中的数据为1，2，3，4，5，

1+2+3+4+5

5

∴𝑥=

=3，

∴𝑠=√(4+1+0+1+4)=√2．

5

1

故选C．

10.答案：B

解析：

把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系． 本题考查性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题． 解：∵𝐾2=7.069>6.635， 对照表格：

𝑃(𝐾2≥𝑘0) 𝑘0 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 ∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系． 故选B．

11.答案：C

解析：

由题意可知：求得单价𝑥(元)和销量𝑦(件)的平均数 ． x 与 ． y

，由性回归方程为必过样本中心点( ． x ， ． y

)，求出b的值，即可求得回归直线方程，代入发售单价为92元，可得答案． 解：∵𝑥=𝑦=

80+82+84+86+88+90

6

=85，

90+84+83+80+75+68

6∧

=80，

∧代入𝑦 =𝑏 𝑥+250，

解得𝑏=−2，

故发售单价为92元时，𝑦=−2×92+250=66， 故选C．

12.答案：D

解析：

本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．

设直线PQ的方程为：𝑦=𝑘𝑥−1，𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得𝑘𝐵𝑃+𝑘𝐵𝑄=0，再由已知𝑘𝐵𝑃⋅𝑘𝐵𝑄=−3可解得𝑘𝐵𝑃=√3，𝑘𝐵𝑄=−√3，由此可知∠𝐵𝑁𝑀与∠𝐵𝑀𝑁的大小，由三角形内角和定理可得∠𝑀𝐵𝑁． 解：设直线PQ的方程为：𝑦=𝑘𝑥−1，𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)， 𝑦=𝑘𝑥−1由{2得𝑥2−2𝑝𝑘𝑥+2𝑝=0，△>0， 𝑥=2𝑝𝑦则𝑥1+𝑥2=2𝑝𝑘，𝑥1𝑥2=2𝑝， 𝑘𝐵𝑃=

𝑦1−1𝑥1

，𝑘𝐵𝑄=

𝑦2−1𝑥2

，

𝑘𝐵𝑃+𝑘𝐵𝑄=

𝑦1−1𝑦2−1𝑘𝑥1−2𝑘𝑥2−2

+=+ 𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2

=

2𝑘𝑥1𝑥2−2(𝑥1+𝑥2)

𝑥1𝑥2

=

2𝑘⋅2𝑝−2⋅2𝑝𝑘

2𝑝

=0，即𝑘𝐵𝑃+𝑘𝐵𝑄=0①

又𝑘𝐵𝑃⋅𝑘𝐵𝑄=−3②，

联立①②解得𝑘𝐵𝑃=√3，𝑘𝐵𝑄=−√3， 所以∠𝐵𝑁𝑀=3，∠𝐵𝑀𝑁=3， 故∠𝑀𝐵𝑁=𝜋−∠𝐵𝑁𝑀−∠𝐵𝑀𝑁=3， 故选D．

𝜋

𝜋

𝜋

13.答案：50

解析：

本题考查了系统抽样，属于基础题． 根据系统抽样的概念，可得到抽取间隔．

解：由题意得：系统抽样中总体中个体数是2000，样本容量是40，

200040

所以抽样的间隔为

=50，

故答案为50．

14.答案：(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4

解析：

本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题．

根据两条直线方程联立求出圆心，再将点(2,0)代入圆的标准方程即可求出圆的标准方程． 解：直线𝑥=2 与直线𝑥+𝑦=4的交点为(2,2)，且是圆的圆心， 则圆的标准方程为：(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=𝑅2， 又∵圆经过(2,0)，将(2,0)代入圆的方程， 则0+4=𝑅2， ∴𝑅2=4，

∴圆的标准方程为：(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4， 故答案为(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4．

15.答案：

𝑛(𝑛+1)2

(𝑛∈𝑁∗)

解析：由题意得：第一个图形中小正方形的个数为1，第二个图形中小正方形的个数为1+2=3，第三个图形中小正方形的个数为1+2+3=6，第四个图形中小正方形的个数为1+2+3+4=10，…，由此可推断第n个图的正方形个数𝑎𝑛为1+2+3+⋯+𝑛=

√101√10 16.答案：1+;−

3636

𝑛(𝑛+1)2

(𝑛∈𝑁∗)．

解析：

本题考查直线与圆的位置关系及判定，点到直线的距离公式，考查运算化简的能力，属于中档题． 由题意，直线𝑥+2𝑦+𝑧−2=0与圆𝑥2+𝑦2=1−𝑧2有交点，利用点到直线距离公式得√1−𝑧2，解得即可．

解：由题意，直线𝑥+2𝑦+𝑧−2=0与圆𝑥2+𝑦2=1−𝑧2有交点， 由点到直线距离公式得1

101

|𝑧−2|√510|𝑧−2|√5≤

≤√1−𝑧2，化简整理得6𝑧2−4𝑧−1≤0，

解得−√≤𝑧≤+√，

3636

∴𝑧的最大值为+√，最小值为−√．

3

6

3

6

1

101

10故答案为+√;−√．

3

6

3

6

11011017.答案：解：(1)这个试验的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，基本事件总数

为6，

设“编号之和不大于4”为事件A，则事件A所包含的基本事件为：(1,2)，(1,3)，基本事件数为2， 所以𝑃(𝐴)=6=3；

(2)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，基本事件总数为16，

(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，设“𝑛≤𝑚”为事件B，基本事件为(𝑚,𝑛)，则事件B所包含的基本事件为：(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 基本事件数为10，所以𝑃(𝐵)=16=8．

10

5

2

1

解析：本题考查了古典概型的应用，属于中档题．

(1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．

求比值得到结果． (2)有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的有10种结果，

18.答案：解：圆心(−6,0)到直线𝑦=𝑘𝑥的距离𝑑=√𝑘2+1，圆半径𝑟=5，

∵直线l：𝑦=𝑘𝑥与圆C：(𝑥+6)2+𝑦2=25相交于A，B两点，|𝐴𝐵|=√10， ∴𝑑2+(即

36𝑘2𝑘2+1

|𝐴𝐵|2

)2104

|−6𝑘|=𝑟2，

+=25，

解得直线l的斜率为𝑘=±√．

3

15

解析：求出圆心(−6,0)到直线𝑦=𝑘𝑥的距离𝑑=√𝑘2+1，圆半径𝑟=5，由𝑑2+(线l的斜率．

本题考查直线的斜率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线、圆、点到直线距离公式等知识点的合理运用．

|−6𝑘||𝐴𝐵|2

)2

=𝑟2，能求出直

19.答案：解：(1)由(0.004+𝑎+0.018+0.022×2+0.028)×10=1得：𝑎=0.006；

(2)由所给频率分布直方图知，

50名会员评分不低于80的频率为：(0.022+0.018)×10=0.4， 所以会员对商场评分不低于80的概率为0.4；

(3)记两个面值为300的球为𝑎1，𝑎2，三个面值为100的球为𝑏1，𝑏2，𝑏3， 从这5个球中随机抽取2个， 所有可能的结果共有10种，

分别是{𝑎1,𝑎2}、{𝑎1,𝑏1}、{𝑎1,𝑏2}、{𝑎1,𝑏3}、{𝑎2,𝑏1}、{𝑎2,𝑏2}、{𝑎2,𝑏3}、{𝑏1,𝑏2}、{𝑏1,𝑏3}、{𝑏2,𝑏3}， 又因为所抽取的面值超过400的结果只有1种， 故所求的概率为10．

1

解析：本题考查频率分布直方图的应用，及利用古典概型求概率.属于基础题． (1)因为频率分布直方图中，所有频率的和为1，求出a的值；

(2)由(0.022+0.018)×10=0.4得会员对商场评分不低于80的概率为0.4；

(3)由列举法得所有可能的结果共有10种，所抽取的面值超过400的结果只有1种，利用古典概型得所求的概率为10．

1

20.答案：解：(1)优秀的学生人数为100×5=40，所以列联表为 甲班 乙班 合计 优秀 15 25 40 非优秀 35 25 60 合计 50 50 100 2

(2)根据列联表的数据𝑘=

100×(15×25−25×35)2

50×50×40×60

≈4.167>3.841，

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关”

解析：(1)由100人中随机抽取1人为优秀的概率为5，我们可以计算出优秀人数为40，易得到表中各项数据的值．

(2)我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后与临界值，比较即可得到答案． 性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式计算出k值，然后与临界值，比较即可得到答案． 本题考查性检验的计算，属于中档题．

2

21.答案：解：(Ⅰ)依题意得，m、n的所有情况为：

{23,25}、{23,30}、{23,26}、{23,16}、{25,30}、

{25,26}、{25,16}、{30,26}、{30,16}、{26,16}共有10个； 设“m、n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为： {25,30}、{25,26}、{30,26}共有3个， 所以𝑃(𝐴)=10， 即事件A的概率为10；

(Ⅱ)(ⅰ)由数据得𝑥=12，𝑦=27，

32∑3𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)=5，∑𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)=2，

3

3

∴𝑏=

∧

∧

∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)2∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)∧

=2，

5

5

𝑎=𝑦−𝑏⋅𝑥=27−2×12=−3； ∴𝑦关于x的线性回归方程为𝑦=𝑥−3；

2

(ⅰ)由(ⅰ)知，y关于x的线性回归方程为𝑦=𝑥−3，

2∧

5

∧

5

当𝑥=10时，𝑦=×10−3=22，且|22−23|<2，

2当𝑥=8时，𝑦=×8−3=17，且|17−16|<2；

2所以，所得到的线性回归方程𝑦=𝑥−3是可靠的．

2

∧

5

∧

5

∧

5

解析：(Ⅰ)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；

(Ⅱ)(ⅰ)由数据计算平均数和回归系数，写出y关于x的线性回归方程；

(ⅰ)根据线性回归方程计算𝑥=10、8时𝑦的值，再验证所得到的线性回归方程是否可靠． 本题考查了线性回归方程与古典概型的概率计算问题，是中档题．

∧

22.答案：解：(1)当斜率不存在时，𝑥=2也满足条件．

当斜率存在时，设切线方程为𝑦+1=𝑘(𝑥−2)．

|𝑘−2−2𝑘−1|√𝑘2+14

∵圆心到切线的距离𝑑=

=1，∴𝑘=−3 故可得直线的方程为4𝑥+3𝑦−5=0，

∴所求直线PA，PB的方程为𝑥=2，4𝑥+3𝑦−5=0，

(2)由(1)可得过点P的圆的切线长1+2=3．

解析：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属基础题．

(1)设切线方程斜率为k，由切线过点P，表示出切线方程，根据圆标准方程找出圆心C坐标与半径r，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出切线方程． (2)由(1)可得过点P的圆的切线.