课题：空间几何体的表面积和体积 【学习目标】： 知识点、考点： 1、掌握柱体、锥体、台体的侧面积与体积的计算公式． 2、球的体积和表面积公式． 重点、难点： 表面积、体积公式 【知识网络详解】 知识点一、空间几何体的表面积 1．多面体的侧面积和表面积： 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和． 2．旋转体的侧面积和表面积 (1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)． (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)． (3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)． (4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2. 知识点二、空间几何体的体积 1、棱(圆)柱的体积：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 12、棱(圆)锥的体积：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 313、棱(圆)台的体积：V＝(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高) 34π4、球的体积：V＝R3(R为球半径) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用3等积转换法或割补法进行求解．其中，等积转换法多用来求锥体的体积． - 1 -
【经典例题解析】 知识点一、空间几何体的表面积 例1、若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（ ） A、π B、2π C、3π D、4π 例2、用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( ) 842A．8 B． C． D． πππ 例3、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) 1＋2π1＋4π1＋2π1＋4πA． B． C． D． 2π4ππ2π 例4、中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于( ) A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8 例5、已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________． 例6、三视图如图所示的几何体的全面积是( ) 113A．7＋2 B．＋2 C．7＋3 D． 22例7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( ) A．1＋3 B．2＋3 C．1＋22 D．22 - 2 -
例8、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8 第8题图 第9题图 例9、某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2 知识点二、空间几何体的体积 例10、圆台的体积为7π，上、下底面的半径为1和2，则圆台的高为（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 例11、一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( ) A． 例12、若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( ) A．1∶2∶3 B．1∶2∶3 C．1∶22∶33 D．1∶4∶7 例13、已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( ) A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2 6ππ2π3π B． C． D． 622π例14、有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( ) A．24π cm12π cm B．15π cm12π cm2,32,3 C．24π cm36π cm D．以上都不正确 2,3 - 3 -
例15、某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) 3240A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3 33 第15题图 第16题图 例16、一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 例17、正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A．3:1 B．3:2 C．2:3 D．3:3 例18、已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) 32π4πA. B．4π C．2π D. 33【自检自测】 1．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm3． 2．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________． 3．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) 3A．2倍 B．22倍 C．2倍 D．2倍 4．正方体的内切球和外接球的体积之比为( ) A．1∶3 B．1∶3 C．1∶33 D．1∶9 - 4 -
5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( ) A．4∶9 B．9∶4 C．4∶27 D．27∶4 6、将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是_______ 7、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ） A. 1:2:3 B. 1:3:5 C. 1:2:4 D. 1:3:9 8、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1:V2（ ） A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 9．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:9 10、已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为_________ 11．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 2323A．2π＋23 B．4π＋23 C．2π＋ D．4π＋ 3312．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积( ) A．25π B．50π C．125π D．以上都不对 13．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________； (2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________． S19V114、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则S24V2的值是________． - 5 -
