2012年新课标高考理科数学试卷解析版

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 （1）已知集合A{1,2,3,4,5},B{(x,y)xA,yA,xyA}；,则B中所含元素

的个数为（ ）

(A)3 (B)6 (C) (D)

【解析】选D

x5,y1,2,3,4，x4,y1,2,3，x3,y1,2，x2,y1共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

(A)12种 (B)10种 (C)种 (D)种

【解析】选A

12 甲地由1名教师和2名学生：C2C412种

（3）下面是关于复数z2的四个命题：其中的真命题为（ ） 1i p1:z2 p2:z22i p3:z的共轭复数为1i p4:z的虚部为1

(A)p2,p3 (B) p1,p2 (C)p,p (D)p,p

【解析】选C z22(1i)1i 1i(1i)(1i)2，p2:z22i，p3:z的共轭复数为1i，p4:z的虚部为1

p1:z

- 1 -

x2y23a（4）设F1F2是椭圆E:221(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，

ab2 F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

12 (B) (C) 23【解析】选C

(A)(D) c3 a4 F2PF1是底角为30的等腰三角形PF2F2F12(ac)2ce（5）已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10（ ）

32(A)7 (B) 5 (C) (D)

【解析】选D

a4a72，

a5a6a4a78a44,a72或

a42,a74

a44,a72a18,a101a1a107 a42,a74a108,a11a1a107

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2)和

实数a1,a2,...,an，输出A,B，则（ ）

(A)AB为a1,a2,...,an的和 (B)AB为a1,a2,...,an的算术平均数 2(C)A和B分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数 (D)A和B分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数

【解析】选C

- 2 -

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

(A)6 (B) 9 (C) (D)

【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为V

（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y16x的准线交于A,B

两点，AB43；则C的实轴长为（ ）

2116339 32(A)2 (B) 22 (C) (D)

【解析】选C

设C:xya(a0)交y16x的准线l:x4于A(4,23)B(4,23) 得：a2(4)2(23)24a22a4

则的取值范围是（ ） )在(,)上单调递减。

4211513 (A)[,] (B) [,] (C) (0,] (D)(0,2]

22424【解析】选A

592(x)[,] 不合题意 排除(D)

444351(x)[,] 合题意 排除(B)(C)

4443另：()2，(x)[,][,]

2424422315 得：,

2424224（9）已知0，函数f(x)sin(x

2222- 3 -

（10） 已知函数f(x)1；则yf(x)的图像大致为（ ）

ln(x1)x【解析】选B

xg(x)ln(1x)xgx() 1xg(x)01x0g,x()0x0gx()g(0) 得：x0或1x0均有f(x)0 排除A,C,D

0（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形， SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为（ ）

(A)2322 (B) (C) (D) 6632【解析】选A

ABC的外接圆的半径r36，点O到面ABC的距离dR2r2

3326 3 SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2d 此棱锥的体积为V113262 SABC2d33436 另：V

13排除B,C,D SABC2R36- 4 -

（12）设点P在曲线y

1xe上，点Q在曲线yln(2x)上，则PQ最小值为（ ） 22(1ln2) (C) 1ln2 (D)2(1ln2)

(A)1ln2 (B)

【解析】选A 函数y1xe与函数yln(2x)互为反函数，图象关于yx对称 21xex112 函数yex上的点P(x,ex)到直线yx的距离为d

222 设函数g(x)1x11ln2 exg(x)ex1g(x)min1ln2dmin222 由图象关于yx对称得：PQ最小值为2dmin

2(1ln2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，

第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。



（13）已知向量a,b夹角为45，且a1,2ab10；则b_____ 【解析】b_____32 222ab10(2ab)104b4bcos4510b32

x,y0(14) 设x,y满足约束条件：xy1；则zx2y的取值范围为

xy3【解析】zx2y的取值范围为 [3,3]

约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)

则zx2y[3,3]

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（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布N(1000,50)，且各个元件能否正常相互，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为

2

【解析】使用寿命超过1000小时的概率为

3 82 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,50) 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p1 23 42超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P11(1p) 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2p1p3 8（16）数列{an}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为 【解析】{an}的前60项和为 1830 可证明：bn1a4n1a4n2a4n3a4n4a4n3a4n2a4n2a4n16bn16 b1a1a2a3a4101514S1510152 830161三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，acosC3asinCbc0 （1）求A （2）若a2，ABC的面积为3；求b,c。 【解析】（1）由正弦定理得：

acosC3asinCbc0sinAcosC3sinAsinCsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCsin(aC)sinC 3sinAcosA1sin(A30)12

A3030A60

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（2）S1bcsinA3bc4 2 a2b2c22bccosAbc4 解得：bc2（l fx lby）

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，nN）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。 【解析】（1）当n16时，y16(105)80 当n15时，y5n5(16n)10n80

10n80(n15)y(nN) 得：(n16)80 （2）（i）X可取60，70，80

P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7 X的分布列为

X 60 0.1 70 0.2 80 0.7 P EX600.1700.2800.776 DX1620.1620.2420.744 （ii）购进17枝时，当天的利润为

y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4

76.476 得：应购进17枝

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（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1AA1， 2D是棱AA1的中点，DC1BD

（1）证明：DC1BC

（2）求二面角A1BDC1的大小。 【解析】（1）在RtDAC中，ADAC 得：ADC45

同理：A1DC145CDC190

得：DC1DC,DC1BDDC1面BCDDC1BC （2）DC1BC,CC1BCBC面ACC1A1BCAC

取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O,C1H

C1O A1C1B1C11CH OHBDABA1B1C1面A1BDC1O面A1BD ，面1BD 得：点H与点D重合

且C1DO是二面角A1BDC1的平面角 设ACa，则C1O2a，C1D2a2C1OC1DO30 2 既二面角A1BDC1的大小为30 （20）（本小题满分12分）

设抛物线C:x2py(p0)的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，

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2FA为半径的圆F交l于B,D两点；

（1）若BFD900，ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；

（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

求坐标原点到m,n距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边BD2p

点A到准线l的距离dFAFB2p

1 SABD42BDd42p2

2 圆F的方程为x2(y1)28

2x0p （2）由对称性设A(x0,)(x00)，则F(0,)

2p222x0x0p2)px03p2 点A,B关于点F对称得：B(x0,p2p2p23pp3p22xpx3y3p0 得：A(3p,)，直线m:y2223px2x333ppyxp切点P( x2pyy,) 2pp33362 直线n:yp33p3(x)x3yp0 6336坐标原点到m,n距离的比值为

（21）（本小题满分12分）

3p3p:3。（lfx lby） 26已知函数f(x)满足满足f(x)f(1)ex1f(0)x（1）求f(x)的解析式及单调区间；

12x； 2

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12xaxb，求(a1)b的最大值。 21【解析】（1）f(x)f(1)ex1f(0)xx2f(x)f(1)ex1f(0)x

2（2）若f(x) 令x1得：f(0)1 f(x)f(1)ex1x 得：f(x)exx

g(x)e10yg(x)在xR上单调递增 f(x)0f(0)x0,f(x)0f(0)x0 得：f(x)的解析式为f(x)exxx12xf(0)f(1)e11f(1)e 212xg(x)f(x)ex1x 212x 2 且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) （2）f(x)12xaxbh(x)ex(a1)xb0得h(x)ex(a1) 2 ①当a10时，h(x)0yh(x)在xR上单调递增 x时，h(x)与h(x)0矛盾

②当a10时，h(x)0xln(a1),h(x)0xln(a1) 得：当xln(a1)时，h(x)min(a1)(a1)ln(a1)b0 (a1)b(a1)(a1)ln(a1)(a10) 令F(x)xxlnx(x0)；则F(x)x(12lnx) F(x)00xe,F(x)0xe 当xe时，F(x)max 当a2222e 2e 2e1,be时，(a1)b的最大值为

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

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（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D,E分别为ABC边AB,AC的中点，直线DE交

ABC的外接圆于F,G两点，若CF//AB，证明：

（1）CDBC；

（2）BCDGBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBF

CF//ABAFBCBCCD （2）BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程是x2cos(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

y3sin为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上， 且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,（1）求点A,B,C,D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求PAPBPCPD的取值范围。 【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,22223)

3),(2,5411),(2,),(2,) 636 点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)

x02cos(为参数) （2）设P(x0,y0)；则y3sin022 tPAPBPCPD4x4y40

2222 5620sin[56,76]（lfxlby）

2

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（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

已知函数f(x)xax2

（1）当a3时，求不等式f(x)3的解集；

（2）若f(x)x4的解集包含[1,2]，求a的取值范围。 【解析】（1）当a3时，f(x)3x3x23

x2x32x3 或或

3x2x33xx23x3x23 x1或x4

（2）原命题f(x)x4在[1,2]上恒成立

xa2x4x在[1,2]上恒成立

2xa2x在[1,2]上恒成立

3a0

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