攀枝花市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a6=（ ） A．6

B．9

C．36 ﹣ C．

D．72

2． 已知双曲线A．

B．

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） D．

3． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 4． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A．ann2n1 B．ann(n1)n(n1) C．an D．ann21 22

D．4

5． 若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A．3

B．2

C．3

6． 已知z113i，z23i，其中i是虚数单位，则A．1 B．

z1的虚部为（ ） z244 C．i D．i 55【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.

7． 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（ ） A．等腰三角形 C．等腰直角三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

8． 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若

,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A[

]

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B[C[D[

]

]

]

9． 函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞

2xy20,10．如果点P在平面区域x2y10,上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为（ ）

xy20A．51 B．11．若P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF1F2=A．

，则此椭圆的离心率为（ ） B．

C．

D．

41 C. 221 D．21 5=1（a＞b＞0）上的一点，且

=0，

12．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（ ） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）

D．（0，1）

二、填空题

13．要使关于x的不等式0xax64恰好只有一个解，则a_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.

14．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单

kt位：小时）间的关系为PP（P0，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了 0e2消除27.1%的污染物，则需要___________小时.

【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用. 15．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是

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16．自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则PQ的最小值为（ ） A．

1321 B．3 C．4 D． 1010【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．

17．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是 ．

22

18．0）3）已知点A（2，，点B（0，，点C在圆x+y=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为 ．

三、解答题

19．E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，如图：等腰梯形ABCD，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=（1）证明：平面AED⊥平面BCDE； （2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．

．

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20．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．

（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围； （2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．

21．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点. （1）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值； （2）证明：B1F∥平面A1BE．

22．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）证明：bn∈（0，1） （Ⅱ）证明：

=

，数列{bn}满足bn=

A1 B1

C1 A B C F

D1 E D

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（Ⅲ）证明：对任意正整数n有an

．

23．（本小题满分12分）在ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，已知

A(cosB3sinB)cosC1. 2（I）求角C的值； 2cos2（II）若b=2，且ABC的面积取值范围为[3,3]，求c的取值范围． 2【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．

24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+（1）求角C的大小； （2）若c=2，且△ABC的面积为

，求a，b的值．

sinB）=0．

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攀枝花市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

242

∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q+q）=21，解得q=2． 6

则a2a6=9×q=72．

故选：D．

2． 【答案】D 【解析】解：双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．

22

根据圆（x﹣2）+y=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，

可得，1=，∴ =，

，可得e=

故此双曲线的离心率为：故选D．

． ．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．

3． 【答案】B 【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样． 4． 【答案】C 【解析】

试题分析：可采用排除法，令n1和n2，验证选项，只有an考点：数列的通项公式． 5． 【答案】A

x800,x20，故选B． 50600600800n(n1)，使得a11,a23，故选C． 2第 6 页，共 15 页

【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线， ∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0， ∴两直线的距离为

=

，

+

=3

，

∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值

∴AB的中点M到原点的距离的最小值为故选：A

【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．

6． 【答案】B

【解析】由复数的除法运算法则得，7． 【答案】D

4zz113i(13i)(3i)68i34i，所以1的虚部为.

5z23i(3i)(3i)1055z2

【解析】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A， ∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A， ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA， ∴2cosA（sinA﹣sinB）=0， ∴cosA=0，或sinA=sinB， ∴A=

，或a=b，

∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 故选：D． 易错题．

8． 【答案】B 【解析】当x≥0时，

【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和

f（x）=，

由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；

由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

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∴当x＞0时，

∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，

。

。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：故实数a的取值范围是9． 【答案】B

【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴

⇒0＜a≤

。

。

综上所述0≤a≤ 故选B

【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

10．【答案】A 【解析】

试题分析：根据约束条件画出可行域Z|PQ|表示圆上的点到可行域的距离,当在点A处时,求出圆心到可 行域的距离内的点的最小距离5,当在点A处最小, |PQ|最小值为51,因此，本题正确答案是51.

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考点：线性规划求最值. 11．【答案】A 【解析】解：∵∴

∵Rt△PF1F2中，∴∴

又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为e=故选A

=

=

=

=

，设PF2=t，则PF1=2t

，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．

，

=2c，

【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．

12．【答案】C

【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，

0

又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=3+0=1＞0，

∴f（﹣1）f（0）＜0，

可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C．

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【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】22.

【解析】分析题意得，问题等价于xax64只有一解，即xax20只有一解， ∴a80a22，故填：22. 14．【答案】15

5k【解析】由条件知0.9P，所以e0P0ekt于是0.729P，∴e0P0ekt5k2220.9.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为0.729P0，

0.7290.93e15k，所以t15小时.

15．【答案】 0

【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin由于sin所以S=sin

周期为8， +sin

+…+sin

=0．

+sin

+…+sin

的值，

故答案为：0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．

16．【答案】D 【

解

析

】

17．【答案】

【解析】解：由于角A为锐角， ∴

且

不共线，

． ．

∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m

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∴实数m的取值范围是故答案为：

．

．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．

18．【答案】 （

，

） ．

22

【解析】解：设C（a，b）．则a+b=1，① ∵点A（2，0），点B（0，3）， ∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．

如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短． 则CF=∴a=

，②

≥ ，b=，，

， ）． ）．

，当且仅当2a=3b时，取“=”，

联立①②求得：a=故点C的坐标为（故答案是：（

【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）证明：取ED的中点为O，

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由题意可得△AED为等边三角形，

，

，

222

∴AC=AO+OC，AO⊥OC，

又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED， ∴平面AED⊥平面BCDE；…

（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则E（0，﹣1，0），A（0，0，

，

设面EAC的法向量为面BAC的法向量为由∴由∴∴

∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为

，得

，

， ．…

，得

，

，∴

，

，∴

，

，

），C（

，0，0），B（，

，﹣2，0），

，

2016年5月3日 20．【答案】

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【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立， 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，

则

解得﹣4＜m＜0

综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立， 即令﹣﹣﹣﹣

当 m＞0时，g（x）是增函数， 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0， 解得

．所以

恒成立．

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当m=0时，﹣6＜0恒成立． 当m＜0时，g（x）是减函数． 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0， 解得m＜6． 所以m＜0． 综上所述，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问 题的关键．

21．【答案】解：（1）设G是AA1的中点，连接GE，BG．∵E为DD1的中点，ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG=．设正方体的棱长为a，∴GEa，

BG53a，BEBG2GE2a， 22GE2；……6分 BE3∴直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为：sin（2）证明：连接EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连接EH． ∵H为AB1的中点，且B1H=

11C1D，B1H∥C1D，而EF=C1D，EF∥C1D， 22∴B1H∥EF且B1H=EF，四边形B1FEH为平行四边形，即B1F∥EH， 又∵B1F平面A1BE且EH平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE． ……12分

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22．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）由bn=∴

，且an+1=an+

，得

，

，下面用数学归纳法证明：0＜bn＜1．

①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1， ②假设0＜bk＜1，则∵0＜bk＜1，∴

*

，

，则0＜bk+1＜1．

综上，当n∈N时，bn∈（0，1）； （Ⅱ）由∴

，可得，

=

， =

．

故；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：

，

故由

．

知，当n≥2时，

=

．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等 式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．

23．【答案】 【解析】（I）∵2cos2A(cosB3sinB)cosC1， 2第 14 页，共 15 页

∴cosAcosBcosC3sinBcosC0， ∴cos(BC)cosBcosC3sinBcosC0，

∴cosBcosCsinBsinCcosBcosC3sinBcosC0， ∴sinBsinC3sinBcosC0，因为sinB>0，所以tanC3 又∵C是三角形的内角，∴C3.

24．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C）， ∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣即sinB（cosC﹣∵sinB≠0， ∴tanC=

，故C=

=

．…（6分） ， sinC）=0，

sinBsinC=0，…（2分）

（2）∵ab×∴ab=4，①

又c=2，…（8分）

22

∴a+b﹣2ab×=4，

∴a2+b2=8．②

∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．

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