第３４卷第１期 ２０１２年２月 电气电子教学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＥＥ Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２０１２ 关于信号系统中的幅度和相位关系 李力利 （上海交通大学电子工程系，上海２００２４０） 摘要：本文针对具有有理系统函数的离散时间线性时不变系统，讨论其幅度响应和相位响应之间的关系问题。文中首先分析在系统的幅度响 应给定的情况下所有可能的系统函数和频率响应，以验证教材给出的方法的正确性，然后讨论在相位响应给定的情况下所有可能的系统函数 和频率响应，从而从正反两个方面阐明该类系统的幅度响应和相位响应之间存在某种约束关系。 关键词：频率响应；幅度；相位；系统函数 中图分类号：ＴＮ９１１．７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８－０６８６（２０１２）０１－００２６－０３ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｏｆ Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ａｎｄ Ｐｈａｓｅ ＬＩ Ｌｉ－ｌｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｊｉａｏ Ｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅ￣ｉ＠，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００２４０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｏｆ ａ ｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ—ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｓｙｓ— ｔｅｍ ｗｉｔｈ ａ ｒａｔｉｏｎａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｆｉｒｓｌｔｙ，ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｃｈｏｉｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｓｐｏｎｓｅ， ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ，ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｃｕｒｒｅｎｔ ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｃｈｏｉｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ￣ｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｓｐｏｎｓｅ，ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ，ａｒｅ ｅｘｐｌｏｒｅｄ．Ａｌｌ ｏｆ ｈｅｍ ｔｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｓｏｍｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：￣ｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｓｐｏｎｓｅ；ｍａｇｎｉｔｕｄｅ；ｐｈａｓｅ；ｓｙｓｔｅｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ０ 引言 在“数字信号处理”课程的教学中会涉及到系统 的幅度响应和相位响应之间的关系问题。对于具有 有理系统函数的离散时间线性时不变系统，也即由差 分方程描述的系统，其幅度和相位之间有某种约束关 系。在零点和极点个数已知的情况下，幅度已知则相 位的选择有限，反之，相位已知则除了一个加权因子 外也仅有有限种幅度可供选择。如果零点和极点个 存疑问，认为结果并不全面。本文针对各种情况进 行详细分析，讨论了由相位确定系统函数的方法。 １根据幅度确定相位 我们给定系统的幅度平方特性为Ｈ（ｅ ），并且 已知系统函数日（ ）是ｚ的有理函数。我们在下面 讨论根据ＩＨ（ｅ ）Ｉ 确定系统函数Ｈ（ｚ）和其频率 响应日（ｅｊ ）的方法［１’２］。 １）有理系统函数对应的幅度平方函数 因为 （ ）是 的有理函数，所以可以表示成 ｂ ｎ（１一ｃ ） 日（ ） （１） 数不加限定，则选择有无穷多种…。 文献［１］只给出了由幅度确定系统函数的方 法，没有给出理论依据，很多教师和学生对此都心 修稿日期：２０１１－０８－１３；修回日期：２０１１－Ｉ１－１１ 作者简介：李力利（１９７０．），女，博士，讲师，主要从事数字信号处理方面的教学和科研工作，Ｅ－ｍａｉｌ：ｌＬａｌｉ４ｌｉ４＠ “．ｅｄｕ．ｃｎ 第１期 李力利：关于信号系统中的幅度和相位关系 ２７ 其中，ｃ 和ｄ 是Ｈ（ｚ）的零点和极点。我们已经知 道频率响应是系统函数在单位圆上的取值，所以有 ｂ （１－Ｃｋｅ ） （ｅＪＯ，）＝日（ ） … （２） 现，两种方法得到的日（ｚ）的表达式互为共轭关系。 所以两种方法其实就是同一种方法，也就是说，将 采用式（４）确定的Ｈ（ｚ）取共轭，得到的系统函数也 满足给定的幅度响应。 另外，我们还可以令式（３）中的某些ｅ ＝Ｚ，另一 些ｅ ＝１／ｚ ，得到 的其它有理函数表达式。比如： 则幅度平方函数具有如下形式： １日（ｅ ）Ｉ ＝日（ｅ ）日’（ｅ ）＝ Ｉｂ。１ ２ （ 一ｃ ｅ ）（１一ｃ ｅ ） … Ｇ ） 。 ｉｈ ｌｔ， ２ ＩＪ（，１ 一 ）（１ －Ｃｋ／ｚ）丽 Ｈ（ｚ）Ｈ’ ）（６） ｌ口ｏ ｌ ＩＩ（１一ｄｋｅ０ ）（１一ｄｋ ｅ ） ２）由幅度平方函数确定系统函数 现在考虑由ｌＨ（ｅ ）ｌ确定Ｈ（ｚ）的表达式。文 献［１］采用的方法是将式（３）中的ｅ 用ｚ替换，得到 ：制 ＝ （ｚ）Ｈ （１／ｚ ）＝Ｃ，（Ｚ） （４） Ｃ。（ ）的零点是Ｃ 和１／ｃ ，它们互为共轭反 演，极点是ｄ 和１／ｄｋ’，也互为共轭反演。如果日 （ ）的系数都是实数，则零点四个一组ｃ ，ｃ ，１／ｃ 和１／ｃ 互为共轭和反演关系 ｌ３ Ｊ，位于单位圆上或 实轴上的零点则两个一组甚至单独存在。极点的 特点也是如此。这些零点和极点分别来自于日（ｚ） 和日 （１／ｚ’）。 所以，如果ｌＨ（ｅ ）Ｉ的表达式已知，则可以首 先根据式（４）确定ｃ （Ｚ）。然后将所有因式（包括 常数）分成两部分，分配的原则是互为共轭反演的 零点或极点所在的因式必须分开，互为共轭的零点 或极点所在的因式必须在一起。两部分中的任意 一部分构成Ｈ（ｚ）。由于零点极点的分法不唯一，所 以 （ ）的表达式也不唯一。 下面我们讨论一下除了上述方法确定的系统 函数，还有没有其他的可能。考虑到ＩＨ（ｅ ）Ｉ中的 ｅ 也可能是Ｈ（ ）中的１／ｚ Ｉ…抽转换得到的，所以 也可以将式（３）的ｅ ）用１／ｚ 替换以还原系统函 数，即有 ２ ．：Ｐ￣＇ｏ ｌ 兰Ｈ（１／ｚ ）Ｈ （名）＝Ｃ （ ）＝Ｃ。’（ｚ） （５） 该表达式仅仅是式（４）的共轭，所以ｃ：（ｚ）的零 点极点和Ｃ。（Ｚ）具有相同的特点。将ｃ：（ ）的因式 分成两部分，其中一部分构成日（ ）就得到系统函数 的另外一些可能的表达式。比较式（４）和式（５）发 或 『ｂ Ｉ ｚ （１一Ｃｋｚ ）（１一ｃｋ’ ） 一Ｉ ｏ Ｉ ｒｉ＜１一ｄｋｚ ）（１一ｄ ｚ）一 日（１／ｚ’）日 （１／ｚ ）＝Ｃ３ （１／ｚ ） （７） ｃ。和ｃ 的零点和极点全是二阶的。如果日（ ） 的系数都是实数，则具有互为共轭的二阶零点对和 互为共轭的二阶极点对。 所以，如果幅度响应Ｉ Ｈ（ｅ ）Ｉ 的函数表达式已 知，也可先根据式（６）或式（７）确定Ｃ３（Ｚ）和Ｃ４（ ）， 然后将所有二次因式都只取一次方构成日（ｚ）。将 式（６）、式（７）和式（４）对比发现，这两种方法得到 的结果其实就是采用式（４）得到结果中的两个。 式（３）中各因式对在用ｅ ＝ｚ和ｅ ＝１／ｚ’分别 进行替换时还可以有不同的组合方式，得到的所有 的表达式其实都包括在式（４）得到的结果中。所 以，采用式（４）确定的系统函数就涵盖了所有的情 况，最多再扩充同等数量的取共轭的系统函数。文 献［１］只给出了这种方法。 如果Ｈ（ｚ）的零点和极点个数没有规定，根据以 上方法确定的系统Ｈ（ｚ）级联任意全通系统Ｈａ。（ｚ）， 得到的新系统［Ｈ（ｚ） （ ）］也具有规定的幅度响 应Ｊ日（ｅ ）ｌ，所以日（ ）有无穷多种可能选择。 ３）由幅度平方函数确定频率响应 按照前面的方法确定了Ｈ（ ），也就是可以确 定Ｈ（ｅ ）。下面再讨论根据１日（ｅ ）Ｉ。直接确定 Ｈ（ｅ ）的问题，对这个问题的分析要简单得多。从 式（３）看出ｌＨ（ｅ ）Ｉ 是ｅ 的有理函数，并且分子 必然是互为共轭的两个因式成对出现，分母亦然。 在这些因式对中任取其一进行组合则得到日（ｅ ） 的若干种不同的表达式。如前所述，如果Ｈ（ｚ）的系 数全是实数，则式（３）可能存在如下形式： ［（１一Ｃｋｅ一 ）（１一ｃｋ ｅ ）（１一Ｃｋｅ ）（１一ｃｋ ｅ ）］ 分组时前两项必须一起，后两项必须一起。 电气电子教学学报 第３４卷 同理，这个级联任意全通系统后的频率响 （二 ≤三 １三 的因式组，则选取时分子 应［Ｈ（ｅ ）日 。（ｅ ）］也可以是此所求，所以结 一ｃｋ ｅ ）（１一Ｃｋｅ ） 一一一 一 …一。。 果可能无穷多。 中的两个因式必须同时取舍，分母中的两个因式也 综上所述，同样这一个１日（ｅ ）１可对应不同的 必须同时取舍。 日（ ），它们具有不同的零点和极点。由这些零点和 我们也可以将式（１０）的ｅ 替换成 ，得到 极点所确定的幅度响应是相同的，但相位响应是不 同的。所以说，幅度响应不能唯一地确定相位响 ： ： 应，但在零点和极点个数确定的情况下，相位响应 只有能有限种选择。 （１１） 与前面类似地，将Ｃ（ｚ）的因式分成两组，得到 ２根据相位确定幅度 Ｈ（ｚ）的若干种表达式。 给定系统的相位响应ａｒｇ［Ｈ（ｅ ）］，并且已知 另外，根据上述方法求出Ｈ（ｅ ））或Ｈ（Ｚ－）后， 系统函数Ｈ（ｚ）是ｚ的有理函数。我们下面讨论根 级联一个相位为零的系统，得到的新的系统也满足 据ａｒｇ［Ｈ（ｅ ）］确定Ｈ（ｅ ）或Ｈ（ｚ）的方法。 给定的相位。 我们采用简写符号ａ（ｅ ）＝ｔａｎ｛ａｒｇ［Ｈ（ｅ ）］｝。 综上所述，相位给定的情况下，幅度的选择也 因为 不是唯一的，在零点极点个数确定的情况下，幅度 响应只有有限种可能。 口ｅＪ‘ｔＯ ＝ ＝ ３ 结语 一一旦 ：２ ： ：）＝ ｊ［Ｈ（ｅ ）／Ｈ （ｅ ）＋１］ 本文针对具有有理系统函数的系统，首先分析 所以， （ ）是 的有理函数的情况下， （ｅ ）是 了由给定的幅度响应确定系统函数的方法，全面考 ｅ 的有理函数。由式（８）可以求得 虑了各种情况以验证教材上给出方法的正确性，然 后讨论了由幅度响应直接确定频率响应的方法，接 ｃ（ｅ ＝ ＝ （９） 下来又讨论了由相位响应确定系统函数和频率响 如果Ｈ（ｅ ）具有式（２）的形式，则 应的方法，从而全面验证了幅度和相位之间存在着 某种约束关系。 参考文献： 可见Ｃ（ｅ ）也是ｅ 的有理函数，其分子和分母 ［１］Ａｌａｎ Ｖ．Ｏｐｐｅｎｈｅｉｍ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ—Ｔｉｍｅ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ（ｓｅｃｏｎｄ ｅ－ 必然是互为共轭的两个因式成对出现。如果任取 ｄｉｔｉｏｎ）．Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌｌ，１９９９ 其中的一个因式则得到Ｈ（ｅ ）的表达式，比如说取 ［２］倪养华，王重玮．数字信号处理一原理与实现．上海：上海交通 （１一Ｃｋｅ ）或（１～Ｃ ｅ ），结果也是不唯一的。如 大学出版社，１９９８ 果Ｈ（ ）的系数全是实数，则式（１０）可能存在形如 （上接第１８页蔡昕烨文） 参考文献： ． ［４］Ｋｕｒｏｓｅ ａｎｄ Ｒｏｓｓ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｎｅｔｗｏｒｋｉｎｇ．Ａ Ｔｏｐ－Ｄｏｗｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ， ４ｔｈ ｅｄｉｔｉｏｎ（影印版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５年１月 ［１］ 宁天舒，高校实施双语教学的原则和条件．［Ｊ］：南宁：高教论 ［５］Ｌａｒｒｙ Ｌ．Ｐｅｔｅｒｓｏｎ ａｎｄ Ｂｒｕｃｅ Ｓ．Ｄａｖｉｅ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ：Ａ 坛。２００３（６）：９６ ［２］ 陈其霆，张正华，高校双语教学中的难点与对策，［Ｊ］．南京： Ｓｙｓｔｅｍ Ａｐｐｒｏａｃｈ，４ｔｈ ｅｄｉｔｉｏｎ（影印版）［Ｍ］．北京：机械工业出 南京航空航天大学学报，社会科学版，高等教育研究，２００７ 版社，２００７年５月 ［６］谭晓阳，钱红燕，陈兵，在“计算机网络”课程中开展研究式教 （１）：１３５—１３７ ［３］ Ａｎｄｒｅｗ Ｔａｎｅｎｂａｎｍ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，４ｔｈ ｅｄｉｔｉｏｎ（影印版） 学的探索［Ｊ］．南京：南京航空航天大学学报，社会科学版，高 等教育研究，２００７（１）：９９．１０１ ［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４年１月
