北京市昌平区 2019-2020学年初二上期末数学试卷含答案 - 学年第一
学期初二年级期末质量抽测
数 学 试 卷
120 分钟， 120 分 ．1
一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 3 的相反数的是
A ． 3
B． - 3
．．
C． 3 D．- 3
2．下列图形中，不是 轴对称图形的是
A B C D
3．如图， AB∥ CD， BC∥ AD，AB=CD ，BE=DF ，图中全等的三角形的对数是
B
D. 6
A
C EF A ． 3
4．若分式
B. 4
2
C. 5
x9 3
D
的值为 0，则 x 的值等于
x
A ． 0
B． 3
C． - 3 D．± 3
5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是
A ． 1， 2， 4 B． 8， 6，4 C． 12， 6， 5 D． 3，3， 6
A
D
6．如图， DE 是△ ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 A． 13
BC=8， AB=10，则△ EBC 的周长是
B．16
C．18
D． 20 B
C ．
E
7．下列各式中，正确的是
C
A ． x
6
x
3
B ． x m m
x n n
a b
c a b c
D．
1 1 a b a b
ab
x2
8．一次函数 y＝ - 2x - 1 的图象不经过
A ． 第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D． 第四象限
1 / 14
9． 下列说法正确的是
A ． 带根号的数一定是无理数
B． 无限小数一定是无理数
D． 无理数是开平方或开立方开不尽的
C． 无理数一定是无限小数
数
10． 已知两点 M（ 3，2）， N（ - 1， 3），点 P 是 x 轴上一动点，若使
PM +PN 最短，则点
P 的坐标应为
A . （ 0， - ）
7
B. （ ， 0） C. （ ， 0）D.
7
3
（ ，0）
7
4
4 2
3 分，共 18 分）
5
二、填空题 （共 6 道小题，每小题 11. 36 的平方根是 ____________.
12. 二次根式 x 2 中， x 的取值范围是 13. 一个等腰三角形顶角的外角是
．
100°，则它的底角的度数是 .
14. 已知 a 、 b 为两个连续的整数，且 a 点 B 是小正方形的顶点，则点 16.观察规律：
28 b ，则 a b
.
A
． 1，点 A 和
15. 如图，矩形网格由小正方形构成，每一个小正方形的边长都为
A 和点 B 之间的距离为
B
1
2 1
2 1 2 1
2
1
2 1 2 1 2 1
1 3 2
3 3
2
2 3
2
3 2
3
2
3 2
1
同理可得：
4
3
1 11
3
4
依照上述规律，则：
；
1 n 1 n
（ n≥ 1 的整
10
数）；
1
1 3
2
1 4
3
L
1 2016
2015
2016 1 =____________.
2 1
2 / 14
三、解答题 （共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 17．计算：
27 6 8
18．计算：
x2 x 2
6 1 ．
3
19．解方程：
3
1 x 2 x 2 ． 1 x 1 x
2x 2 ． x x 1
20．已知：如图， E、 C 是 BF 上两点，且 AB∥DE， BE = FC ，∠ A= ∠ D. 求证： AC = DF
.
A B
D
E C F
21．先化简，再求值：
a 2 22． 列方程解应用题
某学校组织学生到离校
a 3
2 a 1
1
1 ，其中 a 2 1 a
a 1 0 ．
20 千米的国家博物馆进行实践教育活动，同学们统一从学校乘
车前往．小明在去学校的途中遇上堵车，比同学们晚 15 分钟从学校出发，由他的家长开车沿相同路线送小明赶往国家博物馆，结果小明和同学们同时到达．已知小明的速度是同学
们的速度的 2 倍，求同学们的速度是每小时多少千米？
四、解答题 （共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
23．如图，在 △ ABC 中， AB=AC，点 D 是 BC 上一点，点 E 是 AC 上一点，且 DE ⊥AD.
若 ， ，求 的度数．
∠ BAD= 55° ∠ B=50° ∠ DEC
A
E
B
24．如图，已知∠
D
C
CAB，用直尺和圆规作∠ ABD ，使∠ ABD = ∠ A，射线 BD 与射线 AC 相
1
2
交于点 D．（不写画法，保留作图痕迹）
C
A
B
3 / 14
25. 如图，已知△ ABC 中， ∠ACB =90°， AC= BC = 2 ，△ ABD 是等边三角形，求 CD 的长 度．
A C B
D
26．已知：如图所示，点 P 到直线 l 的距离为
3
P， Q 分别代表两个小区，直线 l 代表临近小区的一条公路．点
2 千米，两点 P、 Q 所在直线与直线 l 的夹角为 45°，两小区 P、 Q
l 上的某处设置一个公交车 P 和小区 Q 的距离之和 m 最短，请在
m 的值． Q
2
之间的距离为 1 千米．根据居民出行的需要，计划在公路 站．考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到小区 公路 l 上画出车站的位置（用点
M 表示，保留画图痕迹，不写作法），并求出
P
l
4 / 14
五、解答题 （共 3 道小题，第 27， 28 小题各 7 分，第 29 小题 8 分，共 22 分） 27. 阅读材料，解答问题
数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．
小惠说： 如图 1，我用相同的两块含 30°角的直角三角板可以画角的平分线．画法如
下：
（ 1）在∠ AOB 的两边上分别取点 M，N，使 OM=ON ； （ 2）把直角三角板按如图所示的位置放置，两斜边交于点 射线 OP 是∠ AOB 的平分线． 小旭说： 我只用刻度尺就可以画角平分线． 请你也参与探讨，解决以下问题： （ 1）小惠的做法正确吗？说明理由；
（ 2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图
P．
A M O
N
P
B 图1
2 中∠ QRS 的平分线，并简述画图的过程．
Q
R
S
图 2
28 ． 如 图 ， 已 知 ， MN 是 AD 的 垂 直 平 分 线 ，点 C 在 MN 上 ， ∠ MCA=20 ° ， ∠
ACB=90°， CA =CB =5， BD 交 MN 于点 E，交 AC 于点 F，连接 AE． （ 1）求∠ CBE ，∠ CAE 的度数； （ 2）求 AE2+BE2 的值．
B
A
F E
M
C D
29. 直线 AB： yx b 分别与 x， y 轴交于 A ， B 两点，点 A 的坐标为 ( 3,0) ，过点 B 的
直线交 x 轴负半轴于点 C，且 OB: OC=3: 1． （1）求点 B 的坐标及直线 BC 的解析式；
（2）在 x 轴上方存在点 D ，使以点 A， B，D 为顶点的 三角形与△ ABC 全等，画出△ ABD 并请直接写出点
y
B
D 的坐标；
（3）在线段 OB 上存在点 P，使点 P 到点 B， C 的距离相等， 求出点 P 的坐标 .
N
C
O 1
A
x
- 学年第一学期初二年级期末质量抽测
-1
5 / 14
数学试卷参及评分标准
．1
一、 （本 共 10 道小 ，每小 3 分，共 30 分）
题号 答案
1 D
2
A
3
A
4
C
5 B
6
C
7
D
8
A
9
C
10
D
二、填空 （本 共 6 道小 ，每小 3 分，共 18 分）
13 50 °
14 11
15 5
题号 答案 11 ±6
12 16
11 - 10 ， n 1 -
x≥ 2
n ，
三、解答 （共 6 道小 ，每小
17 ．解：原式 = 3 3 48-
5 分，共 30 分） 6
3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
3
= 3 3 4 3- 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
= 5 3 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
18 ．解 : 原式 =
x 2 1 x ( x 1)(x 1) x x
2 x 1 x 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
=
x 2 1 ( x 1)( x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
1) x 1
=
x2 1 ( x 1)(x
x( x 1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
1) ( x 1)(x 1)
1- x
=
( x 1)( x 1)
=
.
x 1
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
6 / 14
19 ．解：方程两 同乘以
（ 3 x
) 2 1 2x
（
2 x x
x（x-1 ），得
) 1 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
去括号，得 3x 3 2x2
2x2 +2x ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 移 ，得 3x - 2x2 +2x2 - 2x 3．
所以 x =3 ．
， x=3 是原方程的解 ．
20 ． 明：∵ AB∥ DE，
∴ ∠B=∠DEF．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
∵ BE=FC，
∴ BC=EF．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分在△ ABC和△ DEF中，
A D， B
DEF ，
BC EF，
∴ △ ABC≌△ DEF． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 ∴ AC = DF ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
21 ．解 : 原式 =
a3 1
1
( a 1)2 a 1
3 =
aa 1 1 ( a 1)2
a 1
a 1
7 / 14
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
A
D
B
E
C F
=
a3 a
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
( a 1)2 a 1
a
3
= (
a
)2 1 a
a
-1
= a2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
a 1
∵ a2 ∴ a
a 1 0 ， 1 a2 ．
a2 1
∴ 原式 = a2
a
a2
1．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
22 ．解： 同学 的速度 x 千米 / ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分 小明的速度
2x 千米 / ， 15 分 =
4
20 20 x 2x
1
小 ．
依 意，列方程得
1 4
．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
解得 x=40 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
x=40 是所列方程的解，并且符合 意．
答：同学 的速度
40 千米 / ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
8 / 14
四、解答 （本 共 4 道小 ，每小
5 分，共 20 分） 23 ．解：∵ AB= AC，
∴ ∠B=∠C．
A
∵ ∠ B= 50 °，
C = 50
∴ ∠ ∴ ∠
°．
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
B
D
E C 180 °-50 °-50 ° =80．°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
BAC =
∵ ∠ BAD=55 °，
∴ ∠DAE = 25 °． ∵ DE⊥AD，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
C
D
E
∴ ∠ADE=90 °．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
A
B
∴ ∠DEC = ∠DAE+ ∠ADE=115 °． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
24．画 : （ 1）作 段 AB 的垂直平分 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
（2 ）作∠
的平分 ，与 的垂直平分 交于点 ； ⋯⋯ 4 分
CAB AB E
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
（3 ）作射 BE交 AC于点 D．
∠ABD 即 所求．
25 ．解：∵ ∠
ACB
=90°， AC BC
= = 2 ，
A
C
∴ 由勾股定理，得
AB=2 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
E
D
B
∠CAB=∠CBA =45°． ∵ △ABD是等 三角形，
9 / 14
∴ AB=AD=BD=2 ，
∠DAB=∠ABD=60°． ∵ AC= BC，
AD=BD，
∴ AB⊥ CD于 E，且 AE=BE=1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 在 Rt△ AEC中，∠AEC= 90°，∠EAC= 45 °， ∴ ∠ EAC=∠ ACE= 45°． ∴ AE=CE=1．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
在 Rt△ AED中，∠AED=90°，AD=2， AE=1，
∴DE= 3 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
CD=
∴
3 1 ．
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分
26．解：如 ，作点 求． ⋯⋯ 2
P 关于直 l 的 称点 P’， 接 P’Q，交直 l 与点 M，点 M 即 所
分
如 ，由 意， ∠ QNM=45 °，∠ PON=90 °， PO=
3 2
2 ,
Q
P
N
∴ ∠ OPN=∠QNM=45°．
l O M P'
∴ ON=OP= 2
3
．
2
∴ PN=3．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
由 称的性 ，得
∴ ∠ QNP’=90°．
P’N= PN= 3，∠ MNP’= 45 °．
∵ PQ=1， ∴ NQ= 4． ∴ P’Q= 5．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
10 / 14
∵ P’M=PM，
∴ m=PM+QM=P ’M+ QM=P’Q=5．
⋯⋯⋯⋯⋯5 分
五、解答 （共
3 道小 ，第 27 ，28 小 各 7 分，第 29 27 ． 解：（ 1）小惠的做法正确．
理由如下：
如 1，
O 点作 OC ⊥ PM 于 于 ．
C ， OD ⊥ PN
D ∴ ∠ C= ∠D= 90°．
由 意，∠ PMA=∠PNB=60°，
∴ ∠OMC=∠ PMA=60 °，∠OND=∠ PNB=60 °．
∴ ∠OMC=∠OND．
∵ OM=ON，
∴ △OMC≌△ OND．
∴ OC=OD，∠COM=∠ DON． ∵ OC⊥PM 于 C，OD⊥ PN于 D． ∴ 点 O 在∠CPD的平分 上 ． ∴ ∠CPO=∠DPO． ∴ ∠COP=∠DOP． ∴ ∠MOP=∠NOP．
11 / 14
小 8 分，共 22 分）
C M A
O
P
D N
B
图1
即 射 OP是∠ AOB 的平分 ．
⋯⋯⋯⋯⋯3 分
⋯⋯⋯⋯⋯5 分
V R
W
X U
图 2
（2）如 ． 射 RX 是∠ QRS的平分 ．
T
Q
述画 程：如 2．
用刻度尺作 RV= RW，RT= RU；
S
接 TW， UV 交于点 X；
射 RX即 所求 ∠ QRS的平分 ．
⋯⋯⋯⋯⋯7 分
28 ．解： 接 CD．
（1） ∵ MN 垂直平分 AD，点 C， E 在 MN 上， ∴ 根据点 A， D 关于 MN 的 称性，得
CA=CD， ∠MCD=∠MCA，∠CAE=∠CDE．
∵ CA=CB，
∴ CB=CD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ∴ ∠CBE=∠CDB，
∴ ∠CBE=∠CAE， ∵ ∠MCA=20°，
B
A
F E
C
M
N
∴ ∠MCD=20°．
D
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCD=130 °．
∴ ∠CBE=∠CDB=25°，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
∠CAE=∠CDB=∠CBE = 25°．
12 / 14
（2）∵ ∠CFE既是△AEF的外角又是△ BCF的外角，
∴ ∠CFE=∠CAE+∠AEF=∠CBF+∠FCB．
∵ ∠CAE=∠CBE，
∴ ∠AEB=∠ACB=90°． ∴
2
BE2 AB2 ．
AE + =
∵ ∠ACB=90°，CA=CB， AC=5，
2
= 2
+ 2= 50．
∴ AB AC BC
∴ AE2+BE2= AB2 =AC2+BC2= 50．29 ．解：（ 1）把 A ( 3,0) 代入 y ∴ B（ 0，3）． ∴ OB=3，
∵ OB: OC=3: 1， ∴ OC=1，
∵ 点 C 在 x 半 上，
∴ C（ - 1， 0）．
直 BC 的解析式 y=mx+n．
把 B（ 0， 3）及 C（ - 1，0）代入，得
解得
m
3， n 3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 x b ，得 b=3 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯１分
y
D1
B
D2
P
C
n 3， -1
O 1A
x m n 0．
13 / 14
∴ 直 BC的解析式 ： y=3x+3．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 （2）画 正确．
D1（ 4， 3）， D2 （ 3， 4）．
（3）由 意， PB=PC．
PB=PC=x, OP=3- x．
在 Rt△POC中，∠ POC= 90°，∴ OP2+OC2= PC2 ．
∴ ( 3- x) 2 +12= x2 ．
5
解得， x=
．
4
∴OP=3- x= ． ∴点 P 的坐 ( 0,
4
)
．
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
14 / 14
