2001年全国统一高考数学试卷(理科)

2001年全国统一高考数学试卷（理科）

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Http://www.jyeoo.com 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、若sinθ•cosθ＞0，则θ在（ ） A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第一、四象限 D、第二、四象限 2、过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（ ） A、（x﹣3）+（y+1）=4 B、（x+3）+（y﹣1）=4

2222

C、（x﹣1）+（y﹣1）=4 D、（x+1）+（y+1）=4

3、设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A、1 B、2 C、4 D、6

4、（2002•广东）若定义在（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）＞0，则a的取值范围是（ ）

A、C、

B、

2

2

2

2

D、（0，+∞）

的图形是（ ）

5、极坐标方程

A、 B、

C、 D、

6、函数y=cos x+1（﹣π≤x≤0）的反函数是（ ） A、y=﹣arccos（x﹣1）（0≤x≤2） B、y=π﹣arccos（x﹣1）（0≤x≤2） C、y=arccos（x﹣1）（0≤x≤2） D、y=arccos（x﹣1）（0≤x≤2） 7、若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0） F2（3，0），则其离心率为（ ）

A、 C、

B、 D、

，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则（ ）

8、（2002•广东）若0＜α＜β＜

A、a＜b＜1 B、a＞b＞1 C、ab＜1 D、ab＞1 9、（2002•广东）冰柜里装有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（ ）

A、C、

B、 D、

10、（2002•广东）设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是（ ） ①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递增； ②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递增； ③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递减；

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Http://www.jyeoo.com ④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递减． A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 11、（2002•广东）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ）

A、P3＞P2＞P1 B、P3＞P2=P1 C、P3=P2＞P1 D、P3=P2=P1 12、（2002•广东）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）

A、26 B、24 C、20 D、19

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是 _________ ． 14、（2002•广东）双曲线

的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为

_________ ． 15、（2002•广东）设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则q= _________ ． 16、（2002•广东）圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 _________ ． 三、解答题（共6小题，满分74分）

17、（2002•广东）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=． （Ⅰ）求四棱锥S﹣ABCD的体积； （Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

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18、已知复数z1=i（1﹣i）． （1）求argz1及|z1|；

（2）当复数z满足|z|=1，求|z﹣z1|的最大值．

2

19、设抛物线y=2px （p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

20、已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．

iiii

（1）证明nPm＜mPn；

nm

（2）证明（1+m）＞（1+n）．

21、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．

（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式； （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

22、（2002•广东）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），且f（1）=a＞0． （Ⅰ）求f

；

3

（Ⅱ）证明f（x）是周期函数； （Ⅲ）记an=f（2n+

），求

．

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Http://www.jyeoo.com 答案与评分标准

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、若sinθ•cosθ＞0，则θ在（ ） A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第一、四象限 D、第二、四象限 考点：象限角、轴线角。 专题：计算题。

分析：由三角不等式，得到同解不等式组，根据三角函数的定义，容易判断θ所在象限． 解答：解：sinθ•cosθ＞0，可得

显然θ在第一、三象限 故选B．

点评：本题考查象限角，考查逻辑思维能力，是基础题． 2、过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（ ）

2222

A、（x﹣3）+（y+1）=4 B、（x+3）+（y﹣1）=4

2222

C、（x﹣1）+（y﹣1）=4 D、（x+1）+（y+1）=4 考点：圆的标准方程。

分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．

解答：解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立． 故选C．

点评：本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．

3、设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A、1 B、2 C、4 D、6 考点：等差数列的性质。 专题：方程思想。

分析：由等差数列的性质可得a1+a3=2a2，又已知a1+a2+a3=12，可得a2=4，故条件转化为a1+a3=8，a1×a3=12，解方程即可求出a1．

解答：解：设{an}的前3项为a1，a2，a3，则由等差数列的性质可得a1+a3=2a2， ∴a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4， 由题意可得

，解得

或

，

∵{an}是递增等差数列， ∴a1=2，a3=6， 故选B．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与等差数列的性质，应用了解方程思想，是高考重点考查的内容． 4、（2002•广东）若定义在（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）＞0，则a的取值范围是（ ）

A、C、

B、

D、（0，+∞）

考点：对数函数的定义。 专题：计算题。

分析：由x的范围求出对数真数的范围，再根据对数值的符号，判断出底数的范围，列出不等式进行求解．

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Http://www.jyeoo.com 解答：解：当x∈（﹣1，0）时，则x+1∈（0，1），因为函数f（x）=log2a（x+1）＞0 故0＜2a＜1，即

．

故选A．

点评：本题考查了对数函数值的符号与底数的关系，即求出真数的范围，根据对数函数的性质求解． 5、极坐标方程

的图形是（ ）

A、 B、

C、 D、

考点：简单曲线的极坐标方程。 专题：计算题。 分析：先将原极坐标方程

标方程，再利用直角坐标方程进行判断． 解答：解：将原极坐标方程

，化为：

中的三角函数式利用和角公式展开，再两边同乘以ρ后化成直角坐

ρ=sinθ+cosθ 2

ρ=ρsinθ+ρcosθ

22

化成直角坐标方程为：x+y﹣y﹣x=0， 它表示圆心在第一象限，半径为1的圆． 故选C．

222

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得．

6、函数y=cos x+1（﹣π≤x≤0）的反函数是（ ） A、y=﹣arccos（x﹣1）（0≤x≤2） B、y=π﹣arccos（x﹣1）（0≤x≤2） C、y=arccos（x﹣1）（0≤x≤2） D、y=arccos（x﹣1）（0≤x≤2） 考点：反三角函数的运用。 专题：计算题。

分析：直接求出x的表达式，注意取值范围，判断选项即可． 解答：解：由y=cos x+1（﹣π≤x≤0）， 可得0≤y≤2，且cosx=y﹣1，

所以函数y=cos x+1（﹣π≤x≤0）的反函数是：y=﹣arccos（x﹣1）（0≤x≤2） 故选A．

点评：本题考查反函数的应用，注意反函数的定义域，是基础题． 7、若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0） F2（3，0），则其离心率为（ ）

A、 C、

B、 D、

考点：椭圆的简单性质。 专题：计算题。

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Http://www.jyeoo.com 分析：先根据焦点坐标求得椭圆的半焦距c，进而根据原点到两焦点的距离求得长轴，进而求得a，，最后根据e=求得答案．

解答：解：依题意可知2c=3﹣1=2， ∴c=1

原点到两焦点距离之和为2a=1+3=4， ∴a=2

∴椭圆的离心率为e==

故选C

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用了椭圆的定义． 8、（2002•广东）若0＜α＜β＜

，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则（ ）

A、a＜b＜1 B、a＞b＞1 C、ab＜1 D、ab＞1 考点：两角和与差的余弦函数。

分析：根据辅角公式可先将sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b化简，再根据α，β的范围进行确定a，b的大小． 解答：解：∵a=又∵＜α+

sin（α+

＜

），b=，

sin（β+

），

＜β+

∴1＜a＜b，ab＞1． 故选D．

点评：本题主要考查辅角公式的应用和三角函数的单调性问题． 9、（2002•广东）冰柜里装有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（ ）

A、C、

B、 D、

考点：等可能事件的概率。 专题：计算题。

分析：先求出饮料的总瓶数及含咖啡因的饮料的瓶数，再利用概率公式解答即可．

解答：解：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒一共32瓶，5瓶特种可乐、12瓶普通可乐共17瓶含有咖啡因，

所以从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是

=

．

故选D．

点评：本小题主要等可能事件的概率，本题比较容易，考查等可能条件下的概率，根据等可能条件下的概率的公式可得．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于基础题． 10、（2002•广东）设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是（ ） ①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递增； ②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递增； ③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）﹣g（x）单调递减； ④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）﹣g（x）单调递减． A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 考点：函数单调性的性质。

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Http://www.jyeoo.com 专题：转化思想。

分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要举出反例就能说明不正确．

解答：解：①f（x）=2是增函数，g（x）=2是增函数，而f（x）﹣g（x）=﹣2是减函数，故不正确，排除A、B， ④f（x）=﹣x是减函数，g（x）=﹣2x是减函数，而f（x）﹣g（x）=x是增函数，故不正确，排除D， 故选C．

点评：本题考查了函数的单调性的应用，两个函数的简单运算后判定单调性，属于基础题． 11、（2002•广东）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ）

x

x+1

x

A、P3＞P2＞P1 B、P3＞P2=P1 C、P3=P2＞P1 D、P3=P2=P1 考点：平面与平面之间的位置关系。 专题：综合题。

分析：因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式

S影=S•cosα，知屋顶面积P1、P2、P3均相等． 解答：解：∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是α，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，可设为S0，

则由面积射影公式，得：P1=S0•cosα，P2=S0•cosα，P3=S0•cosα，∴P1=P2=P3． 故选D．

点评：本题是二面角知识在实际生活中的应用，由面积射影公式S影=S•cosα，容易得出结论，是基础题． 12、（2002•广东）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）

A、26 B、24 C、20 D、19 考点：分类加法计数原理。

分析：根据题意，计算各个路线的最大信息量，相加可得答案． 解答：解：依题意，首先找出A到B的路线，一共有四条，

分别是：BFGA，信息量最大量为6；BCDA，信息量最大量为3，BEDA，信息量最大量为4，BHGA，信息量最大量为6，

故单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19， 故选D．

点评：本题考查分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

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Http://www.jyeoo.com 13、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是 2π ． 考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。 专题：计算题。 分析：本题考查的是圆锥的侧面积求解问题．在解答的时候，应先结合：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为分析圆锥的母线长和底面半径长，结合圆锥的侧面积公式即可获得问题的解答． 解答：解：由题意：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为， ∴对于轴截面有：

2

，

，

∴a=4，∴a=2，

所以圆锥的侧面积为：π•1•2=2π． 故答案为：2π．

点评：本题考查的是圆锥的侧面积求解问题．在解答的过程当中充分体现了三角形面积公式的应用、圆锥侧面积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思． 14、（2002•广东）双曲线 ．

考点：双曲线的应用。 专题：计算题。

分析：设出点P坐标（x，y），由PF1⊥PF2得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值． 解答：解：设点P（x，y）， ∵F1（﹣5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴∴x+y=25 ①， 又

，

2

2

的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为

•=﹣1，

∴

2

﹣=1，

∴y=∴|y|=

， ，

．

∴P到x轴的距离是

点评：本题考查双曲线的方程、性质的应用． 15、（2002•广东）设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则q= 1 ． 考点：等差关系的确定。 专题：计算题。

分析：根据{an}是公比为q的等比数列，设出首项和公比，写出前2项和，前3项和，根据{Sn}是等差数列，用写出的和设出的{Sn}的前三项得到等差中项的等式，解出关于q的方程，得到结果． 解答：解：设首项为a1，则 s1=a1， s2=a1+a1q

2

s3=a1+a1q+a1q

由于{Sn}是等差数列，

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Http://www.jyeoo.com 故2（a1+a1q）=a1+a1+a1q+a1q 2

q﹣q=0 解得q=1． 故答案为：1．

点评：本题没有具体的数字运算，它考查的是等差数列的性质，有数列的等差中项，等比数列的前n项和，实际上这类问题比具体的数字运算要困难，对同学们来说有些抽象． 16、（2002•广东）圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 2n（n﹣1） ． 考点：计数原理的应用。 专题：计算题。

分析：只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，在圆周上有2n个等分点共有n条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，可做2n﹣2个直角三角形，根据分步计数原理得到n条直径共组成的三角形数．

解答：解：由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形， ∵圆周上有2n个等分点 ∴共有n条直径，

每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形， ∴可做2n﹣2个直角三角形，

根据分步计数原理知共有n（2n﹣2）=2n（n﹣1）个． 故答案为：2n（n﹣1）

点评：本题考查分步计数原理，考查圆的有关问题，是一个综合题，解题的关键是对于圆上的点，怎样能组成直角三角形．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17、（2002•广东）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=． （Ⅰ）求四棱锥S﹣ABCD的体积； （Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

2

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题。 专题：计算题；综合题。 分析：（Ⅰ）先求底面ABCD的面积，利用高是SA，可求四棱锥S﹣ABCD的体积； （Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，SE是所求二面角的棱，说明∠BSC是所求二面角的平面角，解三角形BSC，可求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 解答：解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M底面=∴四棱锥S﹣ABCD的体积是

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE， 则SE是所求二面角的棱（6分）

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=；（4分）

（2分）

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Http://www.jyeoo.com ∵AD∥BC，BC=2AD ∴EA=AB=SA， ∴SE⊥SB

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC， EB是交线．又BC⊥EB， ∴BC⊥面SEB，

故SB是SC在面SEB上的射影， ∴CS⊥SE， 所以∠BSC是所求二面角的平面角（10分） ∵SB=∴tan∠BSC=

．（12分）

即所求二面角的正切值为

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，二面角及其度量，考查空间想象能力，理解失误能力，是中档题．

3

18、已知复数z1=i（1﹣i）． （1）求argz1及|z1|；

（2）当复数z满足|z|=1，求|z﹣z1|的最大值． 考点：复数代数形式的混合运算。 分析：（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解．

（2）z 设为三角形式，和复数z1的代数形式，共同代入|z﹣z1|，化简后可求最大值．

3

解答：解：（1）z1=i（1﹣i）=2﹣2i， 将z1化为三角形式，得∴

，

．

，

（2）设z=cosα+isinα，

则z﹣z1=（cosα﹣2）+（sinα+2）i，|z﹣z1|=（cosα﹣2）+（sinα+2）=当sin（

）=1时，|z﹣z1|取得最大值

2

2

2

2

（），

．

从而得到|z﹣z1|的最大值为．

点评：本题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．

2

19、设抛物线y=2px （p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题。 专题：证明题。

分析：先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BC∥x轴与点c在准线上可求得c的坐标，进而可表示出直线CO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． 得证．

解答：证明：如图因为抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F（，0）， 所以经过点F的直线的方程可设为

2

22

；

代入抛物线方程得y﹣2pmy﹣p=0， 若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，

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Http://www.jyeoo.com 所以y1y2=﹣p．

因为BC∥x轴，且点c在准线x=﹣上， 所以点c的坐标为（﹣，y2）， 故直线CO的斜率为

．

2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

点评：本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力． 20、已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．

iiii

（1）证明nPm＜mPn；

nm

（2）证明（1+m）＞（1+n）． 考点：二项式定理的应用。 专题：证明题。 分析：（1）先将要证的不等式变形为分别含m，n的式子，再利用排列数公式，据不等式的性质得证 （2）利用二项式定理再利用（1）的结论和排列数和组合数的关系得证． 解答：证明：（1）对于1＜i≤m有pm=m••（m﹣i+1），

i

，

同理，

由于m＜n，对整数k=1，2，i﹣1，有，

所以

，即mpn＞npm．

iiii

（2）由二项式定理有，

，

由（1）知mpn＞npm（1＜i≤m＜n）， 而

i

ii

i

i

，

i

i

i

，

所以，mCn＞nCm（1＜i≤m＜n）． 因此，

．

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Http://www.jyeoo.com 又mCn=nCm=1，mCn=nCm=mn，mCn＞0（1＜i≤m＜n）． ∴

n

000011ii．

m

即（1+m）＞（1+n）．

点评：本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．

21、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．

（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式； （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 考点：函数模型的选择与应用。 专题：应用题。 分析：（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量an，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，归纳出第n年旅游业收入为400×（1+）

1

n﹣

万元．从而得出n年内的旅游业总收入bn．

（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由bn﹣an＞0，解得n的取值范围即可． 解答：解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1﹣）万元，，第n年投入为800×（1﹣）所以，n年内的总投入为

an=800+800×（1﹣）++800×（1﹣）=4000×[1﹣（）]；（3分）

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元， 第n年旅游业收入为400×（1+）所以，n年内的旅游业总收入为 bn=400+400×（1+）+…+400×（1+）=1600×[（）﹣1]．（6分）

（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn﹣an＞0，

即1600×[（）﹣1]﹣4000×[1﹣（）]＞0． 化简得5×（）+2×（）﹣7＞0，（9分） 设x=（），代入上式得 5x﹣7x+2＞0，

2

n

n

n

n

n

n

n﹣1n﹣1

n

n﹣1

n﹣1

万元．

=

万元．

=

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Http://www.jyeoo.com 解此不等式，得即（）＜，

n

，x＞1（舍去）．

由此得n≥5．

答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．（12分）

点评：本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．

22、（2002•广东）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），且f（1）=a＞0． （Ⅰ）求f

；

（Ⅱ）证明f（x）是周期函数； （Ⅲ）记an=f（2n+

），求

．

考点：偶函数；极限及其运算。 分析：（1）通过对x1、x2合理的赋值以及配凑，构造所求的结论． （2）偶函数⇒f（﹣x）=f（x）；关于直线x=a对称⇒f（2a﹣x）=f（x）． 解答：（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]， 都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），所以

∵

f（1）=a＞0，（3分） ∴

，（6分）

（Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称， 故f（x）=f（1+1﹣x），即f（x）=f（2﹣x），x∈R 又由f（x）是偶函数知f（﹣x）=f（x），x∈R， ∴f（x）=f（x﹣2），x∈R， 得f（x）=f（x+2），x∈R

这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（10分） （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1] ∵f（）=f（n×

）=f（

）=f（

）

n

∴，（12分）

∵f（x）的一个周期是2

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Http://www.jyeoo.com ∴f（2n+∴

）=f（

），因此an=

．（14分）

（lnan）=

点评：本题考查了抽象函数和函数性质的综合应用．抽象函数往往是通过对自变量合理的赋值来解决问题；函数周期性、奇偶性、对称性三者之间具有知二求一的关系．

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Http://www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有：

qiss；danbo7801；gongjy；jj2008；1751049204；wsj1012；ying_0011；wdnah；涨停；yhx01248；zhwsd；杨南；minqi5；caoqz115588。（排名不分先后） 菁优网

2012年2月4日

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