高二上期末考试试卷

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______． 2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______． 3．已知二元一次方程组______．

的增广矩阵是

，则此方程组的解是

4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．

5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为______．

6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．

7．用数学归纳法证明“1+++…+

＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式

成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．

8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．

9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______． 10．若

，且

存在，则实数a的取值范围是______．

11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．

12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ ） A．B．C．（1﹣b，1﹣a） （1﹣a，1﹣b） （﹣a，﹣b） D．（﹣b，﹣a）

14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“

”是“点P在曲线C上”的（ ）

A．.充分不必要条件 B．.必要不充分条件 C．.充要条件 D．既非充分又非必要条件

15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（ ） A． B． C． D． 16．bn+1]⊊[an，bn]且对数列{an}，{bn}，若对任意的正整数n，都有[an+1，

则称[a1，b1]，[a2，b2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A．C．

B． D．

，

三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.

17．已知两直线l1：x+（m+1）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0． （1）当m为何值时，直线l1与l2垂直； （2）当m为何值时，直线l1与l2平行．

18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E是△ABC的外接圆． （1）求圆E的方程；

（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程． 19．已知（1）用

是不平行的两个向量，k是实数，且表示

；

．

（2）若，记

，且对任意n∈N*，都有

，求f（k）及其最小值．

20．在数列{an}中，

．

（1）计算a2，a3，a4，由此推测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）若

21．已知点P是曲线

，求无穷数列{bn}的各项之和与最大项．

上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得

|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2． （1）求曲线C2的方程；

（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求

的取值范围；

（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．

2015-2016学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为 20 ． 【考点】椭圆的简单性质．

【分析】利用椭圆的简单性质求解．

【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：∴a=10，b=5，

∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20． 故答案为：20．

2．已知直线l的一个方向向量的坐标是

，则直线l的倾斜角为 ．

=1，

【考点】直线的倾斜角．

【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出． 【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣， ∴θ=

．

．

故答案为：

3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是 ．

【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．

【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得． 【解答】解：由题意，方程组

解之得故答案为

4．行列式中﹣3的代数余子式的值为 ﹣5 ．

【考点】三阶矩阵．

【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．

【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=

﹣5

故答案为：﹣5

5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为 3x﹣2y+2=0 ． 【考点】待定系数法求直线方程．

【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．

【解答】解：∵AC的中点M（2，4）， ∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：

=

，

整理，得3x﹣2y+2=0， 故答案为：3x﹣2y+2=0．

6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是

．

【考点】两直线的夹角与到角问题．

【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=|

|=1，由此求得θ的值．

【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π）， 由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2， tanθ=|故答案为：

7．用数学归纳法证明“1+++…+

＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式

．

|=1，解得θ=

，

成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 2k ． 【考点】数学归纳法．

【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为时增加的项数即可．

【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为

；

，然后判断n=k+1

由n=k，末项为故答案为2k．

到n=k+1，末项为

，∴应增加的项数为2k．

8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是 ．

【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图及已知中p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值． 【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=； 当n=2时，S=+2﹣2=； 当n=3时，S=+2﹣3=； 当n=4时，S=+2﹣4=当n=5时，S=

+2﹣5=

； ；

当n=6时，退出循环，

则输出的S为：故答案为：

．

．

9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） ． 【考点】点与圆的位置关系．

【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a． 【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则

，解得a＜﹣2．

（2）若B在圆内部，A在圆外部，则

综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）． 故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）． 10．若

＜2 ．

【考点】极限及其运算． 【分析】根据

得出﹣1＜，且

，解得a＞1．

存在，则实数a的取值范围是 ﹣1≤a＜1，再根据存在得出

﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．

【解答】解：∵，

∴=，

∴﹣1＜＜1，

解得﹣4＜a＜2； 又

存在，

∴﹣1＜≤1，

解得﹣1≤a＜3；

综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2． 故答案为：﹣1≤a＜2．

11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为 9x+6y+1=0 ． 【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．

【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由

可以求出x=

，即点M（

），（2）存在斜

率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出

，这样根据

k便可得出关于x，y的方程，并验证点

便可用k分别表示出x，y，这样消去是否满足该方程，从而便得出点M的

轨迹方程．

【解答】解：设M（x，y），

（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴； ∴A（1，0），B（0，﹣1）； ∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）； ∴

；

∴；

即；

，则：

；

（2）若l1斜率为k，l2斜率为l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=∴

；

l2：∴∴由

； 得，

，令x=0，y=；

；

∴；

∴消去k并整理得：9x+6y+1=0； 点

满足方程9x+6y+1=0；

综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0． 故答案为：9x+6y+1=0．

12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是 [﹣20，4] ．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出

的坐标，进行数量积的坐标运算便得出

，这样根

据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．

【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则：

；

点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点； ∴设P（3cosθ，3sinθ）； ∴∴

；

；

∵﹣1≤cosθ≤1；

∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4； ∴的取值范围为[﹣20，4]． 故答案为：[﹣20，4]．

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ ） A．B．C．（1﹣b，1﹣a） （1﹣a，1﹣b） （﹣a，﹣b） D．（﹣b，﹣a） 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．

【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），

则，解得：，

故选：A．

14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“A．.充分不必要条件 B．.必要不充分条件 C．.充要条件 D．既非充分又非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．

【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）． ∴“点P在曲线C上”⇒“∴“

”，反之也成立．

”是“点P在曲线C上”的（ ）

”是“点P在曲线C上”的充要条件．

故选：C．

15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25， 则圆心坐标为（1，3），半径为5， 根据题意画出图象，如图所示： 由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，

=4， 所以BD=2BE=2

所以|AC|•|BD|=10•4=40． 故选：C．

16．bn+1]⊊[an，bn]且对数列{an}，{bn}，若对任意的正整数n，都有[an+1，

则称[a1，b1]，[a2，b2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A．C．

B． D．

，

【考点】数列的极限．

【分析】对于A，运用数列的极限，即可判断；对于B，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；

对于C，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；

对于D，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论． 【解答】解：对于A，间套；

对于B，当n=1时，[a1，b1]=[，]，[a2，b2]=[，]，显然不满足[a2，b2]⊊[a1，b1]，故不构成区间套；

对于C，当n=1时，[a1，b1]=[，]，[a2，b2]=[，]，显然不满足[a2，b2]⊊[a1，b1]，故不构成区间套

（bn﹣an）=

﹣

=2﹣1=1≠0，故不构成区

对于D，由1﹣（）n＜1﹣（）n+1＜1+（）n+1＜1+（）n，满足[an+1，bn+1]⊊[an，bn]；又=

（bn﹣an） [1﹣（）n]﹣

[1+（）n]=1﹣1=0，故构成区间套．

故选：D．

三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.

17．已知两直线l1：x+（m+1）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0． （1）当m为何值时，直线l1与l2垂直； （2）当m为何值时，直线l1与l2平行．

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A1A2+B1B2=0，可得 1×m+（1+m）•2=0，由此求得解得m的值．

（2）由两直线平行的充要条件是

=

≠

，由此求得解得m的值．

【解答】解：（1）∵两条直线l1：x+（1+m）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A1A2+B1B2=0，

即 1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．

（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，

即=≠，

解得：m=1．

18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E是△ABC的外接圆． （1）求圆E的方程；

（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论． （2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），

∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0）， 半径R=|BE|=

则圆E的方程为（x+1）2+y2=25． （2）∵（4+1）2+102=125＞25，

=

=

=5，

∴点M在圆外，

当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，

当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4）， 即kx﹣y+10﹣4k=0， 则圆心到直线的距离d=

=

=5，

即|2﹣k|=即4k=3，

，平方得4﹣4k+k2=1+k2，

则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，

综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4． 19．已知（1）用（2）若

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】（1）

=

=k

+

=k（

）+

，

是不平行的两个向量，k是实数，且表示

；

，记

，求f（k）及其最小值．

．

（2）利用（1）的结论，对【解答】解：（1）（2）

=2×

=

取平方，转化为二次函数求最值． =k

+

=k（

）+

=（1﹣k）+k

+k

．

=﹣1．∴|

|2=[（1﹣k）]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1

﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+． ∴f（k）=f（k）的最小值为

20．在数列{an}中，

，且对任意n∈N*，都有

．

=

． ．

（1）计算a2，a3，a4，由此推测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）若

【考点】数学归纳法；数列的函数特性．

，求无穷数列{bn}的各项之和与最大项．

【分析】（1）由

，且对任意n∈N*，都有

．可得a2=

=，

a3=，a4=．由此推测{an}的通项公式，an=

．再利用数学归纳法证明即

可得出． （2）

，可得bn=

+9

，利用等比数

列的前n项和公式可得：无穷数列{bn}的各项之和Tn． 【解答】解：（1）∵

，且对任意n∈N*，都有

．

∴a2=

=

，a3=

=

，a4=

=．

由此推测{an}的通项公式，an=下面利用数学归纳法证明： ①当n=1时，a1=

=

成立；

．

②假设当n=k∈N*时，ak=

．

则n=k+1时，ak+1=因此当n=k+1时也成立， 综上：∀n∈N*，an=（2）∴bn=（﹣2）n

==，

成立．

，

=

+9

，

∴无穷数列{bn}的各项之和Tn=

+

=

﹣

=+﹣．

当n=2k（k∈N*）时，Tn=得最大值T2=

．

×

+﹣

，Tn单调递减，因此当n=2时，取

当n=2k﹣1（k∈N*）时，Tn=综上可得：Tn的最大项为T2=

21．已知点P是曲线

﹣﹣

，Tn单调递增，且Tn＜0．

．

上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得

|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．

（1）求曲线C2的方程；

（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求

的取值范围；

（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值． 【考点】双曲线的简单性质．

y）Py′）【分析】（1）设Q（x，，（x′，，由=2y）=﹣2y′），可得（x，（x′，，可得，

代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．

（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6

﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．

（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=kMy1）Ny2）x2﹣8k（x﹣2cosθ），（x1，，（x2，．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=

，点Q到直

线l的距离d．可得S△QMN=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵

+（y′）2=1，可得

=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得

，代入+=1，

∴曲线C2的方程为（2）F1（﹣

+=1．

，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．

，0），F2（

则=（2cosθ+sinθ）•，（﹣4cosθ﹣

﹣， ∈

=，﹣2sinθ）（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）

+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6∵cosθ∈[﹣1，1]，∴

．

（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．

设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）． 联立

2

x2﹣8kx+4，化为：（1+4k2）（sinθ﹣2kcosθ）（sinθ﹣2kcosθ）

﹣16=0，

，x1x2=

，

∴x1+x2=∴|MN|=

，

点Q到直线l的距离d=

=

=．

∴S△QMN=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|令|sinθ﹣2kcosθ|=则S△QMN=6|sinα|∴S△QMN=6t

|sinα|，

，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，

=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，

．

则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，

当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．