切换时滞系统稳定性分析

含时滞切换正系统的稳定性分析

目 录

目 录 ............................................................. I 摘 要 ............................................................. I Abstract .......................................................... II 引 言 ............................................................. 1 第一章 正系统及切换系统 ........................................... 2 1.1预备知识 ....................................................... 2

1.1.1 符号说明 ........................................................................................ 2 1.1.2 数学知识 ........................................................................................ 2

1.2正系统 ......................................................... 2

1.2.1 正系统简介 .................................................................................... 3 1.2.2 无时滞正系统定义及稳定判据 .................................................... 3 1.2.3 实例仿真 ........................................................................................ 3 1.2.4 结果分析 ........................................................................................ 4

1.3切换系统 ....................................................... 4

1.3.1 切换系统的定义及稳定判据 ........................................................ 4 1.3.2 实例仿真 ........................................................................................ 5 1.3.3 结果分析 ........................................................................................ 6 1.3.4 稳定性 ............................................................................................ 6 本章小结 .................................................................................................. 6

第二章 含有时滞的离散切换系统稳定性 ............................... 7 2.1 含有时滞的离散时间切换系统 ..................................... 7

2.1.1 离散切换时滞线性正系统的简介 ................................................ 7 2.1.2 稳定判据 ........................................................................................ 7 2.1.3 实例仿真 ........................................................................................ 8 2.1.4 结果分析 ........................................................................................ 9

2.2离散切换时滞线性正系统稳定性的影响因素 ......................... 9

2.2.1 a值（即系统参数）对系统稳定性的影响 ................................. 9 2.2.2 初始值对系统稳定性的影响 ...................................................... 12 2.2.3 时滞对切换时滞系统的影响 ...................................................... 13 本章小结 ................................................................................................ 16

第三章 含有时滞的连续时间线性切换系统 ............................ 17 3.1连续切换时滞线性正系统 ........................................ 17 3.2稳定判据 ...................................................... 17

3.2.1 实例仿真 ...................................................................................... 18 3.2.2 仿真结果分析 .............................................................................. 19

3.3连续切换时滞线性正系统稳定性的影响因素 ........................ 21

3.3.1 a值对连续切换时滞线性正系统的影响 ................................... 21 3.3.2 时滞对连续切换时滞线性正系统的影响 .................................. 21 3.3.3 初始值对连续切换时滞线性正系统的影响 .............................. 24 本章小结 ................................................................................................ 24

总 结 ............................................................ 25

含时滞切换正系统的稳定性分析

参考文献 ......................................................... 26 致 谢 ......................................... 错误！未定义书签。

含时滞切换正系统的稳定性分析

摘 要

由于切换系统和时滞相互作用，切换时滞系统要比一般的系统要复杂的多。同时，切换时滞系统在工程应用中得到广泛的关注，许多现实的系统都可以建模为切换时滞系统。近来，关于切换时滞系统方面的研究成果较多，但是，对切换时滞系统稳定性方面的研究仍然不足。本文主要关注切换时滞系统的稳定性问题。本文行文思路如下：

首先，通过对正系统，切换正系统及其稳定性能的简单了解，构建基本的动态系统的概念。再次，本文主要针对切换时滞正系统的稳定性问题进行分析研究，其子系统也都是正的。本文中系统中的时滞是有上限的。

在某种给定的条件下，通过构建一系列正的单调下降并且随着时间趋向于无穷大时最终衰减到零的函数，我们就可以得到一些稳定的结果。最后我们通过实例进行Matlab仿真来验证这一结果的正确性,并且对仿真结果进行分析。同时，本文还对切换时滞系统的稳定性影响因素进行探讨。

进一步的我们可以推算得到时滞上限是无限大时，系统仍然是稳定的，也就是说切换时滞正系统的稳定性与时滞是无关的。

关键词：正系统，切换正系统，切换时滞系统，稳定性。

I

含时滞切换正系统的稳定性分析

Abstract

Due to the switching system interact with delays, Switched systems with delays become more complex than conventional ones. While, Switched delay systems received widespread attention in engineering application, Many real systems can be modeled as a switched systems with time delay. Recently, people have get so many research on switched systems with time delays. However, there are large gaps in the study of the stability of switched systems with time delay. This article mainly focuses on the problem of stability of switched systems with time-delays. This article reads as follows:

First of all, through the positive system, switching systems and its stable performance, simple to understand, building a basic dynamic system concepts. Then, This technical note investigates the stability problem of positive switched linear systems with delays whose subsystems are all positive. All delays in this system have an upper limit.

In the context of a given. By constructing a sequence of functions that are positive, monotonically decreasing, and convergent to zero as time tends to infinity, several stability results will be established. Finally, a numerical example is presented to illustrate the obtained results. And, get an analysis of simulation results. At the same time, this article also to explore the factors influencing the stability of switched systems with time delays.

Further we can project system is still stable when the delays limit is infinite. That is to say the stability of switched systems with time delay is dependent of the delay.

Keywords: positive systems, switched systems, switched systems with delays, stability.

II

含时滞切换正系统的稳定性分析

引 言

切换系统是一类重要的混合动态系统，切换系统的数学形式是微分方程或者差分方程，因此它可以看作是由若干微分方程或者差分方程及其作用在其中的切换规则组成的。切换系统可以用来描述许多不能通过纯粹的连续时间过程或离散时间过程描述的系统。因而切换系统具有广泛的应用背景。许多动态系统可以模型化为诸如文献[1]中的切换系统。由于切换系统有多种子系统及多可能的切换信号[1]，切换系统拥有卓越的动态性能。此外，选用切换控制有时候可以获得比传统的连续控制更好的效果。在过去的二十年里，有关切换系统理论及其应用的研究以及切换系统中既有趣又具有挑战性的问题受到众多学者的关注[3]。

许多现实世界的物理系统均包含着非负的信号变量。例如，人口水平、绝对温度和物质密度等。这一类的系统，我们称之为正系统[4]-[6]。也就是说，当该系统的初始条件及输入是非负的时候它们状态及输出也是非负的。正系统的状态变量局限于一个基于正的轨迹而不是整个空间的“圆锥形”这一特性也使得正系统的分析与特点成了一份即有趣又具有挑战性的工作。对于动态系统来说，稳定性是最重要的特性，大量的文献关注了正系统的这一课题。参考文献[7]，使用了一个等式表达了一类时滞正系统的充分稳定条件。文献[8]通过一个二次对角李雅普洛夫函数得到了稳定标准的充要条件。文献[9]通过一个线性共同李雅普洛夫函数的方法，提出了稳定充要条件。因此，当考虑正系统的稳定性的时候，自然地我们应该采用线性共同李雅普洛夫函数。通过这一方法，能够获得正系统的特性。足以证明：处理正系统问题，线性共同李雅普洛夫方法是一个很好的工具。正系统在经济、生物、社会及通信领域有广泛的应用。正系统有许多特殊且有趣的特性。例如，它们的稳定性不受时滞影响。

这里需要指出的是，研究正切换系统要比普通切换系统更加具有挑战性，因为，为了获得一些“杰出”的结果，我们必须得把正系统和切换系统结合起来。近来，由于切换正系统在通信领域、交通控制、化工批处理过程、自动引擎控制、飞行器控制、自动调速系统控制、生化过程控制等广泛应用，切换系正统的重要性越来越显得尤为重要。线性正切换系统的每一个子系统的本身也都是正系统。

本文着重考虑切换系统、正系统、切换正系统的渐近稳定性问题，通过数值 算例，Matlab仿真验证了本文所提算法的正确有效性。

1

含时滞切换正系统的稳定性分析

第一章 正系统及切换系统

本章主要考虑离散情况下正系统、切换正系统及其稳定性。利用Matlab平台进行仿真，得到仿真结果，最终得到结论。

1.1预备知识

本节主要关于本文所涉及到的公式及其表达意思，用到的定理等知识。

1.1.1 符号说明

P0 表示矩阵P对称正定

P0 表示矩阵P对称负定

A0(A0) 表示矩阵A的所有元素均是非负的（非正的） A0(A0) 表示矩阵A的所有元素均是正的（负的） AT（A1） 表示矩阵的转置（逆）

R (，R) 表示所有实（非负正）数.

nRn（n，R） 表示n 维实（非负、正）向量空间

Rnm（nm） 表示nm维（实）非负矩阵 diag(a1...an) 表示对角元素为a1...an的矩阵 N 表示1,2,3,...

N0 表示0N

I 表示具有合适维数的单位矩阵。  表示范数。即：

yNi1yi 其中yy1,y2,,yn.

2Tit 表示xit的导数 x1.1.2 数学知识

矩阵的基本运算（+，-，，/)、阵分块法以及矩阵理论知识： 定义1：方阵A是Metzler矩阵当且仅当A的非对角元是非负的。

定义2：方阵A是Schur矩阵当且仅当A的所有特征值的模值都小于1。 微积分、微分方程、差分方程。

1.2正系统

本节重点在于对正系统的介绍，通过正系统的定义[10]、稳定判据，最后通过Matlab 仿真得出仿真结果。

2

含时滞切换正系统的稳定性分析

1.2.1 正系统简介

考虑这样一个实例：在一个池塘里，生活着两种分别具有一定数量的生物物种，在这个有限的资源空间里，这两个生物物种具有竞争关系。当资源空间还不足以影响其数量增长时，它们数量的不断增加。但是，随着它们数量的不断增加，资源空间变得越来越有限。因此，竟争的两个物种在这有限空间里个体数量不可能永无止尽的增长下去，必然在未来的某个时刻达到稳定值。在这过程中具有竞争优势的种群可能在某段时间里增长的较快，但是如果它的增长超过了约束，必然在以后的时间里下降衰减下来。这就是一个简单的生物圈的正系统的实例。物种便是输入变量，初始数量是非负的，池塘便是系统，最终的输出（物种数量）也是非负的。

1.2.2 无时滞正系统定义及稳定判据

考虑系统：

xk1Axk

(0.1)

其中系统矩阵ARnm，状态向量x(k)Rn。

定义1：只要初始条件满足x(0)0，则系统(0.1)就是正系统，并且系统的响应对于任 何kN0，x(k)0[10]。

定义2：当系统是稳定时，方阵A为Schur矩阵。也就是说，所有A矩阵的特征值均落在复频域的单位圆内[10]。

引理1：只要存在Rn且A0，使得(AI)0,则矩阵A为Schur矩阵[10]。 引理2：只要存在一个对角矩阵P0且A0，使得ATPAP0 ，则矩阵为Schur 矩阵[10]。

在系统(0.1)中，如果A0，则下了叙述等价：

I:A 是一个Schur矩阵。

II：对任意初始值，x(0)0则系统(0.1)渐进稳定。

1.2.3 实例仿真

系统矩阵为：

0.60.3A 0.20.7

3

含时滞切换正系统的稳定性分析

仿真结果为：

图1-1无时滞正系统输出轨迹

1.2.4 结果分析

从图1-1无时滞正系统输出轨迹中可以看出，取两个完全不同的初始值-6和8。初始值为正的系统2，开始有一个衰减的过程，初始值为负的系统1，开始一段时间里有一个不断地上升过程。两个系统从时刻6开始，在以后的时间里动态输出趋于同一值，最终趋于零。从图像可以看出不管初始值是多少，正系统是稳定的，初始值的不同不会影响其稳定性能。

1.3切换系统

切换系统在现实生活中一个比较普遍的现象，十分重要。例如，汽车换挡系统、变电站的切换等。切换系统是一个由一个系列的连续或离散的子系统以及协调这些子系统之间起切换的规则组成的混合系统。切换系统具有特殊的性质，整体功能不等于各个部分之和，具有复杂性。

1.3.1 切换系统的定义及稳定判据

考虑系统：

xk1Akxk kN0

(0.2)

状态向量x(k)Rn；切换信号:N0I，其中I1,2,...N 当且仅当(t)i时子系

nn统Ai∈R被激活。

定义1：当且仅当初始条件满足x(0)0，则系统(0.2)就是正系统。并且系统的响

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含时滞切换正系统的稳定性分析

应对于任何系的响应对于任何kN0x(k)0成立[11]。

定义2：当且仅当系统稳定时矩阵A为Schur矩阵。

引理1：当且仅当A0时，该系统是正的。

引理2：如果存在函数V:N0RnR，则系统(0.2)是稳定的。

a0.8b0.2A1A20.60.80.30.3 

其中a,b为系统参数，显然当x(0)0时,系统(0.2)为正切换系统；矩阵A2中，如果b0.4，则矩阵A2不是一个Schur矩阵，该系统对于切换信号是不稳定的。

1.3.2 实例仿真

根据定理1、推论1[11],再利用Matlab仿真，我们可以绘制出稳定区域。 取a=0.2，b=0.3999则有：

0.20.80.3999A1 A20.60.30.3仿真结果为:

0.2 ；0.8图1-2切换正系统状态向量输出图形

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图1-3切换正系统切换信号输出图形

1.3.3 结果分析

从切换信号仿真图、图1-2切换正系统状态向量输出图形的结果来看，系统的初始值不同，但是系统(0.2)输出状态向量在前两次切换过程中，1号子系统是稳定的，2号子系统输出波动较大。从时刻10开始，二者都在不断衰减。随着时间推移，以后的切换过程中系统的输出趋向于稳定，衰减为零。显然，该系统是稳定的。

1.3.4 稳定性

在工程应用中，稳定性能是一个重要的特性。所谓稳定性：系统在正常情况下处于平衡状态，系统受到外界的干扰后，原先的平衡状态逐渐被打破。扰动消失后，系统有逐渐的回复到平衡状态或者进入到另外一种状态继续工作。也就是说，系统在受到外界的扰动之后，系统状态方程的解的收敛性与输入状态无关，稳定性也是系统的一种固有属性。

稳定性在自动控制领域受到广泛关注。12年，学者李雅普洛夫对稳定性作出了严格的定义。为现代控制理论奠定了基础。

本章小结

本章主要关注一般正系统、切换系统的稳定性问题。通过实例仿真得出仿真图像，使得更加直观的理解正系统、切换系统的稳定性。同时，本章所用的方法在下一章也同样适用。本章是下面的第二、三章的基础，前后贯通，承前启后。

6

含时滞切换正系统的稳定性分析

第二章 含有时滞的离散切换系统稳定性

通过上一章节对正系统、切换系统及其稳定性的简单介绍，建立了基本的动态系统的概念以及本文对于这动态系统的分析方法。本章主要考虑更加复杂的带有时滞的切换系统的仿真，有关切换时滞系统Lyapunov意义下的稳定(主要指渐近稳定)和有界输入有界输出稳定。本文基于已有的离散时间单时滞系统，通过得出的定理取不同值仿真，考虑由两个线性时滞子系统构成的在任意切换序列作用下的切换系统。进而分析影响其稳定性的因素。使用工具主要为Matlab。

2.1 含有时滞的离散时间切换系统

本小节主要是对切换时滞正系统稳定性进行仿真，验证稳定性以及对稳定性影响因素。本文考虑时滞稳定。

2.1.1 离散切换时滞线性正系统的简介

切换时滞正系统是带有时滞的切换正系统，是正系统中的一分支。时滞现象在切换系统中应用的现象十分普遍。例如，机械传动系统，网络控制系统等。在工程领域，时滞的存在也是系统不稳定的一个棘手原因。因此，切换时滞系统更加复杂，对切换时滞系统的稳定性研究也成了研究的热点。根据时滞的类型可以分为：单时滞、多时滞；确定时滞、不确定时滞（随机时滞）等。时滞切换系统稳定又可以分为两类：时滞稳定、时滞依赖稳定。

2.1.2 稳定判据

考虑切换时滞系统：

x(k1)A0(k)x(k)A1(k)x(k(k)(k))

(1.1)

其中状态向量x(k)[x1(k),x2(k)]TR2；切换信号:N0I，其中I1,2,3,...N；取系统参数值为：

0.3a0.330.7a0.330.07330.060.660.14A01AAA 110.060.15 020.320.12120.480.280.040.1 

其中调节参数a0；

假设：在系统(1.1)中，存在T，常数0il1，使得ilsupkTil(k)k，ip，lm

成立。

引理1：在假设条件下，考虑离散切换时滞正系统(1.1)。假设存在m维向量且ln，使得：

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含时滞切换正系统的稳定性分析

p

对于一切lm，l(i)m成立。

Aili0l(i)l

(1.2)

引理2：考虑正系统(1.1)。假设存在一个向量n，满足： 

pAIil0，lm i0(1.3)

根据定理1[12]：在假设的条件下，如果存在一个m维向量并且ln使得(1.2)成立，则正系统(1.1)是恒稳定的。

显然，系统(1.1)为切换时滞正系统。根据定理1[13]：如果存在一个向量n，使得系统(1.3)成立，则系统(1.1)是恒稳定的。

要使该系统稳定，a的取值范围为00.1198。而根据定理1[12]，要使该系统稳定，aT的取值范围为00.3109。显然，文献[12]得到的结果更加优越。下面我们通过Matlab仿

T真验证其正确性。

2.1.3 实例仿真

我们取a0.3109，在两个子系统之间时滞大小是不同的。初始条件以及切换信号是随机取值的。我们不妨假设，初始条件分别为15、20。时滞大小分别为15和20。

仿真结果为：

图2-1切换时滞正系统状态向量

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图2-2切换时滞正系统切换信号输出图形

2.1.4 结果分析

该切换时滞系统(1.1)初始值不同，时滞大小也不同，系统开始一段时间里状态输出波动比较大，同时也在不断地衰减，在200时刻最终衰减为零。该系统是稳定的。下面考虑系统的衰减速率：

从图2-1可以清楚的看出，系统在0时刻的值是不同的同时伴随着强烈的波动衰减，0到50时间内衰减幅度大，50时刻以后波动较小，160时刻以后基本收敛衰减为0，趋于稳定。

2.2离散切换时滞线性正系统稳定性的影响因素

本小节主要探讨对离散情况下切换时滞正系统稳定性的影响因素，大体分为a值（系统参数）、初始值、时滞大小等因素。对于切换规则，本文的切换信号均是给定的，暂不考虑其影响。

2.2.1 a值（即系统参数）对系统稳定性的影响

改变1号子系统a值大小，其余参数条件不变。 仿真结果为：

（1）取a0.033 系统参数取值为：

0.20.150.020.30.00990.250.02310.2AAA01A0212110.20.151.230.090.20.30.150.01   

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图2- 3当a0.033时切换时滞系统状态向量输出图形

（2）取a0.1，系统参数取值为：

0.20.150.020.30.30.250.70.2AAA01A110.20.01020.20.15121.230.090.30.15  图2-4当a0.1时切换时滞系统状态向量输出图形

（3）取a0.3，系统参数取值为：

0.20.150.020.30.090.250.210.2AAA01A110.20.01020.20.15121.230.090.30.15 10

含时滞切换正系统的稳定性分析

图2-5当a0.3时切换时滞系统状态向量输出图形

（4）取a0.334，系统参数取值为：

1.00.250.50.20.20.150.020.3A01A110.20.01A020.20.15A121.230.090.30.15

图2-6当a0.334时,切换时滞系统状态向量输出图形

结果分析：

从图2-5当a0.3109时，切换时滞系统状态向量输出图形可以看出，180时刻以前系统输出一直保持在0值，从180时刻起系统输出开始呈上升趋势，且在225时刻达到了一个很大的值，以后时间里又很快的衰减到0，显然该系统(1.1)是不稳定的。图2-3到图2-5，

a的取值均小于0.3109，从图中可以很直观的看出，系统是稳定的。显然，定理1[12]的结果是正确的。

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含时滞切换正系统的稳定性分析

2.2.2 初始值对系统稳定性的影响

系统初始条件由原来的x(0)1520，改为x(0)2010；其余条件不改变。 仿真结果为：

TT 图2-7初始值为x(0)2010切换时滞系统轨迹曲线

T

图2-8初始值为x(0)[2030]切换时滞系统轨迹曲线

T

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图2-9初始值为x(0)3040切换时滞系统轨迹曲线

T

图2-10初始值为x(0)[2060]切换时滞系统轨迹曲线

T

仿真结果分析：

与图2-1切换时滞正系统状态向量图比较发现，图2-7初始值为(1.1)仍然稳定。

x(0)2010T切换

时滞系统轨迹曲线到图2-10的衰减时间增加，可见初始值越大系统衰减的越慢，但是系统

2.2.3 时滞对切换时滞系统的影响

系统其他条件不变，改变时滞大小。通过Matlab仿真，观察系统衰减速率的变化。 仿真结果：

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图2-11时滞改变为130220离散时滞切换线性正系统的响应轨迹

图2-12时滞改变为130240离散时滞切换线性正系统的响应轨迹

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图2-13时滞改变为115240离散时滞切换线性正系统的响应轨迹

图2-14时滞改变为1

15260离散时滞切换线性正系统的响应轨迹

仿真结果分析：

从图2-11时滞改变为130220离散时滞切换线性正系统的响应轨迹图中以看出，系统(1.1)在0到230时间里，衰减波动较大。图2-11到图2-14与图2-1比较而言，显然时滞较大的子系统衰减的比较慢波动性增加。但是最终收敛为0。可以推测出，时滞为无限大时候，离散时滞切换线性正系统仍然是稳定的。

下面将所讨论的影响因素及其影响结果用表的形式列出：

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含时滞切换正系统的稳定性分析

表2-1离散切换时滞影响因素

影响因素 改变前的值 0.3109 系统参数（a值） 初始值 时滞大小 15202010T20 TT115220 130220 115240 130240 115 260 160 230-250 改变后的值 0.033，0.1， 0.3，0.334 160 2040603040 TT改变前衰减用时 改变后衰减用时  160 180-250 本章小结

本章主要考虑离散情况下的，切换时滞正系统线性稳定性问题。通过Matlab实例仿真，得出仿真图形，使得离散切换时滞正系统线性稳定更加直观。同时，本章还对离散切换系统稳定性的影响因素做了探讨，得出了离散切换时滞系统稳定的特性。

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含时滞切换正系统的稳定性分析

第三章 含有时滞的连续时间线性切换系统

上一章节主要针对离散时间切换时滞系统稳定性分析。本章节主要对连续时间单时滞系统稳定性进行分析。具体的分析方法与上一章节类似，基于已有的连续时间单时滞系统，通过得出的定理取不同值仿真，考虑由两个线性时滞子系统构成的在任意切换序列作用下的切换系统。进而分析影响其稳定性的因素。使用工具主要为Matlab。

3.1连续切换时滞线性正系统

从系统理论观点来看，任何实际系统的过去状态，都不可避免的会对当前状态产生影响。系统的演化不仅依赖于当前状态，而且也依赖过去某一时刻或者一段时间状态。一般的，时滞的存在往往导致系统的性能指标的下降，也使得系统的分析和综合变的更加复杂和困难。同时，时滞往往是系统不稳定的根源。含有时滞连续切换线性正系统的特性研究成果已经很多，由于作者水平以及阅读著作范围的局限，使得本文只提到很有限的一部分。切换时滞的稳定性受很多因素影响。其中一个子系统的稳定并不代表整个系统的稳定，而即使所有子系统都不稳定通过适当的切换规则也可以使得整个系统稳定。切换系统的稳定性方面研究成果已经很多，并且取得了很好的结果。但是子系统中含有时滞的研究却很少。

3.2稳定判据

考虑系统:

tA1xtB1xt(t)t x(3.1)

其中状态向量：x(t)Rn，0为已知的时滞常数；(t){1,2}为切换信号；在某一时刻t，如果(t)i，则对应第i个子系统。

引理1：设矩阵Pnn0，则存在矩阵U使得PUTU。

引理2：设M,N 为适当维数的矩阵，则有下面的不等式成立： MTNNTMMTMNTN (3.2)

定理1：对于系统(3.1)，如果存在一组对称正定矩阵，Pi、Qi满足下面的广义多李雅

普洛夫矩阵方程：

定义切换策略：

AiTPiPABiTPBPQi0，iN iiiii(3.3) (3.4)

(t)argminxT(t)BiTPBx(t) iii则系统(3.1)在切换规律(3.4)作用下是时滞依赖渐进稳定的。

假设我们取：

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含时滞切换正系统的稳定性分析

51.3a0.8A1B 111.5 1.531其中a为非负的调节参数，如果0a2.083，则l0Al的两个特征均在复频域开的左半边。如果a2.083，则其中一个特征值在复频域开的右半边[15]；

根据定理1

[15]

0l(t)l，t0 maxl 1lp(3.5) (3.6)

A0

ll0p：对于一切时滞满足公式(3.5)，当且仅当存在一个向量n，使得公式(3.6)成立，则系统(3.1)恒稳定。

pA0

ill0p(3.7)

注1：当且仅当Al是Hurwitz矩阵，(3.7)成立。

l0给定的系统(3.1)是正的。根据定理1、注1，如果0a2.083，给定的系统对于任何连续时间及有限的时滞都是渐进稳定的；反之，如果a2.083，则系统(3.1)是不稳定的。

3.2.1 实例仿真

取系统参数为：

0.80.22.0.8AA121.3661.90.31.3  0.30.40.1335B1B20.80.50.5 0.260.

初始值随机取值

仿真结果为：

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图3-1连续切换时滞正系统输出图形

图3-2连续切换时滞系统切换信号输出图形

3.2.2 仿真结果分析

从图3-1可以看出，系统(3.1)在0到15时间里衰减较快，15到35衰减放缓，35以后系统输出收敛于0。不难看出该系统(3.1)是渐进稳定的。

根据推论1[14]：

对于系统(3.1)，如果存在一组对称正定矩阵Pi，Qi以及正常数0满足下面的广义李雅普洛夫矩阵方程： AiTPiPAii(12)PiQi0

或者线性矩阵不等式：

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(3.8) (3.9)

:e2aBiTPBii

含时滞切换正系统的稳定性分析

(AiI)TPiPi(AiI)eBiTPi0 ePBPiii(3.10)

下面将所取系统参数A1、B1、A2、B2的值带入系统数学模型(3.10)，再利用Matlab中的线性矩阵不等式工具箱（LMI）进行求解计算，结果无法解出P1、P2，即该推论保守性较大。相比之下文献[15]得出的结果更加优越。

文献[15]基于线性规划理论（LP）得出的结果，文献[14]基于线性矩阵不等式（LMI）得出的结果。通过不同的方法得出的结果有优劣，即保守性不同。对于保守性问题，我们可以通过选取合适的系统参数来降低保守性（conservation）。

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含时滞切换正系统的稳定性分析

3.3连续切换时滞线性正系统稳定性的影响因素

本节主要利用Matlab工具，对可能的对连续切换时滞线性正系统稳定性的影响因素进行仿真，得出仿真结果，作出结论。

3.3.1 a值对连续切换时滞线性正系统的影响

只改变1号子系统a值的大小，其他条件不变。 取a2.084 使得系统参数变为：

2.0840.42.0.80.80.22.10.2A1 A21.3661.9 B10.50.5 B20.80.6 0.31.3图3-3a值改变后系统响应轨迹

结果分析：

从图3-3a值改变后系统响应轨迹可以看出，0到30时间内，系统输出一直保持为0。30时刻以后系统输出开始上升，并且在60时刻达到一个很大值。因此，此时系统是发散的。与图3-1相比较，可知定理1、注1所得到的结果是正确的。

3.3.2 时滞对连续切换时滞线性正系统的影响

改变时滞大小，其他条件不变。通过Matlab仿真，观察系统衰减速率的变化。

仿真结果为：

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图3-4时滞改变为118217 系统输出响应轨迹

图3-5时滞改变为118227系统输出响应轨迹

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含时滞切换正系统的稳定性分析

图3-6时滞改变为118247系统输出响应轨迹

结果分析：

与图3-1相比较发现，时滞变大以后系统(3.1)输出轨迹衰减速率明显变慢，波动性也变得比较大。取60时刻，图3-1输出值已经衰减为为0，而图3-4时滞改变为118217

系统输出响应轨迹

输出值为0.06、0.07，图3-6在240的时刻输出值为0.0020，以后经过很

长时间衰减为0。系统输出轨迹仍然是收敛的，因此也是稳定的。因此，系统时滞变大使得系统输出衰减变慢，但对系统的稳定性没有影响。进一步地，可以推测，对于无限大的时滞，连续切换时滞正线性系统仍然是稳定的。

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含时滞切换正系统的稳定性分析

3.3.3 初始值对连续切换时滞线性正系统的影响

本仿真在处理时设定初始条件取值是随机的，从图3-1以及图3-4可以看出，初始值不同系统仍然是稳定的。可以推测出初始值越大，连续切换时滞正线性系统的输出衰减速率会变慢，波动性也会增加，但是仍然稳定。

下面将所讨论的影响因素及其影响结果用表的形式列出：

表3-1连续切换时滞影响因素

影响因素 系统参数（a值） 时滞大小 改变前的值 改变后的值 改变前衰减用时 改变后衰减用时 0.3 2.84 38  22 13 118 217 118 227 118 247 38 240 （注明）由于计算机计算的终值为0.0020，则在一定可接受的范围内，暂可认为终止时间为240。图没有明确给出衰减为0的时刻，因此表中数据存在估测性。

本章小结

本章主要考虑连续情况下的，切换时滞正系统线性稳定性问题。通过Matlab实例仿真，得出仿真图形，使得连续切换时滞正系统线性稳定更加直观。同时，本章还对离散切换系统稳定性的影响因素做了探讨，得出了离散切换时滞系统稳定的特性。进一步地，本章还对不同稳定性判定定理下得出的仿真稳定性差异做了有限的探讨。也对可能的影响因素做了一些推测。

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含时滞切换正系统的稳定性分析

总 结

本文主要处理正系统、切换正系统以及连续离散情况下的切换时滞系统的仿真问题。正系统、切换系统的论述是为了下篇切换时滞系统稳定性分析做铺垫，二者前后贯通。通过已经出现的判别系统稳定性问题的文献定理、推论，利用Matlab进行验证求解，从而可以判断这些结论的保守性。在离散切换时滞正系统中还探究了对其稳定性影响的因素，包括：调节参数、初始值及时滞大小等，得出如下结论：

1.调节参数或者系统参数影响离散切换系统稳定性，调节参数应该控制在一定范围内。 2.初始值得改变，离散切换时滞正系统的稳定性不受影响；初始值越大系统状态向量输出衰减越慢。

3.时滞大小改变，离散切换时滞正系统仍然稳定，但是时滞较大系统输出衰减波动越大，衰减越慢。

4.连续切换时滞正系统稳定判定理存在着保守性问题，也是一个有趣的问题。 5.本文主要论述给定的切换规则系统稳定性问题，切换规则对切换时滞线性 正系统的稳定性有很到影响，这个问题更加复杂更具挑战性。 6.推测，可以从能量的角度考虑切换时滞线性正系统衰减稳定问题。

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