相似三角形的判定+性质+经典例题分析

相似三角形的判定+性质+经典例题分析

相似形（一）

板块一、课前回顾 一、比例性质

ac1.基本性质: badbc（两外项的积等于两内项积） dacbd2.反比性质：b (把比的前项、后项交换) dac

acabcd3.合比性质：b（分子加（减）分母,分母不变） dbd．

4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）

acemaacem． (bdfn0)，那么 如果bbdfnbdfn 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

5.黄金分割：

1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点 ○

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经典例题回顾：

例题1．已知a、b、c是非零实数，且abcdk，求k的值. bcdacdbadabc

yx11的值。 例题2．已知1，求xyxyxy

板块二、新课讲解 知识点一、相似形的概念 概念：具有相同形状的图形叫相似图形． 谈重点：

⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．

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⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

知识点二、平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

ABDEABDEBCEF 则BC，，，… EFACDFACDF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

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○推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其

4

它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵

4

DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

知识点三、相似三角形的判定 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言：

拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

例题精讲

【重难点高效突破】

例题1．如图，直线DE分别与△ABC的边AB、AC的反向延

EADAED长线相交于D、E，由ED∥BC可以推出BD吗？请CE说明理由。（用两种方法说明）

BAC

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例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.

BAD2C求证：（1）AB

2BDBC；（2）AD2BDCD；（3）ACCDCB

例题3．如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且

AFBEDE和DF分别交AB、AC于E、F.则AD吗？说说你的理由. BD

例题4．如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BE⊥

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CD于E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C （1） 求证：△ABF∽△EAD； （2） 若AB=4，∠BAE=30°，求AE的

长；

AFDECB（3） 在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长。

【

即时训练】

一、选择题

1．如图，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图有相似三角形（ ）

A． 3对 B． 4对 C． 5对 D． 6

对

2．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的

是（ ）

AECEEADEADEFCFA．AD B． C． D． . CFFBABCBABACBCBD

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3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）

A．ΔADE∽ΔAEF B.ΔECF∽ΔAEF C.ΔADE∽ΔECF D.ΔAEF∽ΔABF

4、如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（ ）

A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2

（1题图） （2题图） （3

题图） （4题图）

BAGECFD5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图有相似三角形（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

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(5题图) (6题图) (7题图) ( 8题图)

6.ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（ ）

A.2∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶2

7.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

8.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）

AECEEADEADEFCFA.AD B. C. D. CFFBABCBABACBCBD

9.下列说法：其中正确的是( )

①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相

似；

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③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.

A.①② B.③④ C.①④ D.②③

二、解答题

1、如图，ΔABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.

2.如图，在梯形ABCD中，AD⊥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.

(1)ΔABC与ΔDCB相似吗？请说明理由. (2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.

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3.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，

Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？

4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交AB与F，试判定△BAE与△ACE是否相似，并说明理由。

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AFBDCE

5.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ⊥BD？

6.已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别

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CQBPAD

交BD、BC于点F、G，∠1=∠2.则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由.

7.如图，CD是RtΔABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F. AC•AE=AF•AB吗？说明理由.

8.如图，AD是RtΔABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE

AFBE和DF分别交AB、AC于E、F.则AD吗？说说你的理由. BD

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相似形（二）

板块二、新课讲解 知识点1．相似三角形的判定 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．

知识点2．直角三角形相似的判定 在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

知识点3． 相似三角形中的基本图形

EADCBAEADCCAEBDCADB DBCB

A型，X型 交错型 旋转型 母子形

例题精讲

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【重难点高效突破】

例题1．如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．

（1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC与△DEF是否相似？并说明理由。

例题2. 如图，在△ABC中，已知BD、CE是△ABC的高，求证：△ADE∽△ABC。

例题3．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，ACD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由B点向D点移动，当BP等于多少时，△ABP与△CPD相似？

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BPAEDCBCD

例题4.已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点

E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．

例题5．在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，延长AM交BC于点G，AD与BE相交于点F，

AD; 求证：（1）DE=CECDBAFDNMGEC（2）△BCE∽△ADM； （3）AM⊥BE.

【随堂演练】 A组

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1．下列命题中正确的是（ ）

①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似

A、①③ B、①④ C、①②④ D、①③④

2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（ ）

A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD∶AC=AE∶AB

3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）

(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥

AB4．如图，DE与BC不平行，当AC= 时，ΔABC与

ΔADE相似。

5．如图，平行四边形 ABCD中，E是AD的中点，在AB上取一点F，CDE，则BF的长是（ ）．

A．5 B．8.2

D．1.8

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AB=10，AD=6，使△CBF•∽△C．6.4

（5题图）

5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.

(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由. (2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

6．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？

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（3题图） （4题图）

7．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FCABAE,△AEF∽△EFC吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。若ABCD为矩形呢？

板块三、课后作业 1．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的

AO中点，AF与DE相交于点O，则DO等于（ ）．

2125A．1 B． C． D． 3325

2．如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的

延长线于点D，AC⊥BC，已知ABCD=DEAC,求证：AECE=DEEF

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FAEBDC

3．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以

AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD＝BE·EC．

4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．

求证：AD·BC＝OB·BD．

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5．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦

CF交AB于E．

求证：CB＝CF·CE．

6．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．

2

7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．

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相似三角形的性质及其应用

板块二、新课讲解 知识要点：相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

③相似三角形周长的比等于相似比．

④相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【重难点高效突破】 例题1.

(1)两个相似三角形的面积比为s比h:h之间的关系为_______

121:s2，与它们对应高之

(2)如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若AA A B S:S9:16，则AD:DB=_________ D E O DEF G

D DOE F - 22 - / 29 CB B C A A(2)C CD C (4)ABCCOB

(3)如图，已知AB∥CD,BO:OC=1:4,点E、F分别是OC，OD的中点，则EF:AB的值为

(4)如图，已知DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则S:S:S( )

ABC四边形DFGE四边形FBCGA.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27

D.1:8:36

(5)梯形ABCD中，AD∥BC，（AD长之比为__________。

例题2.如图，在△ABC中，DE∥BC，且S＝26。求DE的长。

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△ADE

:S四边形BCED＝1:2，BC

A D E B C

例题3. 如图所示，已知DE∥BC，且与△ABC的边CA、BA的延长线分别相交于点D、E，F、G分别在边AB、AC上，且AF：FB=AG：GC，求证：△AFG∽△AED。

例题4. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交A EH于点M，BC＝20㎝，AM＝8㎝， S△ABC＝100㎝。求矩形EFGH的面积。

例题5.△ABC中，D为AB上一点，若∠ABC=∠ACD，AD=8

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E M H B F DGC

2

㎝，DB=6㎝，求AC的长。

BAE例题6.已知，如图△ABC中，∠BAC=90，

AB=AC=1,D为BC上一动点（不与B,C重合），∠ADE=45° （1）求证△ABD∽△DCE

（2）设BD=x,AE=y,求y与x的函数关系式 （3）若△ADE为等腰直角三角形时，求AE的长

例题7、如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C 重合），连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B. （1）求证：△ABP∽△PCE；

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0

DC

（2）求等腰梯形的腰AB的长；

（3）在底边BC上是否存在一点P,使得DE∶EC=5∶3，如果存在,求出BP的长,如果不存在,请理由.

【随堂演练】

B

A

D E

说明

60°

P

第7题图

C

A组

1.两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们周长的比为__________.

2．若x：y：z=3：5：7，3x＋2y－4z＝9则x＋y＋z的值为____________.

3.如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（ ）

A A .ΔPAB∽ΔPCA C .ΔABC∽ΔDBA B

AD 1 E C B.ΔPAB∽ΔPDA D.ΔABC∽ΔDCA

M

第4

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PBCD D A B C 第6题

N

第3题

4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠1＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE的周长为_______

5．某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为________米 6.如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与 △BND的面积比为 。

7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O

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点，S△AOD:S△COB＝1:9，则S△DOC:S△BOC＝

板块三、课后作业 1.已知：如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是角平分线．

(1)求证：AD2＝CD·AC； (2)若AC＝a，求AD．

EC,BD,AE2．已知：如图，□ABCD中，E是BC边上一点，且BE12相交于F点．

(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比；

(2)若△BEF的面积S△BEF＝6cm，求△AFD的面积S△AFD．

3．已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．

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2

(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；

(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．

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