河南省许昌市五校2014-2015学年高一上学期第一次联考数学试卷

河南省许昌市五校2014-2015学年高一上学期第一次联考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）

1．已知集合A={y|y=x}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B的子集个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D．4

2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩（CUB）={1，2}，A∩B={6}，（∁UA）∩（∁UB）={4}，则B=（） A． {3，6} B． {5，6} C． {3，5} D．{3，5，6}

3．下列各组函数中，表示相等函数的是（）

20

A． y=|x|与y=（） B． y=1与y=x C． y=x与y=

4．若函数f（x）=（a﹣a﹣2）x+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，则（） A． a=2或a=﹣1 B． a=2 C． a=﹣1 D．a不存在

5．已知函数f（x）=

则f[f（1）]等于（）

2

2

2

D． y=x﹣3与y=

A． 3 B． 4 C． 5 D．6

6．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），则函数f（x+1）的定义域为（） A． （0，2） B． （1，2） C． （1，3） D．（0，3）

7．已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x+2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（） A． f（x）=﹣x（x+2） B． f（x）=x（x﹣2） C． f（x）=﹣x（x﹣2） D． f（x）=x（x+2）

8．若函数y=a+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有（） A． a＞1且b≤0 B． a＞1且b≤1 C． 0＜a＜1且b≤0 D．0＜a＜1且b≤1

x

2

9．已知函数f（x）=在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A． 2＜a＜4 B． 2≤a＜4 C． 3＜a＜4

D．3≤a＜4

10．设f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，f（﹣1）=0则不等式xf（x）＞0的解集为（） A． （﹣1，0）∪（0，1） B． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C． （﹣1，0）∪（1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（0，1）

11．给定全集∪，若非空集合A、B满足A⊆U，B⊆U且集合A中的最大元素小于B中的最小元素，则称（A，B）为U的一个有序子集对，若U={1，2，3，4}，则U的有序子集对的个数为（） A． 16 B． 17 C． 18 D．19

12．已知函数f（x）=5﹣2|x|，g（x）=x﹣2x，F（x）=

F（x）的最值为（） A． 最大值为5﹣2，最小值为﹣1 B． 最大值为5﹣2，无最小值 C． 最大值为3，无最小值 D． 既无最大值，又无最小值

二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．函数g（x）=

14．已知函数f（x）=ax+bx++2，f（﹣2）=﹣6，则f（2）=．

15．函数f（x）=（4﹣x）|x﹣2|在区间（2a，3a﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是．

16．已知函数f（x）=2﹣（x＞0），若存在实数m、n（m＜n）使f（x）在区间（m，n）上的值域为（tm，tn），则实数t的取值范围是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知函数f（x）=＜2a+1}

（1）求A，（∁RA）∩B；

（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．

18．计算： （1）

﹣

+

+π﹣3

0

﹣1

2

，则

（x＞0）的值域为．

3

﹣的定义域为集合A，集合B={x|1＜x＜8}，C={x|a＜x

（2）已知x+x=4（0＜x＜1），求

﹣1

．

19．求下列函数的解析式

（1）一次函数f（x）满足f[f（x）]=4x+3，求f（x）； （2）已知函数f（x﹣1）=x﹣x+1，求f（x）．

20．已知函数f（x）=1﹣

2

（1）证明f（x）是奇函数；

（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明； （3）求f（x）在[﹣1，2]上的最值．

21．某企业生产A、B两种产品，根据市场调查，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：单位是万元）

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数，写出它们的函数关系式．

（2）现企业有20万元资金全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这20万元资金，能使获得的利润最大，其最大利润是多少万元？

22．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），对定义域内任意的x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0且f（2）=1 （1）判断f（x）奇偶性，并证明你的结论； （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；

2

（3）解不等式：f（x﹣1）＜3．

河南省许昌市五校2014-2015学年高一上学期第一次联考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）

1．已知集合A={y|y=x}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B的子集个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D．4

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 由A是数集，B是点集，故A∩B为空集，进而得到A∩B的子集个数．

2

解答： 解：集合A={y|y=x}=[0，+∞），B={（x，y）|y=x}， ∴A∩B=∅，

即A∩B有0个元素，

0

故A∩B的子集有2=1个， 故选：B

点评： 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．

2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩（CUB）={1，2}，A∩B={6}，（∁UA）∩（∁UB）={4}，则B=（） A． {3，6} B． {5，6} C． {3，5} D．{3，5，6}

考点： 函数的最值及其几何意义． 专题： 集合．

2

分析： 根据A∩（CUB）={1，2}，A∩B={6}可知，集合A与全集的交集为{1，2，6}，则A可以确定，再根据（∁UA）∩（∁UB）={4}可得A∪B中的元素，由此可得B中的所有元素．．

解答： 解：因为A∩（CUB）={1，2}，A∩B={6}①，

所以A∩[（CUB）∪B]=A∩U={1，2，6}，所以A={1，2，6}②， 又（∁UA）∩（∁UB）=CU（A∪B）={4}，

故A∪B={1，2，3，5，6}，结合①②得B={3，5，6}． 故选D．

点评： 本题考查了集合的基本运算以及相关的运算性质，属基础题．

3．下列各组函数中，表示相等函数的是（）

20

A． y=|x|与y=（） B． y=1与y=x C． y=x与y=

D． y=x﹣3与y=

考点： 判断两个函数是否为同一函数． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 要判断两个函数是否相等，就看对应关系是否相同，定义域是否相同，对于A，B，D中的函数容易判断出定义域不同，所以不相等，而C中的两个函数对应关系相同，定义域相同，所以是相等的函数．

解答： 解：A．y=|x|的定义域是R，y=相等；

的定义域是[0，+∞），所以两个函数不

B．y=x的定义域是{x|x≠0}，y=1的定义域是R，所以这两个函数不相等； C．y=

=x，所以这两个函数定义域及对应关系都相同，是相等的函数；

0

D．y=x﹣3的定义域是R，的定义域是{x|x≠﹣3}，定义域不同，所以不相等．

故选C．

点评： 考查函数的定义域和对应法则，并且需知道由对应法则和定义域就可确定一个函数．

4．若函数f（x）=（a﹣a﹣2）x+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，则（） A． a=2或a=﹣1 B． a=2 C． a=﹣1 D．a不存在

考点： 函数的值域；函数的定义域及其求法．

22

分析： 函数f（x）=（a﹣a﹣2）x+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．根据条件可得答案．

22

解答： 解：∵函数f（x）=（a﹣a﹣2）x+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，可判断

2

必须为一次函数．∴a﹣a﹣2=0，且a+1≠0 即a=2， 故选：B

点评： 本题考查了函数的性质，对函数解析式的熟练理解掌握．

22

5．已知函数f（x）=

A． 3 B． 4

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

则f[f（1）]等于（）

C． 5

D．6

分析： 由题目已知中f（x）=，求出f（1），然后求解f[f（1）]即可．

解答： 解：∵函数f（x）=，

∴f[f（1）]=f（3）=9﹣6=3，

故选：A

点评： 本题考查函数值的求法，分段函数的值的计算，基础知识的考查．

6．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），则函数f（x+1）的定义域为（） A． （0，2） B． （1，2） C． （1，3） D．（0，3）

考点： 函数的定义域及其求法．

专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），求出2x+1的范围，再得出函数f（x）的定义域，最后求出函数f（x+1）的定义域．

解答： 解：∵函数f（2x﹣1）的定义域为（1，2），∴1＜2x﹣1＜3， 即函数f（x）的定义域为（1，3）．

∴函数f（x+1）的定义域需满足1＜x+1＜3， 即0＜x＜2，

函数f（x+1）的定义域为（0，2） 故选：A

点评： 本题考查了函数的概念，符合函数定义域的求解方法思路，要求对函数要素的理解非常好．

7．已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x+2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（） A． f（x）=﹣x（x+2） B． f（x）=x（x﹣2） C． f（x）=﹣x（x﹣2） D． f（x）=x（x+2）

考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用．

2

分析： f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x+2x，设x＜0时则﹣x＞0，转化为已知求解．

解答： 解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

2

当x≥0时，f（x）=﹣x+2x， 设x＜0，则﹣x＞0，

22

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）+2（﹣x）]=x+2x， 故选：D

点评： 本题考查了运用奇偶性求解析式，注意自变量的转化．

2

8．若函数y=a+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有（） A． a＞1且b≤0 B． a＞1且b≤1 C． 0＜a＜1且b≤0 D．0＜a＜1且b≤1

考点： 函数的图象．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据指数函数的图象和性质，以及图象的平移即可得到答案．

x

解答： 解：当0＜a＜1时，y=a的图象经过第一二象限，且恒经过点（0，1），

x

∵函数y=a+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，

x

∴y=a的图象向下平移大于等于一个单位， 即1﹣b≥1， 即b≤0，

x

当a＞1时，函数，y=a的图象经过第一二象限，无论如何平移都进过第一象限，

x

综上所述，函数y=a+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有0＜a＜1且b≤0． 故选：C

点评： 本题主要考查了指数函数的图象的性质和图象的平移，属于基础题．

x

9．已知函数f（x）=在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A． 2＜a＜4 B． 2≤a＜4

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

C． 3＜a＜4 D．3≤a＜4

分析： 根据函数f（x）=在R上是增函数，可知每段上都为增函

数，且两段的最值比较，得出

解出a的范围即可．

解答： 解：当x=2时y=6﹣a，

∵函数f（x）=在R上是增函数，∴

解不等式组可得：3≤a＜4， 故选：D

点评： 本题考查了分段函数单调性的判断，及运用求其满足的条件，加深了对单调性的定义的理解．

10．设f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，f（﹣1）=0则不等式xf（x）＞0的解集为（） A． （﹣1，0）∪（0，1） B． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C． （﹣1，0）∪（1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（0，1）

考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 先根据偶函数的性质确定函数在（0，∞）上是增函数，再将不等式等价变形，利用函数的单调性，即可求解不等式．

解答： 解：∵f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数， ∴函数在（0，+∞）上是增函数， ∵f（﹣1）=0，∴f（1）=0，

则不等式xf（x）＞0等价于或，

解得x＞1或﹣1＜x＜0，

故不等式xf（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故选：C．

点评： 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

11．给定全集∪，若非空集合A、B满足A⊆U，B⊆U且集合A中的最大元素小于B中的最小元素，则称（A，B）为U的一个有序子集对，若U={1，2，3，4}，则U的有序子集对的个数为（） A． 16 B． 17 C． 18 D．19

考点： 子集与真子集． 专题： 集合．

分析： 将A的所有的可能的元素全部列出，分别求出相对应的B的集合，再相加即可得出答案．

解答： 解：A={1}时，B的个数是A={2}时，B的个数是

+

=3，

++=7，

A={3}时，B的个数是1， A={1，2}时，B的个数是

+

=3，

A={1，3}时，B的个数是1， A={2，3}时，B的个数是1， A={1，2，3}时，B的个数是1， ∴U的有序子集对的个数为：17个， 故选：B．

点评： 本题考查了集合问题，考查了子集和真子集问题，考查排列组合问题，是一道中档题．

12．已知函数f（x）=5﹣2|x|，g（x）=x﹣2x，F（x）=

2

，则

F（x）的最值为（） A． 最大值为5﹣2，最小值为﹣1 B． 最大值为5﹣2，无最小值 C． 最大值为3，无最小值 D． 既无最大值，又无最小值

考点： 分段函数的应用．

专题： 计算题；数形结合；函数的性质及应用．

分析： 根据F（x）的定义求出函数F（x）的表达式，利用数形结合即可求出函数的最值．

2

解答： 解：由f（x）=g（x）得5﹣2|x|=x﹣2x，

22

若x≥0时，5﹣2|x|=x﹣2x等价为5﹣2x=x﹣2x，

2

即x=5，解得x=．

22

若x＜0时，5﹣2|x|=x﹣2x等价为5+2x=x﹣2x，

即x﹣4x﹣5=0，

解得x=﹣1或x=5（舍去）．

即当x≤﹣1时，F（x）=f（x）=5+2x，

2

当﹣1＜x＜时，F（x）=g（x）=x﹣2x， 当x时，F（x）=f（x）=5﹣2x，

则由图象可知当x=﹣1时，F（x）取得最大值F（﹣1）=f（﹣1）=5﹣2=3，无最小值． 故选C．

2

点评： 本题考查分段函数及运用，主要考查函数最值的求法，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．

二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．函数g（x）=

（x＞0）的值域为（1，+∞）．

考点： 函数的值域．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 先求出y=的范围，再根据指数函数的性质，从而求出g（x）的范围． 解答： 解：x＞0时，＞0，

0

∴g（x）=＞2=1，

故答案为：（1，+∞）．

点评： 本题考查了函数的值域问题，考查了指数函数，反比例函数的性质，是一道基础题．

14．已知函数f（x）=ax+bx++2，f（﹣2）=﹣6，则f（2）=10．

考点： 函数奇偶性的性质；函数的值． 专题： 整体思想；函数的性质及应用．

3

分析： 运用函数f（x）=ax+bx++2，f（﹣x）+f（x）=4，当x=2时整体求解． 解答： 解：∵函数f（x）=ax+bx++2，∴f（﹣x）+f（x）=4， ∵f（﹣2）=﹣6，∴f（2）=4﹣（﹣6）=10， 故答案为：10．

3

3

点评： 本题综合考查了函数性质奇偶性，结合整体方法求解．

15．函数f（x）=（4﹣x）|x﹣2|在区间（2a，3a﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（1，]．

考点： 函数单调性的性质．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 由题意3a﹣1﹣2a＞0得到a＞1，从而使函数f（x）=（4﹣x）|x﹣2|的化简简化，由二次函数的性质求实数a的取值范围． 解答： 解：由题意，3a﹣1﹣2a＞0， 即a＞1，

则f（x）=（4﹣x）|x﹣2|=（4﹣x）（x﹣2）=﹣x+6x﹣8=﹣（x﹣3）+1， 则3a﹣1≤3， 则a≤．

故实数a的取值范围是（1，]． 故答案为：（1，]．

点评： 本题考查了函数的单调性的判断及应用，注意适当的调整解答过程以起到简化运算的作用，属于基础题．

16．已知函数f（x）=2﹣（x＞0），若存在实数m、n（m＜n）使f（x）在区间（m，n）上的值域为（tm，tn），则实数t的取值范围是（0，1）．

考点： 函数的值域．

专题： 函数的性质及应用．

22

分析： 结合函数的单调性，得出m，n是方程2﹣=tx①的2个根，由题意得不等式组，解出即可．

解答： 解：画出函数f（x）的草图，如图示：

，

∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴2﹣=tm，2﹣=tn，

∴m，n是方程2﹣=tx①的2个根，（0＜m＜n） 整理①得：tx﹣2x+1=0， ∴

，解得：0＜t＜1，

2

故答案为：（0，1）．

点评： 本题考查了函数的单调性，函数的定义域，值域问题，是一道中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知函数f（x）=

﹣

的定义域为集合A，集合B={x|1＜x＜8}，C={x|a＜x

＜2a+1} （1）求A，（∁RA）∩B；

（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．

分析： （1）求出函数f（x）的定义域A，结合集合B={x|1＜x＜8}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案．

（2）若A∪C=A，则C⊆A，分C=∅和C≠∅，两种情况讨论满足条件的实数a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）由∴A={x|2≤x＜6}，

又∵集合B={x|1＜x＜8}，

得2≤x＜6，

∴（CRA）∩B={x|x＜2或x≥6}∩{x|1＜x＜8}={x|1＜x＜2或6≤x＜8}… （2）由已知得C⊆A， ①若C=∅，则a≥2a+1， ∴a≤﹣1，符合题意

②若C≠∅，则，

解得；

…

综上，实数a的取值范围为a≤﹣1或

点评： 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．

18．计算： （1）

﹣

+

+π﹣3

0

﹣1

（2）已知x+x=4（0＜x＜1），求

﹣1

．

考点： 有理数指数幂的化简求值． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；

（2）由x+x=4，可得（x+x）=16，即x+x=14，结合0＜x＜1，可得代入可得答案．

﹣1﹣122﹣2

，

解答： 解：（1）原式=﹣1，

（2）∵x+x=4，

﹣122﹣2

∴（x+x）=x+x+2=16， 2﹣2

∴x+x=14

﹣122﹣2

则（x﹣x）=x+x﹣2=12， ∵0＜x＜1 ∴x＜x， ∴

…

﹣1

﹣1

==

又∴

，

∴…

点评： 本题考查的知识点是有理指数幂的定义，有理指数幂的化简和求值，熟练掌握有理指数幂的运算性质，是解答的关键．

19．求下列函数的解析式

（1）一次函数f（x）满足f[f（x）]=4x+3，求f（x）；

2

（2）已知函数f（x﹣1）=x﹣x+1，求f（x）．

考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： （1）运用待定系数法求解，转化为恒等问题解决．（2）利用换元法，或整体配送的方法求解即可．

2

解答： 解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0）则f[f（x）]=k（kx+b）+b=kx+kb+b 2

∴kx+kb+b=4x+3 则

解得

或

∴f（x）=2x+1或f（x）=﹣2x﹣3

22

（2）方法一：f（x﹣1）=x﹣x+1=（x﹣1）+（x﹣1）+1

2

∴f（x）=x+x+1）

方法二：设t=x﹣1则x=t+1

则f（t）=（t+1）﹣（t+1）+1=t+t+1

2

∴f（x）=x+x+1

点评： 本题考查了函数解析式求解的常见的方法，难度不大．

20．已知函数f（x）=1﹣

2

2

（1）证明f（x）是奇函数；

（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明； （3）求f（x）在[﹣1，2]上的最值．

考点： 奇偶性与单调性的综合．

分析： （1）由解析式求出函数的定义域，再化简f（﹣x）并判断出与f（x）的关系，由函数的奇偶性的定义下结论；

（2）先判断出函数的单调性，再利用函数的单调性的定义进行证明； （3）根据（2）证明的单调性和区间，求出函数的最大值和最小值． 解答： 解：（1）由题意得，f（x）的定义为R，

且 ，

则，

所以f（x）是奇函数…

（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，证明如下： 设任意的x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2 则

，

∵x1＜x2，∴

＜0，则，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数…

（3）由（2）知，f（x）在[﹣1，2]上单调递增 ∴

…

点评： 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的证明方法：定义法，以及利用函数单调性求函数的最值问题，属于中档题．

21．某企业生产A、B两种产品，根据市场调查，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：单位是万元）

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数，写出它们的函数关系式．

（2）现企业有20万元资金全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这20万元资金，能使获得的利润最大，其最大利润是多少万元？

考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）设A、B两种产品的利润与投资x的函数关系分别为f（x），g（x）写出函数的表达式，利用条件求出函数的解析式．

（2）设有x（0≤x≤20）万元投入A产品，则有万元投入B产品，所得利润

（0≤x≤20），利用换元法以及二次函数闭区间上的最值求解即可． 解答： 解：（1）设A、B两种产品的利润与投资x的函数关系分别为f（x），g（x） 依题意可设

由已知f（2）=1，g（1）=2可得∴

…

（2）设有x（0≤x≤20）万元投入A产品，则有万元投入B产品 所得利润令

（0≤x≤20）…

∴

∵，

∴当t=2时，ymax=12此时x=16 答：A产品投入16万元，B产品投入4万元，能使获得的利润最大，最大利润为12万元．… 点评： 本题考查函数的综合应用，换元法以及二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．

22．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），对定义域内任意的x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0且f（2）=1 （1）判断f（x）奇偶性，并证明你的结论； （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；

2

（3）解不等式：f（x﹣1）＜3．

考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）利用赋值法和“f（xy）=f（x）+f（y）”，分别求出f（1）、f（﹣1）的值，再用同样的方法判断出f（﹣x）与f（x）的关系即可；

（2）设任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，根据题意可得

，再由

和恒等式得，利用函数单调性的定义得到结论；

2

（3）根据f（2）=1和恒等式求出f（4）=3，将不等式转化为f（x﹣1）＜f（8），再由偶函数的单调性列出不等式组求出x的范围． 解答： 解：（1）f（x）是偶函数，证明如下： 由题意知，f（xy）=f（x）+f（y） 令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0， 令x=y=﹣1得f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）=0， 再令y=﹣1得，f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x） ∴f（x）是偶函数…

（2）设任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则

，

当x＞1时，f（x）＞0，所以

∵

∴

，∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数…

（3）由题意知，f（2）=1，

∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=3，

22

∴不等式f（x﹣1）＜3，转化为f（x﹣1）＜f（8）， 由（1）（2）知，f（x）是偶函数且在（﹣∞，0）上单调递减，所以在（0，+∞）上单调递增， ∴

，解得﹣3＜x＜3且x≠±1，

∴原不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，3）… 点评： 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及定义法证明函数的奇偶性和单调性，主要利用赋值法和恒等式求值，注意需要给x、y恰当值，这样才能利用条件进行求解、证明，考查分析问题、解决问题和能力．