2021北京东城初三二模数学(教师版)

数 学

2021．6

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． ．．1.下列各数中，小于2的正整数是

A. -1

B. 0 C. 1 D. 2

2. 在下列不等式中，解集为x＞-1的是

A. 2x＞2 B. 2x＞-2 C. 2x＜-2 D. 2x＜2

3. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为 2，点A（1，3）与⊙O的位置关系是

A. 在⊙O上 B. 在⊙O内 C. 在⊙O外 4. 下列式子中，运算正确的是

A. 1x1x2 B. a2a4=a8 C. xyxy D. a2 D. 不能确定

22a23a2

5.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与AB围成的扇形的面积是

A. 2π B. 5π C.

25π D. 10π 的交点, 点B在第一象限,点C的坐标为（6，-x6.在平面直角坐标系xOy中，点A,B是直线yx与双曲线y2）. 若直线BC交x轴于点D, 则点D的横坐标为 A.2 B. 3 C. 4 D. 5

7. 多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．下图是1998年至2019年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图．

1 / 16

A．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数 B．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数 C．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差 D．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快

8．四位同学在研究函数y=-x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x=1时，函数有最大值；乙同学发现函数y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0,-3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x=3时，函数的值为0.若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是 A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 使式子

2有意义的x的取值范围是 . x1210. 分解因式：mx9m . 11. 用一个k的值推断命题“一次函数ykx1k0中，y随着x的增大而增大.”是错误的，这个值可以是k= . 12. 某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动. 第一小组的同学推荐了 “北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、 南湖红船、抗疫精神、致敬英雄” 六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中.组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是 . ．．．．．．13. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE, AC=EF, 要使△ABC≌△EDF, 只需添加一个条件,这个条件可以是 .

14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0),B(5，4). 若四边形OABC是平行四边形，则于 .

2 / 16

OABC的周长等

15．若点P在函数yx,x≥0的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是 .

x,x＜016. 数学课上，提出如下问题：

已知：如图,AB是⊙O的直径,射线AC交⊙O于C. 求作：弧BC的中点D.

同学们分享了如下四种方案：

①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D． ②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D． ③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．

④如图4，在射线AC上截取AE，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点D．

上述四种方案中，正确的方案的序号是_____ _．

三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：5+27+21tan60.

0

a2+118. 先化简代数式 1a，再求当a满足a20时，此代数式的值.

a1

3 / 16

19. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，直线l过点A. 点B与点D关于直线l对称，连接AD,CD．求证：∠ACD=∠ADC．

20． 已知：如图，点C在∠MON的边OM上．

求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．

作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；

②分别以点A，B为圆心，大于③画射线OQ；

④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D； ⑤画射线CD．

射线CD就是所求作的射线．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： ∵OD平分∠MON， ∴∠MOD=________． ∵OC=CD，

∴∠MOD=________． ∴∠NOD=∠CDO．

∴CD∥ON（________ ）（填推理的依据）．

4 / 16

1AB的长为半径画弧，交于点Q； 221. 已知关于x的一元二次方程mx2m1x10m0.

（1）求证：此方程总有实数根；

（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根.

22. 如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．

(1)求BF：DF的值；

(2)若AB=2，AE=√3，求BD的长．

23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y（1）求k和m的值；

（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．

kk0的两个交点分别为A（-3，-1），B（1，m）. xkk0于点Q. 当点Q位于点P的x 5 / 16

24. 如图,⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上.过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD=∠CAB.过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F. （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF=4，sinD2，求BE的长． 3

25.中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次,对我国国民阅读总体情况进行了综合分析.2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布. 下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息.

a.本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1.

b. 2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本. c.2012年至2020年,未成年人的年人均图书阅读量如图2.

根据以上信息，回答问题：

6 / 16

（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的________； （2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为________本，比2019年多________本；

（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比，________年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大； （4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高________%（结果保留整数）. 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax3ax1与y轴交于点A．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；

（3）已知点P(0,2)，Qa1,1．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

27．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．

(1)如图1，点A, B , D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；

（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上. ①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；

② 连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．

2

7 / 16

28.对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”.

（1）已知点A6,8，在点Q10,8，Q24,2，Q38,4中， ________是点A的“直角点”； （2）已知点B3,4,C4,4,若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；

（3）在（2）的条件下，已知点Dt,0，Et1,0，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG.若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围.

8 / 16

2021北京东城初三二模数学

参

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号 答案

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. x1 10. mx3x3 11. -1（答案不唯一，k＜0） 12.

1 C 2 D 3 A 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 1 313. ∠A=∠E (答案不唯一，或BC=DE) 14. 14 15.（-1,1）或（1,1） 16. ①②③④

说明：第15题，两个答案各1分，第16题，少答得1分

三. 解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解：

50+27+21tan60

11333-------------------------------------------------------------------------------------4分

2323. ------------------------------------------------------------------------------------5分 2说明：第一步化简每个1分，结果1分

a2+1a1 18. 解：原式=a1a21a1 ----------------------------------------------------------------------------1分 =a1a21a22a1a1 ---------------------------------------------------------------------------2分

2a21a22a1

a12a. ------------------------------------------------------------------------------3分 a1∵a20，

∴a=2. ------------------------------------------------------------------------------4分

9 / 16

∴原式=4. -----------------------------------------------------------------------------5分

说明：通分正确1分，去括号正确1分，化简结果正确1分，a的值正确1分，结果1分。 19. 解： ∵点B与点D关于直线l对称，

∴AB=AD．--------------------------------2分 ∵AB=AC，

∴AD=AC.---------------------------------4分

∴∠ACD=∠ADC．------------------------------------------------------------------------------------------------5分 20. 解：(1)补全图形，如图：

------------------------------------------------------------------2分

(2) ∠NOD；∠CDO；

内错角相等，两直线平行． --------------------------------------------------------------------------5分 说明：（1）角分线1分，CD 1分；（2）三个空各1分，理由如果写成平行线的性质不得分 21.（1）证明：

(m1)24m(m1)2≥0，

∴该方程总有实数根. -----------------------------------------------------------------------------2分 说明：判别式正确1分，配方并写出大于等于零 1分，如果丢掉等号扣1分 （2）解：取m1. --------------------------------------------------------3分此时，方程为2121x1x10. 22即x3x20.

解得：x11,x22. --------------------------------------------------------------------------------5分 （注：答案不唯一，x11,x221） m说明：m满足0＜m＜1，写对得1分，方程的两根各1分 22. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AB=CD.

∴△ABF∽△DEF．---------------------------------------------------------------------------1分

10 / 16

∴ BF：DF=AB:ED. ∵点E是CD的中点， ∴AB=CD=2DE．

∴BF：DF=2：1. ---------------------------------------------------------------------------2分 (2) ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD. ∵AB=2， ∴AD=2，DE=1. ∵AE=√3， ∴𝐴𝐷2=𝐴𝐸2+𝐷𝐸2。

∴∠AED=90°. -----------------------------------------------------------------------3分 ∵ sin∠ADE=3, 2∴∠ADE=60°． ------------------------------------------------------------------------4分 在菱形ABCD中，BD为对角线， ∴∠ADB=

1∠ADE=30°． 2连接AC,交BD于点O ． ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，OB=OD. ∴ AO=

1AD=1． 2在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD=3.

∴BD=2OD=2√3． ------------------------------------------------------------------------------5分 23. 解：（1）把A(3,1) 代入yk得k3. x把B(1,m) 代入y

3

得m3. x

k3,m3. ------------------------------------------------------------------------2分说明：两个字母的值各1分

（2）设直线l的表达式为yk1xb(k10) ，

11 / 16

分别把A(3,1)，B(1,3)代入得3k1b1,k11, 解得

k1b3.b2. 直线l的表达式为yx2. --------------------------------------------------------3分  直线l与x轴的交点为C(2,0). -------------------------------------------------------4分

结合图象可知:

当点P在线段BA的延长线上或在线段 BC（不含端点）上时，点Q位于点P右侧. ∴点P的纵坐标n的取值范围是

n1或0n3.

--------------------------------------------------------------------------6分 说明：两种情况各1分 24. (1)证明：如图，连接OB.

∵AC是直径，

∴ABC90.-----------------------------1分

ABOOBC90.

.OAOB,

CABABO.

CABOBC90. -------------------------------------------------------------2分

CBDCAB,

CBDOBC90.

OBBD.

∴𝐵𝐷是☉O的切线. -----------------------------------------------------------------------------3分 (2) 解：如图，连接𝐶𝐹交𝑂𝐵于点𝐺. ∵AC是直径，

AFC90.

AEBD,

AED90.

AFCAED.

FC//ED.

12 / 16

ACFD. ----------------------------------------------------------4分

sinD2. 32sinACFsinD.

3在RtACF中，sinACFAF2. AC3AF. ACAF4,

AC6.

根据勾股定理，得CF25. -----------------------------------------------------5分

CF//BD,OBBD,

OBCF.

1FGCF5.

2EFGFEBEBG90,

∴四边形BEFG是矩形. ∴ BEFG5 . ------------------------------------------------6分

25.解：（1）25.2%. ------------------------------------------------------------------------1分

（2）7.99,0.5.-----------------------------------------------------------------3分 （3）2013．------------------------------------------------------------------------4分 （4）34.-----------------------------------------------------------------------6分 说明：（2）每个答案各1分

26.解：（1）由抛物线yax3ax1，可知x23a3. 2a2∴抛物线的对称轴为直线x23.--------------------------------------------------1分 2（2）∵抛物线yax3ax1与y轴交于点A， ∴点A的坐标为0,1.

13 / 16

∵点B是点A关于直线x3的对称点， 2∴点B的坐标为3,1.-----------------------------------------------------------------2分 （3）∵点A0,1，点B3,1，点P0,2，点Qa1,1，

∴点P在点A的上方，点Q在直线y1上.-----------------------------------------------3分 ①当a＞0时，a1＞1，点Q在点A的右侧.

（i）如图1，当a1＜3，即a＜2时，点Q在点B的左侧， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；

（ii）如图2，当a1≥3，即a≥2时，点Q在点B的右侧，或与点B重合， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点.-----------------------------4分 ②当a＜0时，a1＜1，点Q在点B的左侧.

（i）如图3，当0≤a1＜1，即1≤a＜0时，点Q在点A的右侧,或与点A重合， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；----------------------------5分 （ii）如图4，当a1＜0，即a＜-1时，点Q在点A的左侧, 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点.

14 / 16

综上所述，a的取值范围是1≤a＜0或a≥2．---------------------------------------------6分

27.解：（1）DP与AE的位置关系：DP⊥AE；-----------------------------------1分 （2）①补全图形，如图：

------------------2分 证明：∵∴∠BAE+

∠BAC=90°， ∠CAE=90°．

----------------------------------------------------------------------------------------

∵△ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，

∴DP⊥AE，即∠APD=90°． --------------------------------------------------------------------3分 ∵点C，D，P在同一条直线上， ∴∠ACP+∠CAE=90°．

∴∠BAE=∠ACP. -------------------------------------------------------------------------------4分 (3) 线段BF与DF的数量关系：BF=DF． -----------------------------------------------------5分 证明：如图，过点B作BH⊥AE于点H．

∴∠AHB=∠APD=90°. ------------------------------------------------------6分 ∵ ∠BAE=∠ACP,AB=AC,

15 / 16

∴△BAH ≌△ACP(AAS)． ∴BH=AP=DP．

∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP， ∴△BFH ≌△DFP(AAS)．

∴BF=DF． --------------------------------------------------------------------------------------------7分 28.解：（1）Q1，Q3. ---------------------------------------------------------------------------------------2分 (2)∵∠OQP=90°，

∴点Q在以OP为直径的圆上（O,P两点除外）

如图1，以OB为直径作

M,作MH∥x轴，交M于点H（点H在点M左侧）.

∵点B的坐标为（-3,4）， ∴

53M的半径为，点M的坐标为,2.

22354. ------------------------------------------3分 22∴xH如图2，以OC为直径作∵点C的坐标为（4,4）， ∴

M,作MH∥x轴，交M于点H（点H在点M右侧）.

M的半径为22，点M的坐标为（2,2）.

∴xH222. ------------------------------------------4分 ∴n的取值范围是4≤n≤2+22.------------------------------------------5分

（3）3≤t≤1-7或213≤t≤3. -----------------------------------------------------------7分 2说明：(3)中部分正确得1分.

16 / 16