2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级(上)期中数学试卷

2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，本题共12个小题，满分48分） 1．（4分）若2x﹣7y=0，则x：y等于（ ） A．7：2

B．﹣2：7

C．2：7

D．﹣7：2

2．（4分）有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定＞等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a，b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．（4分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC

C．AB2=AD•AC

D．=

4．（4分）将抛物线y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A．y=2（x﹣2）2﹣3

B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3

D．y=2（x+2）2+3

5．（4分）在四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、菱形、正五边形、圆．现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A．

B．

C．

D．1

6．（4分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是x=1

C．当x=1时，y的最大值为﹣4

D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）

7．（4分）如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在

第1页（共31页）

格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为（ ）

A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．：1

8．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=4，CD=1，BC=4．在腰BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，这样的点P有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．（4分）以下命题：

（1）点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上； （2）弧相等就是弧的长度相等； （3）三点确定一个圆；

（4）平分弦的直径必垂直于这条弦， 其中正确的命题的个数是（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）

与正比例函

第2页（共31页）

A．

B．

C．

D．

11．（4分）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）

上一点，BD交

A．3 B．2 C．1 D．1.2

12．（4分）已知函数y=ax2+2ax+4（a＞0），若点（x1，y1），（x2，y2）是函数上的两个点，且满足x1＜x2，x1+x2=0，则（ ） A．y1=y2 C．y1＞y2

二、填空题（每小题4分，本题共6个小题，满分24分）

13．（4分）已知一个扇形的半径为30cm，面积为240πcm2，则此扇形的弧长为 cm．

14．（4分）从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是 ．

15．（4分）如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是 ．

B．y1＜y2

D．y1与y2的大小不能确定

第3页（共31页）

16．（4分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x=2，则OB﹣OA的值为 ．

17．（4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．

18．（4分）如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，AB=4，AC=3，则AD的长为 ．

三、解答题（本大题有8小题，共78分；19题6分，20-21每题8分，22-24

第4页（共31页）

每题10分，25题12分，26题14分）

19．（6分）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠CAD=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）

20．（8分）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．

（1）求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）

（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第二次传球后球回到甲手里的概率是 ．那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 ．（请直接写出结果）． 21．（8分）如图，课本中有一个例题；

有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2．

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题： （1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

第5页（共31页）

22．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长．

23．（10分） 如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上． （1）求证：△EBF∽△FCD；

（2）如果BC=12，BF=3，求BE的值．

24．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D．

（1）求证：AD=BD；

（2）弦CE交BD于M，若S△ABC=4S△BCM，求

．

25．（12分）已知直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A，

（1）直接写出点A的坐标（温馨提示：若看不出，取几个不同的K值画图看看）；并验证点A是否在抛物线y=ax2﹣4ax+3上

（2）设抛物线y=ax2﹣4ax+3与Y轴的交点为B，抛物线的对称轴与直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与相交于点C、D．问：是否存在一点C，使以A、C、D

第6页（共31页）

为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出K的值；若不存在，说明理由． （3）设抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），直线y=kx﹣4k+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于

，求a和k的值．

26．（14分）定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．

（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；

（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线； （3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．

第7页（共31页）

2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期中数

学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题4分，本题共12个小题，满分48分） 1．（4分）若2x﹣7y=0，则x：y等于（ ） A．7：2

B．﹣2：7 C．2：7 D．﹣7：2

【解答】解：∵2x﹣7y=0， ∴2x=7y， ∴x：y=7：2． 故选：A．

2．（4分）有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定＞等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a，b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（ ） A．1个

B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：根据分析，知 ①②④是必然事件； ③是不可能事件． 故选：C．

3．（4分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）

A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC

C．AB2=AD•AC

D．=

第8页（共31页）

【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；

B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC，∴D、

=

=

，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；

不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．

故选：D．

4．（4分）将抛物线y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A．y=2（x﹣2）2﹣3

B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3

D．y=2（x+2）2+3

【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）

2

+k，代入得y=2（x﹣2）2+3．

故选：B．

5．（4分）在四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、菱形、正五边形、圆．现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A．

B． C． D．1

【解答】解：卡片上的图形恰好是中心对称图形的有2个，

所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是0.5， 故选：B．

6．（4分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）

第9页（共31页）

A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是x=1

C．当x=1时，y的最大值为﹣4

D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）

【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3）， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．

A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确． B、根据抛物线的对称轴x=﹣

=﹣

=1，正确．

C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．

D、当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确． 故选：C．

7．（4分）如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为（ ）

A．4：1

B．3：1 C．2：1 D．：1

【解答】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得： DE2=22+22，EF2=22+42， ∴DE=2

，EF=2

； ，BC=

，

同理可求：AC=∵DF=2，AB=2， ∴

，

第10页（共31页）

∴△EDF∽△BAC， ∴l△DEF：l△ABC=故选：D．

：1，

8．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=4，CD=1，BC=4．在腰BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，这样的点P有（ ）

A．1个

B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°， ∴∠B=∠C=90°， 如图，

①若△ABP∽△PCD，则解得：BP=2；

②若△ABP∽△DCP，则解得：BP=

；

=，即=，

=，即=，

第11页（共31页）

所以这样的点P有2个， 故选：B．

9．（4分）以下命题：

（1）点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上； （2）弧相等就是弧的长度相等； （3）三点确定一个圆；

（4）平分弦的直径必垂直于这条弦， 其中正确的命题的个数是（ ） A．1个

B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上，所以（1）正确；

弧相等就是弧的长度和弧的度数分别相等，所以（2）错误； 不共线的三点确定一个圆，所以（3）错误；

平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以（4）错误． 故选：A．

10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）

与正比例函

A．

B．

第12页（共31页）

C．

D．

【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

∵对称轴在y轴左， ∴a与b同号， ∴b＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴ac＜0， ∴反比例函数y=∵b＜0，

∴正比例函数y=bx的图象经过原点，且在二四象限， 故选：B．

11．（4分）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）

上一点，BD交

在二四象限，

A．3

B．2 C．1 D．1.2

【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4， ∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4

，

第13页（共31页）

∴∠D=90°，

在Rt△ABD中，AD=，AB=4∴BD=

，

，

∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE， ∴△ADE∽△BCE， ∵AD：BC=：4=1：5， ∴相似比为1：5， 设AE=x， ∴BE=5x， ∴DE=

﹣5x，

∴CE=28﹣25x， ∵AC=4， ∴x+28﹣25x=4， 解得：x=1． 故选：C．

12．（4分）已知函数y=ax2+2ax+4（a＞0），若点（x1，y1），（x2，y2）是函数上的两个点，且满足x1＜x2，x1+x2=0，则（ ） A．y1=y2 C．y1＞y2

B．y1＜y2

D．y1与y2的大小不能确定

【解答】解：对称轴为直线x=﹣∵a＞0，

=﹣=﹣1，

∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小， x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∵x1+x2=0，

∴点（x1，y1）距离对称轴比（x2，y2）近， ∴y1＜y2．

第14页（共31页）

故选：B．

二、填空题（每小题4分，本题共6个小题，满分24分）

13．（4分）已知一个扇形的半径为30cm，面积为240πcm2，则此扇形的弧长为 16π cm．

【解答】解：∵S扇形=lr， ∴240π=•l•30， ∴l=16π， 故答案为：16π．

14．（4分）从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是

．

【解答】解：记小明为A、小聪为B、小慧为C、小颖为D， 画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中小明被选中（其中含有A）的有6种结果，

∴小明被选中的概率是， 故答案为：．

15．（4分）如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是 6 ．

第15页（共31页）

【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴

，即

，

解得，EF=， ∵l2∥l3∥l4， ∴

，即

，

解得GH=，

则线段EF和线段GH的长度之和=+=6， 故答案为：6

16．（4分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x=2，则OB﹣OA的值为 4 ．

【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0）， 则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根， ∵抛物线的对称轴是：x=2， ∴﹣

=2，

第16页（共31页）

∴b=﹣4a，

由图可知：x1＜0，x2＞0，

∴OB﹣OA=x2﹣（﹣x1）=x2+x1=﹣=﹣故答案为：4．

17．（4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 y=2x ．

=4，

【解答】解：设OC=a， ∵点D在y=上， ∴CD=，

∵△OCD∽△ACO， ∴

=

， =

， ），

∴AC=

∴点A（a，

∵点B是OA的中点， ∴点B的坐标为（，

），

∵点B在反比例函数图象上， ∴=

，

第17页（共31页）

∴

=2k2，

∴a4=4k2， 解得，a2=2k，

∴点B的坐标为（，a）， 设直线OA的解析式为y=mx， 则m•=a， 解得m=2，

所以，直线OA的解析式为y=2x． 故答案为：y=2x．

18．（4分）如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，AB=4，AC=3，则AD的长为

．

【解答】解：连结BC交AD于E，过B作BP⊥AC于点P，过E作EH⊥AC于点H， 在△ABC中，AB=4，AC=6，AD是∠BAC的角平分线， ∴BE：CE=4：3， ∵∠BAC=60°，

∴AP=AB•cos∠BAC=2，BP=AB•sin∠BAC=2∴CP=AC﹣AP=1， ∴BC=∴CE=

=，BE=

， ，

，

∵EH∥BP，

第18页（共31页）

∴==，

， ， =

，

∴CH=，EH=∴AH=AC﹣CH=∴AE=

∵BE•CE=AE•DE， ∴DE=

，

． ．

∴AD=DE+AE=故答案为：

三、解答题（本大题有8小题，共78分；19题6分，20-21每题8分，22-24每题10分，25题12分，26题14分）

19．（6分）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠CAD=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）

【解答】解：如图，

∵∠CAD=30°，

第19页（共31页）

∴∠COD=60°， ∵AB∥CD，

∴△ACD的面积=△COD的面积，

∴阴影部分的面积=弓形CD的面积+△COD的面积=扇形OCD的面积=

π．

20．（8分）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．

（1）求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）

（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第二次传球后球回到甲手里的概率是

．那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是

=

．（请直接写出结果）．

【解答】解：（1）画树状图：

共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种， ∴P（第2次传球后球回到甲手里）==．

（2）第二步传的结果是n2，传给甲的结果是n， ∴第二次传球后球回到甲手里的概率是

=；

第三步传的结果是n3，传给甲的结果是n（n﹣1），

第20页（共31页）

第三次传球后球回到甲手里的概率是故答案为：，

21．（8分）如图，课本中有一个例题；

．

=，

有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2．

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题： （1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

【解答】解：（1）由已知可得：AD=则S=1×=m2；

=，

（2）设AB=xm，则AD=3﹣x（m）， ∵3﹣x＞0， ∴0＜x＜

，

2

+3x=﹣（x﹣）+，

设窗户面积为S，由已知得：S=AB•AD=x（3﹣x）=﹣

第21页（共31页）

当x=m时，且x=m在0＜x＜的范围内，S取得最大值＞1.05，

∴现在窗户透光面积的最大值变大．

22．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长．

【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，

，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt△ABC中， ∵cos∠BAC=∴∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°， ∴

==，

的长==π．

（2）∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD，

第22页（共31页）

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠BAD=45°， 在Rt△ABD中， BD=AB×sin45°=10×

23．（10分） 如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上． （1）求证：△EBF∽△FCD；

（2）如果BC=12，BF=3，求BE的值．

=5

．

【解答】（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°， ∴BC=CD，GH=EF=FG．

又∵点F在BC上，点G在FD上， ∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°， ∴∠EFB=∠FDC， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△EBF∽△FCD；

（2）∵BF=3，BC=CD=12， ∴CF=9，DF=∵△EBF∽△FCD， ∴∴BE=

24．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB

第23页（共31页）

=15，

，

，

于D．

（1）求证：AD=BD；

（2）弦CE交BD于M，若S△ABC=4S△BCM，求

．

【解答】（1）证明：连接CD， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， 即CD⊥AB，

∵△ABC中，AC=BC， ∴AD=BD．

（2）解：过点M作MN⊥BC于N，连接BE． ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CEB=∠CNM=90°， ∵∠BCE为公共角， ∴△CMN∽△CBE， ∴

=

=

，

设圆的半径为x， 则BC=AC=2x，AB=∵S△ABC=4S△BCM， ∴MN=AC， ∴MN=x， ∵△BMN∽△BAC，

=2

x，

第24页（共31页）

∴∴

==，

=，

∴CN=x，

在Rt△CMN中，CM=∴

=

， =x，

x，

=

x，

∴CE=∵BD=AB=∴

=

．

25．（12分）已知直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A，

（1）直接写出点A的坐标（温馨提示：若看不出，取几个不同的K值画图看看）；并验证点A是否在抛物线y=ax2﹣4ax+3上

（2）设抛物线y=ax2﹣4ax+3与Y轴的交点为B，抛物线的对称轴与直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与相交于点C、D．问：是否存在一点C，使以A、C、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出K的值；若不存在，说明理由． （3）设抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），直线y=kx﹣4k+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于

，求a和k的值．

【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A， ∴y﹣3+k（x﹣4）=0的取值与k无关， ∴y=3，x=4， 即A（4，3）．

第25页（共31页）

将x=4代入y=ax2﹣4ax+3，得16a﹣16a+3=3， ∴点A在抛物线y=ax2﹣4ax+3上；

（2）存在，k1=0，k2=；如图1，

∵抛物线y=ax2﹣4ax+3与y轴的交点为B， ∴B（0，3），对称轴x=2， ∵点A（4，3），

∴直线OA解析式为y=x，

∵直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C，D， ∴C（2，﹣2k+3），D（2，）， ∵A（4，3），B（0，3），

∴△OBA为直角三角形，AB=4，OB=3， ∵使A，C，D为顶点的三角形与△AOB， ①当∠ACD=90°时，点在直线AB上， ∴点C1（2，3）， ∴﹣2b+3=3， ∴b=0

②当∠DAC=90°时，AC⊥OA， ∴直线AC解析式为 y=﹣x+

，

第26页（共31页）

∵点C（2，﹣2k+3）， ∴﹣2k+3=﹣×2+∴k=﹣，

即：k1=0，k2=﹣；

，

（3）∵抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1）， ∴a=1， ∴y=x2﹣4x+3， ∴P（k，k2﹣4k+3），

∴直线AP的解析式为y=kx+3﹣4k， ∴直线AP与y轴的交点为M（0，3﹣4k）， ∴S△AOM=|3﹣4k|×4=2|3﹣4k|， S△POM=×|3﹣4k|×|k|，

①当b＞0时，Ⅰ、当0＜k＜4时，即：点P纵坐标比点A的大时（点P在点A上方），

S△AOP=S△AOM﹣S△POM=2|3﹣4k|﹣|3﹣4k|×k=（Ⅰ）、0＜k＜时，b1=﹣1（舍），b2=（Ⅱ）、＜k＜4时，方程无解，

Ⅱ、当k＞4时，即：点P纵坐标比点A的小时（点P在点下方），如图，

，

（舍），

第27页（共31页）

S△AOP=S△POM﹣S△AOM=|3﹣4k|×k﹣2|3﹣4b|=（4k﹣3）×k﹣2（4k﹣3）=∴b1=﹣1（舍）或b2=

，

，

②当b＜0时，3﹣4b＞0，

∴S△AOP=S△AOM+S△POM=2|3﹣4k|+|3﹣4k|×（﹣k）=∴2（3﹣4k）+（3﹣4k）×k=∴4k2﹣19k﹣23=0， k1=﹣1，k2=∴k=﹣1，

即：a=1，k=﹣1或

26．（14分）定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．

．

（舍），

，

，

第28页（共31页）

（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；

（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线； （3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．

【解答】解：

（1）∵EF是等腰△ABC的逆等线， ∴CF=AE=2，又AB=AC=5， ∴AF=3， ∵EF⊥AB， ∴EF=

=；

（2）连结AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点，

∴AD=CD且∠ADC=90°， 又∵DE=DF且∠EDF=90°， ∴∠EDA=90°﹣∠ADF=∠FDC，

第29页（共31页）

在△EDA和△FDC中

∴△EDA≌△FDC（SAS）， ∴AE=CF，

∴EF为等腰△ABC的逆等线；

（3）如图3，设OF=x，则DF=， 作AG⊥OB，CH⊥AG，

∵CD为△AOB的逆等线，

∴AC=BD，又∠ACH=∠AOB=∠DBF， 且∠AHC=∠AGO=∠DFB， 在△ACH和△DBF中

∴△ACH≌△DBF（AAS）， 则EG=CH=BF，AH=DF， 又AO=AB，且AG⊥OB， ∴OG=BG，

∴GF=BG﹣BF=OG﹣EG=OE， ∴EG=x﹣2﹣2=x﹣4， ∵△ACH∽△COE，

第30页（共31页）

∴=，即=

，化简得x2﹣4x﹣4=0，解得x=2

+2或x=2﹣2（舍去），

∴OF=2

+2．

第31页（共31页）