课时作业(四十一)
带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值及多解问题
[基础训练]
1．(2017·甘肃河西五市第一次联考)(多选)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝a.在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0＝
qmqBa，发m射方向由图中的角度θ表示．对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是( )
A．粒子有可能打到A点
B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短 C．以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等 D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出
v20
答案：AD 解析：根据Bqv0＝m，可知粒子的运动半径R＝a，因此θ＝60°时，粒子
R恰好从A点飞出，故A正确；以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是周期的六分之一，在磁场中运动时间最长，故B错误；以θ＝0°飞入的粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是周期的六分之一，θ从0°到60°，粒子在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；因为以θ＝0°飞入的粒子在磁场中恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确．
2．(2017·江西红色七校第一次联考)(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是( )
A．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 B．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
1
答案：AD 解析：在磁场中轨迹半径r＝，在比荷相同时，轨迹半径与速率成正比，如果入射速度相同，则粒子在磁场中的运动轨迹也相同，故A正确；入射速度不同的粒子，若它们入射速度方向相同，则它们的运动时间有可能相同，虽然轨迹不一样，但从磁场的左θθ2πm边射出的粒子，圆心角却相同(θ＝π)，则粒子在磁场中运动的时间t＝T＝·＝
2π2πqBmvqBm·θ(θ为转过的圆心角)，所以从磁场的左边射出的粒子运动时间相同，故B错误；由A、qBB的分析可得，从磁场的左边射出的粒子运动时间一定相同，但半径可能不同，所以运动轨迹也不同，故C错误；由于它们的周期相同，在磁场中运动的时间t＝θ，在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角也一定越大，故D正确．
3．如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B.质量为
mqBm、电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ＝
60°，试分析计算：
(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多大？ (2)带电粒子在磁场中运动时间有多长？ 答案：见解析
解析：不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为R＝如图所示，有O1O＝O2O＝R＝O1A＝O2B mv0
qB
带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为
T＝
2πR2πm＝. v0qB(1)若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ1＝120°
A点与O点相距x＝3R＝
3mv0
qB 2
若粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ2＝60°
mv0
B点与O点相距y＝R＝. qB(2)若粒子带负电，它从O到A所用的时间为
t1＝
θ12πmT＝ 360°3qB若粒子带正电，它从O到B所用的时间为
t2＝
θ2πmT＝. 360°3qB4．如图所示，S为电子射线源，它能在如图所示纸面上的360°范围内发射速率相等、质量为m、电荷量为e的电子．MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离OS＝L.挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.
(1)要使S发射的电子能到达挡板，则发射电子的速率至少应多大？ (2)若S发射电子的速率为
eBL时，挡板被电子击中的范围有多大？(要求指明在图示纸m面内MN挡板被电子击中的范围，并在图示中画出能击中挡板距O上下最远的电子的运动轨迹)
答案：(1)
eBL (2)击中挡板上、下两点间长度(1＋3)L 2mmveB解析：(1)由R＝可知，当R最小且保证此时电子能到达挡板时，v有最小值． 所以R＝＝，即v＝. 2eB2mLmveBLeBLmmv′
(2)先计算此时R′＝＝＝L
eBeBm分析电子群运动轨迹，能击中挡板距O上下最远的电子运动轨迹如图所示，击中挡板的上、下极端位置b、a两点间范围即为所求xba＝L＋Ltan 60°＝(1＋3)L.
3
[能力提升]
5．(2017·山东滨州一模)如图所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0沿纸面从M点平行于AB边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计．求：
(1)磁场的磁感应强度B； (2)正方形区域的边长；
(3)粒子再次回到M点所用的时间． 答案：(1)
mv04πR (2)4R (3) qRv0
解析：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为r1，
v20
qv0B＝m，
r1
由几何关系r1＝R， 解得B＝
mv0
. qR(2)设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为r2，粒子恰好不从AB边射出，则有
v20
qv0B＝m，
r2mv0
r2＝＝R，
Bq正方形的边长L＝2r1＋2r2＝4R.
2πR(3)粒子在圆形磁场中做圆周运动的周期T1＝，
v0
1πR在圆形磁场中运动的时间t1＝T1＝，
2v0
4
2πR粒子在正方形区域做圆周运动的周期T2＝，
v0
t2＝T2＝3
2
3πR，
v0
4πR再次回到M点的时间为t＝t1＋t2＝. v0
6．如图所示，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场．大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用．求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)要确保粒子能从CD边射出，射入的最大速度； (3)AC、AD边上可能有粒子射出的范围． πm3πL答案：(1) (2) (3)见解析
3qt012t0
v22πr2πm解析：(1)由洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝m，周期：T＝＝
rvqB1
当粒子垂直AD边射出时，根据几何关系有：圆心角为60°，t0＝T
6πm解得：B＝.
3qt0
(2)当轨迹圆与AC、AD都相切时，粒子能从CD边射出，半径最大，速度为最大值，此
L3
时：r＝sin 60°＝L
24
v2mv根据qvB＝m得：r＝
rqB解得：vmax＝
3πL 12t0
5
所以，粒子射入的速度应满足v≤
3πL. 12t0
(3)由(2)知，当轨迹圆与AC相切时，从AC边射出的粒子距C最远，故有粒子射出的范围为CE段，xCE＝cos 60°＝
24
当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时，射出的粒子距D点最远，故有粒子射出的范围为DF段，xDF＝＝.
sin 60°2
LLrL
7．某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv； (3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．
qBL332答案：(1)L－3d1－ (2)－d m32qBL3L
－3d(3)1≤n<－1，n取整数
mn＋13d
解析：(1)设粒子在磁场中的轨道半径为r，粒子从O点到P点的运动轨迹如图所示
根据题意L＝ 3rsin 30°＋3dcos 30°
6
且h＝r(1－cos 30°) 解得h＝23L－3d31－2
.
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′
mv2
r＝qvB v′2mr′
＝qv′B 由题意知3rsin 30°＝4r′sin 30°
解得Δv＝v－v′＝qBL3
m6－4d
.
(3)设粒子经过上方磁场共n次
由题意知L＝(2n＋2)dcos 30°＋(2n＋2)rnsin 30°
且mv2nr＝qvnB
n解得vqBLn＝m
n＋1－3d3L
1≤n<3d－1，n取整数． 7
