届高三文科数学第二轮专题复习------
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数
三角函数的考查有以下一些类型与特点：1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是
y Asin( x )的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有
界性、图像的平移和对称等.高考试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材，且高于教材。
2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查. 3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题. 常用解题思想方法： 1．三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是 “1”的代换，如
1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分
拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角α=（α+β）－β，β= 2 － 2 等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a bsin(θ+ )，这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定， 角的值由tan = ba 2 2 确定。
2．证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4．解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 例题讲解
1.在△ABC中，cosB （Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设△ABC的面积S△ABC 解：（Ⅰ）由cosB 由cosC 45 513 __ ，cosC 45 ．
，求BC的长 1213 ，得sinB 35 ，
，得sinC ． 3365
所以sinA sin(B C) sinBcosC cosBsinC （Ⅱ）由S△ABC 33
． 5分 由（Ⅰ）知sinA 2 3365 得 12 AB AC sinA 332 ， ，
故AB AC 65， AB sinBsinC 13 2022年2
AB 65，AB 故． 20 AB， 所以BC AB sinAsinC 112 ． 10分 π
8分 又AC 132
xsin x （ 0）的最小正周期为π． 2 2.
已知函数f(x) sin2 x （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数f(x)在区间 0 上的取值范围． 3 1 cos2 x 2 2 2 12 12 2π 解： （Ⅰ）f(x) 2 x 2 x cos2 x π 1 sin 2 x ． 6 2
因为函数f(x)的最小正周期为π，且 0， 所以 2π2 π，解得 1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x) sin 2x π 1 ． 6 2
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 因为0≤x≤所以 π6 2π3 ， ≤2x π6 ≤ 7π6 ， 所以 12 ≤sin 2x π ≤1， 6 因此0≤sin 2x π 13 3
，即的取值范围为 ≤0 ． 3.已知函数f(x) cos(2x
f(x) 6 22 2 3 ) 2sin(x 4 )sin(x 4 )
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程f(x)在区间[ 解：（1） f(x) cos(2x __ 222 1223 ,
]上的值域 ) 2sin(x 4 )sin(x 4 )
cos2x 2x (sinx cosx)(sinx cosx) cos2x 2x sinx
Ⅱ）求函数 （
cosx 22
cos2x sin2x cos2x 2 2 sin(2x 6 )∴周期T k 2 由2x 6 k 2 (k Z),得x 3 (k Z)
∴函数图象的对称轴方程为 x k (k Z) 3
5 ,], 2x [ ,] （2） x [ __
因为f(x) sin(2x 所以 当x 3
6 )在区间[ 123 ,
]上单调递增，在区间[ 3,2
]上单调递减， 时，f(x)取最大值 1 2 又 f( 12 ) f( 2 ) 12 ，当x 12 时，f(x )取最小值 2
所以 函数 f(x)在区间[
122 ,
]上的值域为[ 2 ,1]
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 4.已知函数f(x)＝3sin( x ) cos( x )(0 π, 0)为偶函数，且函数y＝ f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）求f（ π8 π2 . ）的值； π6
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到
原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝3sin( x ) cos( x ) 3 2 1 cos( x ) 2 ＝2
sin( x ) π6 ＝2sin( x -)
因为 f(x)为偶函数，
所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立， 因此 sin（- x -即-sin xcos( -π6 π6
）＝sin( x -π6 π6 ). π6
)+cos xsin( -π6
)=sin xcos( -)+cos xsin( -π6 π6 ),
整理得 sin xcos( -)=0.因为 ＞0，且x∈R,所以 cos（ -π6 ）＝0.
又因为 0＜ ＜π，故 -2 ＝ π2
.所以 f(x)＝2sin( x+ π2 )=2cos x.
由题意得 2 2
, 所以 ＝2. 故 f(x)=2cos2x. 因为 f() 2co 8 4 2.
（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个 6
个单位后，得到f(x 4 6
)的图象，再将所得图象横坐标
伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 4 6 )的图象.
所以 g(x) f( ) 2cos 2( ) 2cosf( ).66 23 4 当2kπ≤
f(
2 3
≤2 kπ+ π (k∈Z),
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 即4kπ＋≤ 2 3 ≤x≤4kπ+ 8 3
(k∈Z)时，g(x)单调递减. 2 8
(k∈Z) 4k ,4k 33
因此g(x)的单调递减区间为 高考热点： 1.已知cos 17 ,cos( ) 1314 ,且0 2 ,
(Ⅰ)求tan2 的值.（Ⅱ）求 .
2.在 ABC中， A、 B、 C的对边的边长分别为a、b、成等比数列.
(1) 求角B的取值范围;
c且a、、cb
B B
(2) 若关于B的不等式cos2B 4sin( )cos( ) m 0恒成立，求m的取值范 4 2 4 2 围.
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 3．已知函数f
x 3sin2x xcosx 5cos2x． （Ⅰ）求函数f x 的周期和最大值； （Ⅱ）已知f 5，求tan 的值．
4.设 ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcosC a （1）求角B的大小；
（2）若b 1，求 ABC的周长l的取值范围. 12c.
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 5.若f(x) 23sin x3 cos x3 2sin 2
x3
(1)x [0, ]，求f(x)的值域和对称中心坐标；
(2)在 ABC中，A、B、C所对边分别为a、b、c，若f(C) 1，且b2 ac，求sinA.
6.在 ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足4cos2（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b c 3，求a的最小值． A2 cos2(B C) 72
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC. （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设m (sinA,cos2A),n (4k,1)(k 1),且m n的最大值是5，求k的值. 8
．已知：a x,cosx),b (cosx,cosx)，f(x) 2a b 2m 1（x,m R）.
(Ⅰ) 求f(x)关于x的表达式，并求f(x)的最小正周期； (Ⅱ) 若x [0, 2
]时，f(x)的最小值为5，求m的值.
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 1π
9.已知函数f(x)＝2sin x－ ，x∈R. 36
(1)求f(0)的值； ππ106
(2)设α，β∈ 0，，f 3α＋ ＝f(3β＋2π)＝sin(α＋β)的值． 2 2 135 π
10.已知函数f(x)＝tan 2x＋ . 4
(1)求f(x)的定义域与最小正周期； πα
(2)设α∈ 0， ，若f ＝2cos2α，求α的大小． 4 2
高考热点参
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) 1.解：（Ⅰ）由cos 17 ,0 2 ，得sin 7∴tan sin 7 tan2 2tan
2 cos 7 1 1 tan 1 47 （Ⅱ）由0 1314 2 ，得0 2
14又∵cos ，∴sin 由 得： 17 1314 7 14 12
cos cos cos cos sin sin 所以
3 a c b 2ac 2 2 2
2解：（1） b ac cosB 12 2 2ac b2ac 2 2ac ac2ac 12
当且仅当a b c时，cosB 2(cosB 12 12 2 故0 B 4 B2) m 3 4 B2
2 ） cos2B 4sin(＝cos2B 2sin( （ )cos( 2 B) m 32 ) m 12) m 2
cosB 1 2(cosB 32 0得m 32 m 32 ,m 1)
故原不等式恒成立，即 m的取值范围为( 32 32 , ). 22
3解：（Ⅰ） f x
3sinx xcosx 5cosx
m
2x cos2x 4 ＝2sin(2x ∴周期为 2 2 π6 ) 4． ， 最大值为6 （Ⅱ）由f
5，得3sin cos 5cos 5． 2 2
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) ∴3 1 cos2 2 2 5 1 cos2 2 5．
∴2 cos2 1， 即2 1 cos2 cos
2sin2 sin 0或tan ∴tan 0或tan
4解：（1）方法一：在 ABC中，有sinA sin(B C) sinBcosC cosBsinC 由正弦定理得：a bcosC ccosB 又bcosC a cosB 12 12c, 12
c 0，即cosB ，
又B为 ABC的内角， B 方法二：由bcosC a 12 12 3 12
sinA sinA sinBcosC cosBsinC 12 c,得sinBcosC
sinC cosBsinC, sinC 0, cosB B 3 （2
）由正弦定理得：a bsinAsinB A,c
即：
bsinCsinB C l a b c 1 12 A sinC) 1 2
sinA sin(A B) 1 A sinA A) 1 1 2A cosA 22 1 2sin(A 6 ) B
5 2 , A 0,, A , 33 6 66 1 ) ,1 6 2 sin(A
于是l 1 2sin(A 6 ) 2,3
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案)
故 ABC的周长l的取值范围为 2,3 。 5解：（1）f(x) 2sin( x [0, ] 23x 23x ,5 6 ) 1 6 [ 66 ] ∴当 x 23 32 x 6
k ∴f(x) [0,1] k 4
，对称中心( 23 2
32 k 4 , 1) k Z （2）f(c) 1 2 2 2 x 6 2 c 90 c a b a ac sin 2
A sinA 1 0，sinA 5 12
6解：（Ⅰ） A B C ， 4cos 2 A2
cos2(B C) 2(1 cosA) cos2A 2cosA 2cosA 3 12
0． cosA o 2 72 ，
2cosA 2cosA 2 12 ，
0 A ， A 60． （Ⅱ）由余弦定理cosA 2 2 b c a 2bc 222
，得 bc b2 c2 a2． b c232) 2
a (b c) 3bc 9 3bc 9 3( 94 ， a
32 ．
所以a的最小值为 32
，当且仅当b c 时取等号．
7解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C) ∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，又∵0Aπ,∴sinA≠0.∴cosB=∵0Bπ，∴B= 3 12 . 2 3
（II）m n=4ksinA+cos2A =－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，） 设sinA=t，则t∈(0,1].则m n=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈(0,1] ∵k1，∴t=1时，m n取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k= 2 8解：(Ⅰ
) f(x) xcosx 2cosx 2m 1 2分 32 .
2x cos2x 2m 2sin(2x 6 ) 2m.
2022年届高三文科数学第二轮专题复习-------三角函数(含答案) f(x)的最小正周期是 . (Ⅱ) ∵x [0,∴2x 6 [ 2, ]， ]. 6 7 6 ∴当2x 66
∵2m 1 5， ∴m 3. 7 即x 2
时，函数f(x)取得最小值是2m 1. 9. (1)f(0)＝2sin－＝－2sin π 6 π
1. 610π1ππ
(2)∵f3α＋2sinα＋＝2sinα，
__-__πf(3β＋2π)＝2sin×(3β＋2π)－＝ 536 π
2sinβ＋2cosβ，
253 π∴sinα＝，cosβ＝，又α，β∈0，， 135 2∴cosα＝1－sin2α＝sinβ＝1－cos2β＝ 1－ 5 212 ＝， 13 13 341－ 2＝ 5 5
__-__＋＝__-__ πππkπ
10. (1)由2x＋≠kπ，k∈Z，得x＋k∈Z. 4282故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ π
所以f(x)的定义域为 x∈R x≠ 8 ＋k∈Z . 2 kπ
f(x)的最小正周期为. π απ 4
(2)由f ＝2cos2α，得tan α＋ ＝2cos2α，2(cos2α－sin2α)， 2 4 π cosα＋ 4
sinα＋cosα
整理得2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)． cosα－sinα π
因为α∈ 0， ，所以sinα＋cosα≠0，
