初二数学上册课堂笔记(快)

第二章 图形的轴对称

2.1知识点：图形的轴对称

（1）把一个图形沿某条直线折叠后，得到与另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫做轴对称，这条直线叫做对称轴；

（2）一个图形以某条直线为对称轴，进故宫轴对称后，能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫做对应点；

（3）成轴对称的两个图形是全等形，但是全等形不一定成轴对称；

（4）成轴对称的两个图形是全等形，所以他们的对应线段相等，对应角相等；（做题的依据） 易错点：对称轴是一条直线，而不是射线或线段

例题1、如图（1）所示，△ABC与△A`B`C`关于直线l对称，且∠A=78°，∠C=48° 则∠B的度数为（ ）

例题2、如图（3）将一张长方形纸的一角斜折去，使顶点A落在A`处，BC为折痕，如果BD为A`BE的平分

线，那么∠CBD等于（ ）

例题3、如图所示△ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将△ABC沿EF对折，使C点与C`点重合； （1）哪两个三角形关于直线EF成轴对称？ （2）∠C`是多少度？ （3）当∠1=45°时，求∠2的度数

例题4、如图（4）所示，把长方形ABCD沿EF对折，使顶点D落在点D`处，顶点C落在点C`处，若∠AED`=50°,求∠AEF的度数

例题3与例题4利用了哪些知识点 例题5、如图所示，已知△ABC和△A`B`C`关于直线MN对称，并且AB=5、BC=3、则A`C`的取值范围？

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2.2知识点：

（1）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； （2）在直角坐标系中个，点（a,b）关于x轴的对称点是（a,-b），关于y轴的对称点时（-a,b） 关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；（横同纵反） 关于y轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数；（纵同横反） 关于原点对称的点：横、纵坐标均互为相反数（横反纵反） 例题1、已知P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称，求（a+b） 的值

例题2、如图，有则个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格中画与△ABC成周对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包括△ABC）共有多少（ ）

例题3、镜面对称：如图所示：一个算式在镜中所成的像，则这个算式是什么？

2.3知识点

（1）一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形；

（2）轴对称与成轴对称之间的关系 名称 成轴对称 轴对称图形 成轴对称描述的是两个图形的位轴对称图形是一个具有特殊形状区别 置关系 的图形 区别 涉及两个图形 涉及一个图形 区别 只有一条对称轴 不一定只有一条对称轴 图例 例题1、如图（1）所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？说明理由

易错点：轴对称与成轴对称混淆 例题2：如图中的“雪花折线图”，新说它成轴对称，这样说可以吗？

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2.4知识点

（1）垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；

（2）线段是轴对称图形，他的一条对称轴就是线段的垂直平分线； （3）性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 易错点：线段的垂直平分线是一条直线；

线段的垂直平分线与角的平分线不同，线段的垂直平分线是直线，角的平分线是射线。

例题1、如图所示，在△ABC中，AB=a,AC=b,BC边的垂直平分线DE分别交BC,BA与点D,E,则△ABC的周长等于（ ）

例题2、如图所示、在△ABC中，BC=8cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于18cm，边AC的长是（ ）

知识点--到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 例题3、如图所示，AC=AD，BC=BD,则可以得到（ ）

A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分

例题4、三角形ABC内有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（ ）

A、是AB边的中点 B、在边AB的中线上 C、在边AB的高上 D、在边AB的垂直平分线上

知识点--利用尺规作线段的垂直平分线

已知：线段MN，如图所示，求作：线段MN的垂直平分线

例题5、如图所示，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB与D，交BC与E，△ACD的周长是14cm,求AB和AC的长。

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例题6、如图所示，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，交AB与F，AC的中垂线交BC于E，交AC于G，求△ADE的周长。

例题7、如图所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长（ ）

例题8、如图所示，有一个人骑马从C点到D点，但必须先到河岸L1的P1点让马饮水，然后再到河岸L2的P2点再次让马饮水，最后到达D点，他如何确定饮水点P1 ，P2才能使所走的路程CP1+P1P2+P2D最短？

例题9、如图所示，已知∠AOB内有一点P，试在OA, OB上找到点M，N，使△PMN的周长最短，并说明理由；

重点考查了： 例题6、如图所示，某住宅小区要在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭，A、B，C且各凉亭间用长廊连同，如果凉亭A，B的位置已经选定，那么凉亭C建在什么位置，才能使工程造价最低？

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2.5角平分线的性质---知识点

（1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴； （2）角平分线上的点，到角两边的距离相等；

例题1、OP平分∠AOB，PAOA,PBOB,垂足分别为A，B,下列结论不成立的是（ ） A，PA=PB B，PO平分∠APB C，OA=OB D，AP垂直平分OP

例题2，如图，已知点B.D分别在∠A的两边上，C为∠A内一点，且AB=AD,CD=BC,CEAD,于E，CFAB于F，试判断CE与CF是否相等？

知识点2--角平分线判定

(1)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

例题3、如图在△ABC中，D是BC的中点，DEAB,DFAC,垂直分别是E,F，∠B=∠C,试说明AD是△ABC的角平分线？

例题4、如图，在CD上求做一点P，使它到∠AOB的两边OA,OB的距离相等，则P点是？ A、线段CD的中点 . B、OA与OB的中垂线交点 B、C、OA与CD的中垂线的交点 D、CD与∠AOB的平分线的交点

例题5，如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PDBC于D，AB+BC=2BD,试说明∠BAP+∠BCP=180°

例题6，如图，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交与点P，PDAC于D，PHBA于H,说明AP平分∠HAD

例题7、如图，∠AOB的边OA上分别取OM,OD,在边OB上分别取ON,OE,使OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C，试说明点C在∠AOB的平分线上；

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例题8、已知AB=AC，BFAC,CEAB,BF交CE于点D，试说明点D在∠BAC的平分线上？

2.6等腰三角形

性质1：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线；

性质2：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线及顶角的平分线重合，也称等腰三角形的三线合一； 性质3：等腰三角形的两个底角相等，简称为“等边对等角” 例题1、如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=

例题2，画一个等腰三角形ABC，使底边长BC=a(如图所示)底边上的高h(要求用尺规作图，保留作图痕迹)

知识点---有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边” 例题3、如图，AB-AD，∠ABC=∠ADC,试说明BC=DC

例题4、在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，且BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由；

知识点---等边三角形性质判定

性质：等边三角形的各个角都是60°。 判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 例题5、如图，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连接CF，EF，过点F做FDCE于D，试判断∠FCE与∠FEC的数量关系。

例题6、如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,BO,OC的垂直平分线分别交BC于E和F，试说明△OEF是等边三角形；

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例题7、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AE=AC,EF∥BC,试说明∠FEC=∠DEC.

例题8、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B,A,E在同一条直线上，连接BD交AC于M,连接CE交AD于N，连接MN。试说明(1)BD=CE;(2)BM=CN(3)MN∥BE

例题9、如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使得B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F，猜想AC与BD的位置关系；

规律题1，如图，已知△ABC和△BDE是等边三角形，试说明BD+CD=AD 等边三角形三边相等 两个三角形全等线段、角相等---线段、角的运算 三个内角相等 规律题2、如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°，得△ADC，连接OD. 1.试说明△COD是等边三角形 2.当a=150°时，判段△AOD的形状 3,当a为多少时，△AOD是等腰三角形

易错题1、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角∠B度数？

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综合题1、如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上任意一点，过点D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F,CG是AB边上的高；

(1)判断DE,DF,CG之间存在着怎样的等量关系？ (2)若点D在底边的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立存在什么关系，理由为？

综合题2、如图，在△ABC内有一点D，且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°，则∠BDC的大小关系是（ ） A、100° B、80° C,70° D.50°

综合题3、点（4、5）关于直线x=1对称的点的坐标为 综合题4、如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M,N,使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为

综合题5、在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD,过点D,E直线交AC于点F，则有AF=FC，为什么？

综合题6.在△ABC中，AB=AC,ADBC,于点D，将△ADC绕点A,顺时针旋转，使得AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点D，试说明AM=AN

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第三章 分 式

3.1分式的基本性质

A叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母； B （！）B中含有字母，而分子A中可以含有字母，也可以不含有字母； （2）B不能为0，即对于任意分式，分母都不能为0；

（3）判断该代数式是不是分式，关键是看花间前的形式，而不看化简后的结果。 例1、下列式子是分式的是（ ）

xxxxA、 B、 C、y D、

2x12知识点1：我们把代数式

例2、在式子

xy3400xy^31,,,,,中，分式有 个 2a(120%)xy^23知识点2：分式有意义的条件：分母B≠0； 分式无意义的条件：分母B=0

分式的值为零的条件：一是分子A=0，二是分母B≠0，二者缺一不可。 例3：若分式

3x无意义，则（ ） x1A、x≠-1 B、1 C、-1 D、1

x1例4、若分式的值为零，则x的值为

3x12A、0 B、1 C、 D、-1

3AAMAAM知识点3、分式的基本性质：,,(其中M是不等于0的整式)

BBMBBM例5、判断下列分式的变形是否正确(1)yxyab(ab)^2;(2) xx^2aba^2b^2例6、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）

x12x-yx1x10.2ab2ababab2yC、 B、 A、D、1x2yxyxya0.2ba2babab2xy综合应用：

１、已知当ｘ＝－２时，分式

2、已知aa^4a^211的值 5求

a^2a第 9 页 共 9 页

xb无意义，当ｘ＝４时，此分式的值为零，求ａ＋ｂ的值。 xa

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3、已知y=3xy+x,求代数式

4、给出下面一列式子：

x^2x^4x^6x^8 ,,,,（.其中y0）yy^2y^2y^42x3xy2y的值。

x2xyy（1）你发现了什么规律，请写出第N个分式；（2）根据你发现的规律，请写出第7个式子；

综合训练-----已知分式的值为零，求分式中字母的取值

5、不改变分式的值，是下列分式的分子，分母正的字母的系数为正数； 1-3x3 2-2

2x-3x2

6、当x为何值时，分式 7、若

x-13y132^20,求代数式的值。 2x3y42x13y11-x(x1)(x2)的值等于0；

3.2分式的约分 七年级下复习

平方差公式：a^2-b^2= a^4-b^4= 完全平方式：(a+b)^2= (a-b)^2= 变形利用：a^3+b^3= a^3-b^3=

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11112 2 a^2b^2a^2b^2

知识点----将分式中分子和分母中1以外的公因式约去，叫做约分

6a^3ba^2ab例题1：约分1 ; 22ab^2a^22abb^2 33a^2b(m1)2y^28 4

9ab^2(1m)y^24y4例2：约分各式：1（3mn)^218(nm)^3

224a^3b^2c^3d^48a^2b^2cd^4

知识点-----最简分式

例3、下列各式，是最简分式的是？

A、x^2y^2(xy)^2 B、x2abx2 C、-a^2 例4、先化简后求职

（1）m^2nmmnn^2 其中m=-28，n=56

（2）a^24ab4b^21a^24b^2其中a=-2,b=1

例题5、已知112aab2bab2,求aabb的值。

例题6、已知1x1y6,求分式2x3xy-2yx2xyy的值。

规律总结题： 1、

2x2y2x^22y^2

第 11 页 共 11 页 32x^2183x^218x27

D、aba^2ab

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2、约分1 23x^2y

6axy^3m^2nmn^2

m^2mn3、化简分式 1-8ab^2c 12a^2b

2a^24a4

a^24

4-4xx^24、先化简再求值：,其中x-5

x^24

（8x^24x)(20x8)5、使分式的值为自然数的自然数x的值是多少？

2(x1)^3

3.3分式的乘法与除法

bcbc知识点1-----分式乘法*（ac≠0)计算的结果必须是最简分式或是整式。

adadaba1计算1* 2*(a^2a)

ba^2a3x^21*y^2

yx1知识点2----分式的除法计算13xy^2bdbcbc*(acd0)除法是先将除法转化为乘法 acadad6y^2 xa-1a^21 2 a^24a4a^24

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化简1

2（abb^2) 3 4

1x^21x2x^3x^22x（5）计算： *x1x^3x^2xx^31x1a^na(n为正整数，其中知识点3---分式的乘方^nbb^nb0）

x^2x6x3 x3x^26xa^2b^2

ab2a6a^22a1 (a3)*44aa^23aa3a^22aba^22ab()

abb^2ab2ba因式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式，乘方时要注意分子，分母中的每一个因式都要乘方

2a2b2b(1)计算-^3*^2^2 b^2aa

(2)先化简，在求值：

（3）已知x-3y=0,求

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a1a^22a1*,其中a为整数，且-3x^22xyy^2至诚辅导课堂笔记

（x-2)^3(x1)^212x（4）已知x^2-5x-2008=0,求代数式的值。 4x42x^24x

（5）计算

4x^24xyy^2(4x^2y^2)（易错题）

2xyyx（6）已知x4y4x4y50,求

2xxyy442222x^2y^2 xyyy2xy223.4分式的通分----确定最简公分的方法归纳

1、如果分母都是单项式，那么取各分母的最小公倍数，相同字母最高次幂以及左右的单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式；

2、如果各分母都是多项式，就要把他们分解因式，在按照单项式求最简公分母的方法； 从系数----相同因式-----不同因式三个方面来找最简公分母 1、确定下列各式的最简公分母：

134ab2,526bc2ac1,,1; 2211211ab,,2； 2abbaab2、分式

12a12a11-4a14a4a,,2的最简公分母为

知识点2-----分式的通分

1x1； ,22(x1)xx;22a1a ,3,29-3aa32aa5a6hk23,2; 3ab2ab45n5mn,2

2(m4)m16abc,,2; 2xy3y3xx2xyy6

x2x3,2,; 2x2xx284x第 14 页 共 14 页

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xy,; 6ab29a2bc82a1,26; a2a1a1191,21,; 22x4x444xx10n12n,n13n;

xxxx5n1122,2m,2;

4-mm4m4m4m43.1分式的加减法

知识点1----同分母分式的加减法

722a-bab12ab2ab22a12 a11amm2n3m2n33n222222mnmnnm知识点2---异分母分式加减法

2a1a242aa2b2b2222abab 312122cd3cd44a2a21知识点2---分式的混合运算

1x2x14x22xx2xx4x41x22x14x2x1x21xx24x243中x1.x4x22x,其 4已知111,求ab的值；ababba5已知2x3ABCA,B,C为常数，求A,B，C的值。x(x1)(x2)xx1x26已知三个数x,y,z满足xy2,yz4,zx4,则xyz的值xyyz3zx3xyyzzx

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3.6比和比例

知识点1--两个数a与b（b≠0）相除，叫做a与b的比，记作a:b或1、化简下列各比 12x2y:3xy2(2)(x2y2）：(xy)(3)(ab):ab22a,A叫做比的前项，b叫做比的后项 b

(4)(m24mn4n2)（:m24n2)知识点2---比和比例的基本性质

ac1、比例a:b=c:d或（a与b的比等于c与d的比，就说a,b.c.d四个数成比例）

bd 其中a与d叫做比例的外项，b，c叫做比的内项； 2、比例的基本性质

acabcd（1）合比性质：如果那么.

bdbdacmac...ma（2）等比性质：如果....k(bd...n0),那么k

bdnbd...nbac（3）与b2ac都表示b是a，c的比例中项。

bd（4）如果a:b=c:d，那么d叫做a,b,c的第四比例项。

易错点：比例是一个等式，而比是一个数值，它们都具有顺序性。

2x3x181、已知,则x1的值为

2517

2、已知

xxyx3,求和的值 yyxy

知识点---比例线段

1、已知线段a=4、b=16，选段c是a，b的比例中项，那么c= 知识点---连比

1、如果a:b3:2，c:b=4:3，求连比a:b:c=

2a3bc2、已知a:b:c=3:4:5,求=

a综合应用

1、若x是3,5,7的第四比例项，则x的值为 abc2、已知,且abc27，则可求得k的值，从而求得a,b,c的值为

234

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3、已知 4、已知

ac，试说明ab+cd是a2c2和b2d2的比例中项 bd3.7可化为一元一次方程的分式方程 知识点---分式方程的意义

定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程

x34xx4x1、在方程：50,6,30,1,2,中分式方程的有（ ）个

2x2x3x知识点---分式方程的解法

（1）去分母，即在分式方程的两边都乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把根代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根； （4）写出原方程的根。

一去分母-----二解方程----三验根-----四写答案 解方程

abacbck,则k的值是 cbaxyz3x2yz的值 且3x-2y+z≠0,求

357,3x2yz5、已知

(1)x323 1 2x1(x1)(x3)x3x

知识点---在分式方程中变形过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根，增根应该舍去；

2mx31、当m为何值时，关于x的分式方程会产生增根？ 2x2x4x2

k11k52、若关于x的方程2有增根x=-1.求k的值； 22x1xxxx

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知识点----分式方程的应用

例题1：某商店经销一种商品，销售价不变，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%,则原来经销这种商品的利润是多少？

2、某市从今年1月日起调整居民用天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%，小颖家去年12月份的天然气费是96元，今年小颖家将天然气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m2,5月份的天然气费是90元。求该市今年居民用天然气的价格。

3、某公司投资某个工程项目，现在甲乙两个工程队有能力承包这个项目。公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元。根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队？应付工程队费用多少元？

4、我市在筹办“世界华人寻根节”期间，实施了一项治理环境的工程。经调查得知，甲工程队单独完成这项工程的时间是是乙队工程队的2倍，若甲、乙两队合作完成这项工程需要10天时间，则甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？

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