2021中考数学培优数学培优
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝a，AF＝b，试用含a，b的代数式表示线段AD的长； （3）若BE＝5，sinB＝，求DG的长．
G
2、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE． （1）求证：CE＝CB； （2）求证：∠BAE＝2∠ABC； （3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若
＝，求
的值．
3、在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，沿AE将△ABE翻折得△AGE，连接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于点F，连接FG、FD． （1）求证∠AGD＝∠EFG； （2）求证△ADF∽△EGF；
（3）若AB＝3，BE＝1，求⊙O的半径．
4．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，P是DE上一点，∠BPC＝90°，延长CP交AD于点F．⊙O经过P、D、F，交CD于点G． （1）求证DF＝DP；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DG的长； （3）连接BF，若BF是⊙O的切线，直接写出
的值．
参
1、【解答】证明：（1）如图1，连接OD， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，∵∠ODC＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC，即BC为⊙O的切线； （2）解：连接EF，∵AE为⊙O的直径， ∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF＝∠ADF，∵∠BAD＝∠DAF， ∴△ABD∽△ADF，∴∴AD＝
；
，即AD2＝AB•AF＝ab，
（3）设圆的半径为r，则OD＝r，OB＝r+5， 在Rt△BOD中，sinB＝∴AE＝6，AB＝11，
在Rt△AEF中，AF＝AE•sin∠AEF＝AE•sinB＝6×＝， ∴AD＝
＝
＝
．∵AF∥OD，∴
，
＝，即
＝，解得：r＝3，
即 ，∴DG＝AD＝．
2、【解答】证明：（1）∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，∴∠ADB+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O直径， ∴∠AEB＝90°，∴∠AEC+∠BEC＝90°， ∵∠AEC＝∠ABD，∠ADB＝∠DBE， ∴∠BEC＝∠ADB＝∠DBE，∴CE＝CB； （2）连接OC， ∵BC＝CE，∴
＝
，∴OC⊥BE，
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BE， ∴OC∥AE，∴∠EAB＝∠AOC，∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，∵∠AOC＝∠ABC+∠OCB， ∴∠AOC＝2∠ABC，∴∠BAE＝2∠ABC；
（3）∵AE∥OC，∴∠BAE＝∠COF，∵CF⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠CFO＝90°，∴△ABE∽△OCF，∴
，
∴AE＝2OF，BE＝2CF，设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，
∵＝，∴＝，∴，∴x＝，
∴BF＝r+x＝r，AF＝AB﹣BF＝2r﹣∴
＝
＝r，
3、【解答】（1）证明：∵四边形AFGD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADG+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠EFG＝180°，∴∠ADG＝∠EFG，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，
由翻折的性质得：AB＝AG，∴AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∴∠AGD＝∠EFG；
（2）证明：∵∠AGD＝∠AFD，∠AGD＝∠EFG，∴∠AFD＝∠EFG， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB， 由翻折的性质得：∠AEB＝∠GEF，∴∠DAF＝∠GEF， ∴△ADF∽△EGF；
（3）解：设⊙O与CD交于点H，连接AH、GH，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠ABE＝∠ECH＝∠ADH＝90°， ∴AH是⊙O的直径，∴∠AGH＝90°，
由翻折的性质得：BE＝GE＝1，∠AGE＝∠ABE＝90°，∴∠AGE+∠AGH＝180°， ∴E、G、H三点在一条直线上， 在Rt△ADH和Rt△AGH中，∴GH＝DH，设GH＝DH＝x，
，∴Rt△ADH≌Rt△AGH（HL），
则在Rt△ECH中，CH＝3﹣x，EH＝1+x，EC＝3﹣1＝2，
由勾股定理得：CH2+EC2＝EH2，即（3﹣x）2+22＝（1+x）2，解得x＝， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2+DH2＝AH2，即32+（）2＝AH2， 解得AH＝
，∴⊙O的半径为：AH＝×
＝
．
4、【解答】证明：（1）∵∠BPC＝90°，点E是BC中点， ∴BE＝EC＝PE，∴∠EPC＝∠ECP，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DFP＝∠ECP， ∴∠DFP＝∠EPC＝∠DPF，∴DF＝DP； （2）连接FG， ∵∠ADC＝90°， ∴FG是直径，
∵BE＝EC＝PE＝BC＝5， ∴DE＝
＝
＝13，
∴DP＝DE﹣EP＝13﹣5＝8＝DF，
∵∠DGF＝∠DPF＝∠DFP，∠FDG＝∠FDC＝90°， ∴△FDG∽△CDF，∴，
∴
，∴DG＝
；
（3）如图2，连接BF，FG，PG， ∵FG是直径，∴∠FPG＝90°，
∴∠FPG+∠BPF＝180°，∴点B，点P，点G三点共线， ∵BF是⊙O切线，∴∠BFG＝90°，
∴∠AFB+∠DFG＝90°，∵∠DFG+∠DGF＝90°， ∴∠DGF＝∠AFB，又∵∠A＝∠FDG， ∴△AFB∽△DGF，∴，∠DFG＝∠ABF，
∴AF•DF＝AB•DG，
由（2）可得△FDG∽△CDF，
∴，∠DFG＝∠DCF，
∴DF2＝DC•DG，∠ABF＝∠DCF， 又∵AB＝CD，∠A＝∠FDC， ∴△ABF≌△DCF（ASA） ∴AF＝DF＝AD，BF＝CF，
∵∠CBG+∠PCB＝90°，∠PCB+∠PCG＝90°， ∴∠GBC＝∠PCG＝∠DFG， 又∵∠FDC＝∠GCB＝90°， ∴△CBG∽△DFG， ∴
＝，
∴CG＝2DG，
∴（BC）2＝AB•AB， ∴
＝
．
