对数与对数函数-知识点与题型归纳

●明方向

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型．

4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．

一、知识梳理

知识点一 对数及对数的运算性质 1.对数的概念

一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据

2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；

M

②loga＝logaM－logaN；

N

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

n

④logamMn＝logaM.

m

(2)对数的性质

①alogaN＝N；②logaaN＝N (a>0，且a≠1)．

(3)对数的重要公式

logaN

①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；

logab

1②logab＝，推广logab·logbc·lo＝logad.

logba注意：(补充)特殊结论:loga10,logaa1

知识点二 对数函数的图象与性质

1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）

a>1 01

2.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数， 它们的图象关于直线y＝x对称． (补充)

设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)， 1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象

关于直线yx对称．

2) 如果点P(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上， 则必有f－1(y0)＝x0 ，

反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域． 3) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的单调性相同．

二、例题分析： （一）对数式的运算

例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1 (2013·陕西文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )

A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac

解析 由对数的运算性质：loga(bc)＝logab＋logac，

lgblgblga

可判断选项C，D错误；选项A，由对数的换底公式知，logab·logcb＝logca⇒·＝⇒lg2b＝lg2a，此式不

lgalgclgc

lgblgalgb

恒成立，故错误；对选项B，由对数的换底公式知，logab·logca＝·＝＝logcb，故恒成立．

lgalgclgc

答案 B

例1.(2) (补充) 计算下列各式的值

2lg2lg3 (1) 111lg0.36lg823(2) 温故知新P22 第8题 lg5(3) log22lg2lg504log23

111log3log5 25

答案：(1) 1 (2)10 (3)-12

2

注意： 准确熟练记忆对数运算性质 多练 lg2lg51

《名师一号》P28 高频考点 例1

【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．

例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2

(2014·陕西卷)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.

解析 ∵4a＝2，∴a＝log11

42＝2.由lgx＝2

，

1 得x＝102

＝10.

例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)

若x＝log(2x－2－

43，则x)2等于( ) A.94 B.54 C.103 D.43

解析:由x＝log43，得4x＝3，

即2x＝3，2－

x＝33

，

所以(2x－2－x)2＝

2323＝43.

注意：指数与对数的互化

ab＝N⇔b＝logaN (a>0，a≠1，N>0)．

练习:(补充)已知3a5bk,1a1b2求k

答案: k15

例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)

已知函数f(x)＝log2x，x>0，3－x＋1，x≤0，

则f(f(1))＋flog1

32的值 是( )

A．5 B．3 C．－1 D.7

2

3

因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 1因为log1

32<0，所以flog1－log3

2323＝ ＋1 log32

＝3 ＋1＝2＋1＝3. 所以f(f(1))＋f1

log32＝2＋3＝5.

二、对数函数的图象及性质的应用 例1. (补充)

求下列函数的定义域． (1)y＝log0.5(4x－3). (2)y＝log(x＋1)(16－4x)．

解析：(1)由函数定义知：log0.5(4x－3)≥0



4x－3>0

∴4x－3≤1

4x－3>0，

即3

4故原函数的定义域是{x|3

4x＋1>0(2)由函数有意义知

x＋1≠1

16－4x>0

x>－1∴

x≠0

即－1xylogx22axaR

求实数a的取值范围．

解析：设f(x)＝x2－ax－a，则y＝log2f(x)， 依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a2＋4a<0 ∴－44

例2.《名师一号》P27 对点自测5

(2014·重庆卷)函数f(x)＝log2x·log

(2x)的最小值为________． 2

解析 根据对数运算性质，f(x)＝log2x·log

1

(2x)＝log2x·[2log2(2x)]＝log2x(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝

22

log2x＋12－1，当x＝2时，函数取得最小值－1.

2424

注意：

换元后“新元”的取值范围．

练习：

1、求下列函数的值域 （1）y＝log1(－x2＋2x＋4)

5

[答案] [－1，＋∞)

21（2）f(x)＝log22x－3log2x＋22≤x≤2

1

[解析] 令t＝log2x，∵≤x≤2∴－1≤t≤1.

22

∴函数化为y＝t－6t＋2＝(t－3)2－7 ∵－1≤t≤1.

1

∴当t＝－1，即x＝时，ymax＝9.

2

当t＝1，即x＝2时，ymin＝－3， ∴函数的值域为[－3,9].

2、已知集合

yylogx22axaR

求实数a的取值范围．

[分析]当且仅当f(x)＝x2－ax－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2(x2－ax－a)的值域才为R.

而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)

[正解] 要使函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，应使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正数，要使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)

例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4

已知a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x＋2 015)＋2的图象恒过定点________．

5

解析 令x＋2 015＝1，即x＝－2 014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)． 练习:

无论a取何正数(a≠1)，函数ylogax33恒过定点

【答案】4,3

注意：

对数函数ylogaxa0,且a1图象都经过定点(1, 0)

例3. （2） (补充)

如右下图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx， ③y＝logcx，④y＝logdx的图象，则a、b、c、d

与1的大小关系是 ( ) A．a>b>1>c>d B．b>a>1>d>c

C．1>a>b>c>d D．a>b>1>d>c

【答案】B

在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c注意：(补充)

两个单调性相同的对数函数，

它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”. 利用logaa1，图象都经过

a,1点，作直线y1，

则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a。 例3.（3）《名师一号》P28 高频考点 例2(1)

(2014·福建卷)若函数y＝logax(a>0， 且a≠1)的图象如图所示，

则下列函数图象正确的是( )

6

A B C D

答案： B.

例4.《名师一号》P28 高频考点 例3

已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？ 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解析:(1)∵f(1)＝1，

∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1. 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)， 单调递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

a>0，因此应有

3a－1a＝1，

解得a＝1

2

. 故存在实数a＝1

2使f(x)的最小值为0.

练习：温故知新P32 第5题

三、比较大小

例1.《名师一号》P29 特色专题 典例

，则( )

A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b

【规范解答】

方法1：在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．

7

由图象知：log10

23.4>log33

>log43.6.

方法2：∵log1010

33>log33＝1，且3

<3.4，

∴log10

33

∵log10

43.6>1，

∴log3.6433. ∴log10

23.4>log33>log43.6.

由于y＝5x

为增函数，

故a>c>b.

注意：《名师一号》P28 问题探究 问题3

比较幂、对数大小有两种常用方法：

①数形结合；②找中间量结合函数单调性．

练习:

1、若0A．3y<3x B．logx3C．log D. 14x解析：∵0①由y＝3u为增函数知3x<3y，排除A； ②∵log3u在(0,1)内单调递增，

∴log3xlogy3，∴B错． ③由y＝log4u为增函数知log4x④由y＝14u为减函数知14x>14

y，排除D. 答案：C

8

2、对于01

①loga(1＋a)a1

②loga(1＋a)>loga(1＋)；

a

111＋1＋aa1＋a1＋a

③aa . 其中成立的是( )

A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④

答案：D

11

解析：由于0aa

1

1＋a11＋a

∴loga(1＋a)>loga(1＋)，a>a .

a

∴选D.

四、对数方程与不等式 例1.(1)(补充)

方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是___．

[答案] x＝5

[解析] 原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5. 注意：

依据对数函数恒单调求解。

例1.(2) 温故知新P32 第9题

log2xx0 已知函数fxxx的方程 ，且关于3x0fxxa0有且只有一个实根，则实数a的取值

范围是

练习：温故知新P31 第5、6题 温故知新P29 第10题

9

例2.（1） (补充)已知0111

A．0222

分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数y＝logax的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解． 解析：∵01－x>01

∴原不等式化为x>0，解得02

1－x>x

例2.(2)(补充)

设0解析：∵01 ∴a2x－2ax－3>0

∴ax>3或ax<－1(舍) ∴x注意：

关于含对数式(或指数式)的不等式求解， 一般都是用单调性或换元法求解．

例2.（3）《名师一号》P28 高频考点 例2(2)

1当02

22，1 C．(1，2) D．(2，2)

A.0， B.

22

11

0图象的下方．

1 21112

，2，把点，2代入函数y＝logax，得a＝，若函数y又当x＝时，4 ＝2，即函数y＝4x的图象过点2222

2

＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需2

10

当a>1时，不符合题意，舍去．

所以实数a的取值范围是

22，1

.

答案： B.

练习:当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则实数a的取值范围是_____________。

分析：

若将不等号两边分别设成两个函数， 则左边为二次函数，图象是抛物线， 右边为常见的对数函数的图象， 故可以通过观察图象求解。

y y1=(x-1解：设f1(x)(x1)2，fy2=loga2(x)logax， 则f(x)的图象为右图

1 1P 所示的抛物线，要使对一切 0 2 x x(1,2)，f1(x)f2(x)恒成立，a1, 观察图象得：

只需floga212(2)f1(2)即可。故a1，

取值范围是a1a2。

变式: 《名师一号》P28 变式思考2(2)

不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为( )

A．[165， 94] B．[165， 94)C．(1，165] D．(1, 94]

解析:不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解为{2,3,4}，

则应满足loga4>4－12，得16log5≤9

a

5≤5－12

，

a<4.

11

答案:B

五、反函数的概念

－－5

例1. (补充)已知函数f(x)＝2x＋1(x≥0)，记f(x)的反函数为f1(x)，那么f1()＝( )

4

51

A. B．4 C. D．－2 44

分析：

－

利用函数f(x)及其反函数f1(x)的关系求解．

5－5

解析：设f1()＝a，则f(a)＝，

445

∴2a＋1＝，∴a＝－2.

4

注意：

－

如果点(a，b)在反函数y＝f1(x)的图象上， 则点(b，a)在原来函数的图象上；

互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称

例2. (补充)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为( )

解析：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.

练习：如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图象的公共点，那么称这个点为“世博点”．在

1

下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，“世博点”的个数为( )

2

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

12

[答案] B

[解析] ∵指数函数与同底的对数函数的图象关于直线y＝x对称，故若它们有交点，则交点一定在直线y＝x上，而M(1,1)不适合题意，故只有点Q满足题意． 计时双基练P226 培优第1题

六、指数、对数函数的综合问题 第11周周练第13题

设a1,则当yax与ylogax两个函数图像有且只有一个公共点时,lnlna

答案:-1

第11周周练第10题

课后作业

一、 计时双基练P225基础1-9

课本P28 变式思考1、2、3；

二、 计时双基练P226基础10、11；培优1-4

课本P29对应训练1、2

预习 第二章 第五节 幂函数与二次函数

补充

练习1:已知函数y4x32x3的值域 为1,7，则x的范围是（ ）

A.2,4 B.(,0) C.(0,1)2,4 D.,01,2

答案:D

练习2:

已知方程9x－2·3x＋3k－1＝0有两个实数解，试求实数k的取值范围．

[解析] 令t＝3x，则t>0.原方程有两个实数解，即方程t2

－2t＋3k－1＝0有两个正实数解，则 Δ＝(－2)2



＋4(3k－1)≥0t1＋t2＝2>0t1t2＝3k－1>0

，

13

解得13练习3:

对任意的xR,(1)(4m5)x24x33(1)4mxm2x23恒成立，求m的范围. 解：0131 由题意即对任意的xR,(4m5)x24x34mxm2x2恒成立 即对任意的xR,

(m24m5)x2(44m)x30恒成立

m24m50m2m)12(m4m5)0或4m50(4422 44m0 m1或m5或1m19m1或m5m1

1m19

练习4:已知函数y1x1xlg(34xx2)的定义域为M， （1）求M

（2）当xM 时，求f(x)a2x234x (a3)的最小值.

1x解 (1)由题可得1x0且x134xx20

可解得M[1,1)

(2)f(x)a2x234x

2a =3(2x23)423a x[1,1),122x2，,

a3，2a32

①若2a312，即a34时，f(x)3min=f(1)=2a4， ②若12a232，即3a34时， 所以当2x22a43a,即xlog2(3)时，f(x)2min=3a

14

f(x)min练习：

332a(a)44

43a2(3a)431

1、不等式x2－logax<0在x∈(0，)时恒成立，则a的取值范围是( )

21A．016

1

C．a>1 D．016

解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们熟知函数y＝x2与y＝logax的图象与性质，因此可在同一坐

1

标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在同一坐标系中画出y＝x2，x∈(0，)与y＝logax的图象，

2

0由图象易得即≤a<1.故选B. 112

16

loga2≥2，

15