泉州市九年级上学期期中考试
数学试卷
一、选择题（请细心选择，你一定能选准！每小题3分，共21分） 1．（3分）下列运算成立的是（ ） A．C．
B． D．
2．（3分）已知一元二次方程x2+4x﹣3=0，下列配方正确的是（ ） A．（x+2）2=3
B．（x﹣2）2=3 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7
3．（3分）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）
A．相似变换 B．平移变换 C．对称变换 4．（3分）下列说法是不正确的是（ ） A．所有等腰三角形都相似 B．方程x2﹣x﹣1=0有两个实数解
D．旋转变换
C．若a=2cm，b=4cm，c=1.5cm，d=3cm，则a、b、c、d成比例线段 D．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
5．（3分）已知x=﹣1是方程x2+ax﹣2=0的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A．1
B．2 C．3
D．4
6．（3分）已知一斜坡的坡度i=1：A．60° B．45°
，那么该斜坡的坡角α的度数为（ ）
C．30° D．无法确定
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有（ ）对．
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
二、填空题：（成功从这里开始，相信自己的能力，每小题4分，共40分） 8．（4分）计算：9．（4分）函数
= ．
的自变量x的取值范围是 ．
10．（4分）方程3x2﹣x=0的解为 ．
11．（4分）在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2cm，则两地的实际距离是 m．
12．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则它斜边上的中线的长为 ． 13．（4分）已知
，则
= ．
14．（4分）梯形的上底长为6cm，下底长为12cm，则它的中位线长为 cm． 15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=30，∠A=60°，则a= ．
16．（4分）某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为 ．
17．（4分）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为 ，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出+
+
+…+
= ．
三、解答题：（请冷静思考，从容作答，你一定会取得好成绩！共分） 18．（9分）计算： （1）
19．（9分）解方程：
（1）x2﹣4x+3=0 （2）2x2﹣5x+2=0．
20．（9分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F． 求证：△ADE∽△BEF．
（2）|﹣
+（︳+sin45°
）0．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高． （1）证明：△ACD∽△CBD；
（2）若CD=6cm，BD=9cm，求AD的长．
22．（9分）如图，△ABC在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标； （2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；
（3）计算△A′B′C′的面积S．
23．（9分）小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A﹣中国馆、B﹣日本馆、C﹣美国馆中任意选择一处参观，下午从D﹣韩国馆、E﹣英国馆、F﹣德国馆中任意选择一处参观．
（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）；（2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率．
24．（8分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处． （1）求灯塔C到航线AB的距离；
（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：
，
）
25．（8分）某大型商场家用电器专柜的某种电冰箱，每台买进价为2500元，当销售价定为3500元时，平均每天能售出8台；且电冰箱的销售单价每降低100元，平均每天就能多售出2台．
（1）请写出进价、销售价、销售量、利润四者的关系
（2）若销售价定为3200元时，则每天销售这些电冰箱可获利多少元？
（3）如果从经营者的角度考虑，那么为了销售电冰箱，使利润增加12.5%，则每台优惠价应定为多少元较为合适？
26．（9分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，以O点为原点，CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内． （1）请直接写出点C的坐标； （2）若
，求AB与BC的长；
（3）在（2）的条件下，现有一动点P从点B出发，沿路径BA→AD以秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，是否存在某一个t值，使PQ⊥AC，若存在，试求t的值；若不存在，请说明理由．
附加题（每小题5分、共10分） 27．（5分）
= ．
28．= ． （5分）计算：sin60°
参与试题解析
一、选择题（请细心选择，你一定能选准！每小题3分，共21分） 1．（3分）下列运算成立的是（ ） A．
B．
=1，算式A运算不正确；
=
+=
＞=
×
=2×3=6，算式B运算不正确；
C．
D．
【解答】解：A、B、C、D、
，算式C运算不正确； =
，算式D运算正确．
故选：D．
2．（3分）已知一元二次方程x2+4x﹣3=0，下列配方正确的是（ ） A．（x+2）2=3
B．（x﹣2）2=3
C．（x+2）2=7
D．（x﹣2）2=7
【解答】解：方程移项得：x2+4x=3， 配方得：x2+4x+4=7，即（x+2）2=7， 故选：C．
3．（3分）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）
A．相似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换
【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．
4．（3分）下列说法是不正确的是（ ） A．所有等腰三角形都相似
B．方程x2﹣x﹣1=0有两个实数解
C．若a=2cm，b=4cm，c=1.5cm，d=3cm，则a、b、c、d成比例线段 D．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
【解答】解：A、等边三角形与等腰直角三角形不相似，所以A选项的说法不正确； B、△=1﹣4×（﹣1）＞0，则方程x2﹣x﹣1=0有两个实数解，所以B选项的说法正确； C、由a=2cm，b=4cm，c=1.5cm，d=3cm得a：b=c：d，则a、b、c、d成比例线段，所以C选项的说法正确；
D、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以D选项的说法正确． 故选：A．
5．（3分）已知x=﹣1是方程x2+ax﹣2=0的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：设方程另一个根为t， 根据题意得﹣1•t=﹣2， 解得t=2． 故选：B．
6．（3分）已知一斜坡的坡度i=1：
，那么该斜坡的坡角α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．无法确定 【解答】解：∵tanα=1：∴坡角α=30°， 故选：C．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有（ ）对．
=
，
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△FDE∽△FAB，△FAB∽△BCE，△FDE∽△BCE， 故选：D．
二、填空题：（成功从这里开始，相信自己的能力，每小题4分，共40分） 8．（4分）计算：【解答】解：原式=故答案为：
9．（4分）函数
的自变量x的取值范围是 x≥3 ．
．
=
． =
．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0， 解得x≥3． 故答案为：x≥3．
10．（4分）方程3x2﹣x=0的解为 x1=0，x2= ． 【解答】解：3x2﹣x=0， x（3x﹣1）=0， x1=0，x2=，
故答案为：x1=0，x2=．
11．（4分）在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2cm，则两地的实际距离是 1000 m．
【解答】解：设两地的实际距离为xcm， 根据题意得：1：50 000=2：x， 解得：x=100 000， ∵100 000cm=1 000m， ∴两地的实际距离为1000m．
故答案为：1000．
12． （4分）已知一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则它斜边上的中线的长为 5 ．【解答】解：∵直角三角形两条直角边分别是6、8， ∴斜边长为10， ∴斜边上的中线长为5．
13．（4分）已知【解答】解：∵已知∴
=+2=+2=
．
，则
， ．
=
．
故答案是：
14．（4分）梯形的上底长为6cm，下底长为12cm，则它的中位线长为 9 cm． 【解答】解：∵梯形的上底长为6cm，下底长为12cm， ∴它的中位线长为：（6+12）=9（cm）． 故答案为9．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=30，∠A=60°，则a= 15【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，c=30，∠A=60°， ∴∠B=30°， ∴b=c=15， ∴a=故答案为15
16．（4分）某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为 50+50（1+x）+50（1+x）2=175 ．
【解答】解：设2月份、3月份平均增长率为x，那么2，3月份的印刷书籍分别是50（1+x）、
=15．
．
．
50（1+x）2，
根据题意，可得50+50（1+x）+50（1+x）2=175． 故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
17．（4分）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为
，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下
+
+…+
= 1﹣
．
去…．利用这一图形，能直观地计算出+
【解答】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点， 且△ABC的面积为1， ∴△A1B1C的面积为1×．
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积﹣△A1B1C的面积==1﹣； ∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积﹣△A2B2C的面积=﹣…，
∴第n个四边形的面积=故+
+
+…+
=
．
）+…+（
）=1﹣
． =
．
=（1﹣）+（﹣．
故答案为：，1﹣
三、解答题：（请冷静思考，从容作答，你一定会取得好成绩！共分） 18．（9分）计算： （1）（2）|﹣
+（︳+sin45°
）0．
【解答】解：（1）=3= （2）|﹣==
19．（9分）解方程： （1）x2﹣4x+3=0 （2）2x2﹣5x+2=0．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3=0， ∴（x﹣1）（x﹣3）=0， ∴x﹣1=0或x﹣3=0， ∴x=1或x=3，
（2）∵2x2﹣5x+2=0， ∴（x﹣2）（2x﹣1）=0， ∴x﹣2=0或2x﹣1=0， ∴x1=2或x2=，
+
+（︳+sin45°+1 +1．
）0
3﹣×﹣
；
﹣2
20．（9分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F． 求证：△ADE∽△BEF．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90°； 又∵EF⊥DE，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEF， ∴∠ADE=∠BEF，而∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEF．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高． （1）证明：△ACD∽△CBD；
（2）若CD=6cm，BD=9cm，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴△ACD∽△CBD．
（2）∵△ACD∽△CBD，CD=6cm，BD=9cm， ∴∴=
=
， ，
∴AD=4cm．
22．（9分）如图，△ABC在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标； （2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；
（3）计算△A′B′C′的面积S．
【解答】解：（1）画出原点O，x轴、y轴．（1分）B（2，1）（2分）
（2）画出图形△A′B′C′．（5分）
4×8=16．（3）S=×（7分）
23．（9分）小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A﹣中国馆、B﹣日本馆、C﹣美国馆中任意选择一处参观，下午从D﹣韩国馆、E﹣英国馆、F﹣德国馆中任意选择一
处参观．
（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）；（2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率． 【解答】解：（1）树状图或列表：
D
E
F
下午 上午 A B C
（A，D） （A，E） （A，F） （B，D） （B，E） （B，F） （C，D） （C，E） （C，F）
（2）共有9种情况，上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的情况有2种，所以概率是．
24．（8分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处． （1）求灯塔C到航线AB的距离；
（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：
，
）
【解答】解：（1）过C作CD⊥AB于D． ∴∠A=30°，∠BCD=45°，
在Rt△ACD中，AC=80，∠A=30°，
∴CD=40， ∴tan30°=∴AD=
， CD=40
．
∴灯塔C到AB的距离为40海里；
（2）Rt△BCD中，∠BCD=45°， ∴BD=CD=40（海里）． ∴AB=AD+BD=40+40
≈109.2（海里）．
∴海轮所用的时间为：109.2÷20≈5.5（小时）．
答：灯塔C到航线AB的距离为40海里；海轮从A处到B处所用的时间约为5.5小时．
25．（8分）某大型商场家用电器专柜的某种电冰箱，每台买进价为2500元，当销售价定为3500元时，平均每天能售出8台；且电冰箱的销售单价每降低100元，平均每天就能多售出2台．
（1）请写出进价、销售价、销售量、利润四者的关系
（2）若销售价定为3200元时，则每天销售这些电冰箱可获利多少元？
（3）如果从经营者的角度考虑，那么为了销售电冰箱，使利润增加12.5%，则每台优惠价应定为多少元较为合适？
【解答】解：（1）利润=销售量×（销售价﹣进价）．
（2）销售价定为3200元时，则每天销售这些电冰箱可获利=（8+6）×（3200﹣2500）=9800元．
（3）设定价为x元，每一台的利润为（x﹣2500）元，依题意列方程得 （x﹣2500）[8+
8×（3500﹣x）]=（3500﹣2500）×（1+12.5%），
整理得x2﹣00x+10200000=0， 解得x1=3000，x2=3400． 因为是要多售电视机， 所以定价为3000元． 答：定价为3000元时．
26．（9分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，以O点为原点，CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内． （1）请直接写出点C的坐标； （2）若
，求AB与BC的长；
（3）在（2）的条件下，现有一动点P从点B出发，沿路径BA→AD以秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，是否存在某一个t值，使PQ⊥AC，若存在，试求t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（5，0）， ∴OA=5，
∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=5，
∴C（﹣5，0），
（2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=2OA=10， ∴tan∠BCA=
=，
设AB=3a，BC=4a，（a＞0）根据勾股定理得，AB2+BC2=AC2， 即：9a2+16a2=100， ∴a=﹣2（舍）或a=2， ∴AB=6，BC=8，
（3）存在，理由： 由（2）知，AB=6，BC=8， 在Rt△ABC中，sin∠ACB=
=，cos∠ACB=
=，
当点P在边BA上时（0＜t≤6），如图1， ∵∠BCA+∠BAC=90°， ∵PQ⊥AC，
∴∠APQ+∠BAC=90°， ∴∠APQ=∠ACB，
由运动知，BP=t，AQ=0.4t， ∴AP=AB﹣BP=6﹣t， 在Rt△APQ中，sin∠APQ=∴t=3.6，
当点P在AD上时（6＜t≤14），如图2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PAQ=∠BCA，
由运动知，AP=t﹣6，AQ=0.4t，
=
=sin∠ACB=，
在Rt△APQ中，cos∠PAQ=∴t=12，
=cos∠BCA=，
即：存在时间t为3.6秒或12秒时，PQ⊥AC．
附加题（每小题5分、共10分） 27．（5分）【解答】解：
28．= （5分）计算：sin60°=【解答】解：sin60°故答案为：
．
．
．
= 2 =
． =
×
=2
．
