(完整版)上海教材高中数学知识点总结(最全),推荐文档

一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量

九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程

十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计

一、集合与常用逻辑

1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U：如U=R 交集：AB{xxA且xB} 并集：AB{xxA或xB}

补集：CUA{xxU且xA} 3．集合关系 空集A

子集AB:任意xAxB

ABAABABBAB

注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题

原命题：若p则q 逆命题：若q则p 否命题：若p则q 逆否命题：若q则p原命题逆否命题 否命题逆命题

5．充分必要条件

p是q的充分条件：Pq p是q的必要条件：Pq p是q的充要条件：p⇔q 6．复合命题的真值

①q真（假）⇔“q”假（真） ②p、q同真⇔“p∧q”真 ③p、q都假⇔“p∨q”假 7.全称命题、存在性命题的否定

M, p(x）否定为: M, p(X) M, p(x）否定为: M, p(X)

二、不等式

1．一元二次不等式解法

若a0，ax2bxc0有两实根,()，则

ax2bxc0解集(,)

ax2bxc0解集(,)(,)

注：若a0，转化为a0情况 2．其它不等式解法—转化

xaaxax2a2

xaxa或xax2a2

f(x)g(x)0f(x)g(x)0 af(x)ag(x)f(x)g(x)（a1）

log(x)logf(x)0afag(x))g(x)（0a1）f(x3．基本不等式 ①a2b22ab ②若a,bR，则

ab2ab 注：用均值不等式ab2ab、ab(ab22)

求最值条件是“一正二定三相等”

三、函数概念与性质

1．奇偶性

f(x)偶函数f(x)f(x)f(x)图象关于y轴对称 f(x)奇函数f(x)f(x)f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称

②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0

③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性

f(x)增函数：x1＜x2f(x1)＜f(x2)

或x1＞x2f(x1) ＞f(x2) 或

f(x1)f(x2)x0

1x2f(x)减函数：？

注：①判断单调性必须考虑定义域

②f(x)单调性判断

定义法、图象法、性质法“增+增=增”

③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性

T是f(x)周期f(xT)f(x)恒成立（常数T0）

4．二次函数

解析式： f(x)=ax2

+bx+c，f(x)=a(x-h)2

+k

f(x)=a(x-x1)(x-x2)

对称轴：xbb4acb22a 顶点：(2a,4a) 单调性：a>0，(,bb2a]递减，[2a,)递增 当xb2a，f(x)4acb2min4a

奇偶性：f(x)=ax2

+bx+c是偶函数b=0

闭区间上最值：

配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系

注：一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0

四、基本初等函数

n．指数式 a01(a0) an1mmnan aa 2．对数式 logbaNbaN（a>0,a≠1）

logaMNlogaMlogaN logMaNlogaMlogaN logaMnnlogaM

logblogmblgbalogalga

m

logabloganbn1loga b注：性质log0 loglogaNa1aa1 aN

常用对数lgNlog10N，lg2lg51 自然对数lnNlogeN，lne1 3．指数与对数函数 y=ax

与y=logax

定义域、值域、过定点、单调性？

注：y=ax

与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）

14．幂函数 yx2,yx3,yx2,yx1

yx在第一象限图象如下：

1 01 0

1五、函数图像与方程

1．描点法

函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换

平移：“左加右减，上正下负”

yf(x)yf(xh)

伸缩：yf(x)每一点的横坐标变为原来的倍yf(1x)

对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”

yf(x)x轴yf(x)yf(x)y轴yf(x)

yf(x)原点yf(x)注：yf(x)直线xayf(2ax)

翻折：yf(x)y|f(x)|保留x轴上方部分，

并将下方部分沿x轴翻折到上方

yy=f(x)yy=|f(x)|aobcxaobcx yf(x)yf(|x|)保留y轴右边部分， 并将右边部分沿y轴翻折到左边

yy=f(x)yy=f(|x|)aobcxao bcx

3．零点定理

若f(a)f(b)0，则yf(x)在(a,b)内有零点 （条件：f(x)在[a,b]上图象连续不间断）

注：①

f(x)零点：f(x)0的实根

②在[a,b]上连续的单调函数f(x)，f(a)f(b)0 则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点

③二分法判断函数零点---f(a)f(b)0？

六、三角函数

1．概念 第二象限角(2k2,2k)(kZ)

2．弧长 lr 扇形面积S12lr

3．定义 sinyr cosxyr tanx 其中P(x,y)是终边上一点，POr

4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”

如Sin(2)sin，cos(/2)sin 6．特殊角的三角函数值

 0 36 4 3 2 2 sin 0 1232 2 2 1 0 1 cos 1 3212 2 12 0 0 tg 0 33 1 3 / 0 / 7．基本公式

同角sin2cos21

sincostan 和差sinsincoscossin

coscoscossinsin tantantan1tantan

倍角 sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2tan22tan1tan2

降幂cos2

α=

1cos21cos2 sin2

α=22 叠加 sincos2sin(4)

3sincos2sin(6)

asinbcosa2b2sin() (tanab)

8．三角函数的图象性质 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 单调性： (,)增 (0,)减 (222,2)增

sinx cosx tanx 值域 [-1，1] [-1，1] 无 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 周期 2π 2π π 对称轴 xk/2 xk 无 中心 k,0 /2k,0 k/2,0 注：kZ

9．解三角形

基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC sinABC2cos2 正弦定理：abcsinA=sinB=sinC

a2RsinA a:b:csinA:sinB:sinC余弦定理：a2

=b2

+c2

－2bccosA（求边） 222 cosA=

bca2bc（求角）

面积公式：S＝1△2absinC

注：ABC中，A+B+C=？ ABsinAsinB

a2＞b2+c2 ⇔ ∠A＞2

七、数 列

1、等差数列

定义：an1and 通项：ana1(n1)d 求和：Sn(a1an)n2 na112n(n1)d 中项：bac2（a,b,c成等差） 性质：若mnpq，则amanapaq

2、等比数列 定义：

an1aq(q0)n

通项：aan1n1q

求和：Sna1(q1)nna1(1q)

1q(q1)中项：b2ac（a,b,c成等比）

性质：若mnpq 则amanapaq 3、数列通项与前n项和的关系

as1a1(n1)nsnsn1(n2)

4、数列求和常用方法

公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

八、平面向量

1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则

ABBCAC首尾相接，OBOC=CB共始点中点公式：ABAC2ADD是BC中点 2． 向量数量积 ab=

abcos=x1x2y1y2

注：①a,b夹角：00

≤θ≤1800

②a,b同向： abab

3．基本定理 a1e12e2（e1,e2不共线--基底） 平行：a//babx1y2x2y1（b0） 垂直：abab0x1x2y1y20 模：a＝

x2y22 ab(ab)2夹角：cosab|a||b| 注：①0∥a ②abcabc（结合律）不成立

③abacbc（消去律）不成立

九、复数与推理证明

1．复数概念

复数：zabi(a,bR)，实部a、虚部b 分类：实数（b0），虚数（b0），复数集C

注：z是纯虚数a0，b0

相等：实、虚部分别相等 共轭：zabi

模：za2b2 zzz2

复平面：复数z对应的点(a,b) 2．复数运算

加减：（a+bi）±(c+di)=？ 乘法：（a+bi）（c+di）=？ 除法：

abicdi=(abi)(cdi)(cdi)(cdi)==… 乘方：i21，ini4krir 3．合情推理

类比：特殊推出特殊

归纳：特殊推出一般

演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明

综合法：由因导果

比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论 分析法：执果索因

分析法书写格式：

要证A为真，只要证B为真，即证……， 这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程

5．数学归纳法：

(1)验证当n=1时命题成立,

(2)假设当n=k(kN* ，k1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立

由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立

注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用

十、直线与圆

1、倾斜角 范围0, 斜率 ktany2y1x

2x1注：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角

倾斜角为90时，斜率不存在 2、直线方程

点斜式yy0k(xx0)，斜截式ykxb 两点式

yy1yxx1， 截距式xy1

2y1x2x1ab 一般式AxByC0

注意适用范围：①不含直线xx0 ②不含垂直x轴的直线

③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系（注意条件） 平行k1k2 且b1b2

垂直k1k21 垂直A1A2B1B20 4、距离公式

两点间距离：|AB|=(x1x222)(y1y2) 点到直线距离：dAx0By0C

A2B25、圆标准方程：(xa)2(yb)2r2 圆心(a,b)，半径r圆一般方程：x2y2DxEyF0（条件是？）

圆心D,E 半径D2E24F22r2

6、直线与圆位置关系

位置关系 相切 相交 相离 几何特征 dr dr dr 代数特征 △0 △0 △0 注：点与圆位置关系 (xa)2(y2r200b)点Px0,y0在圆外

7、直线截圆所得弦长

AB2r2d2

十一、圆锥曲线

一、定义

椭圆： |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 双曲线：|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）

x2y2椭圆a2b21( a>b>0)

x2y2双曲线a2b21(a>0,b>0)

中心原点 对称轴？ 焦点F1(c,0)、F2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-axa,-byb

双曲线|x|  a，yR 焦距：椭圆2c（c=a2b2）

双曲线2c（c=a2b2） 2a、2b:椭圆长轴、短轴长，

双曲线实轴、虚轴长

离心率：e=c/a 椭圆01

注：双曲线x2y2ba2b21渐近线yax

方程mx2ny21表示椭圆m0,n0.mn方程mx2ny21表示双曲线mn0 抛物线y2

=2px(p>0)

顶点（原点） 对称轴（x轴） 开口（向右） 范围x0 离心率e=1

焦点F(pp2,0)准线x

2 十二、矩阵、行列式、算法初步

十、算法初步

一．程序框图 程序框 名称 功能 起止框 起始和结束 输入和输出的信息 输入、输出框 赋值、计算 处理框 判断框 判断某一条件是否成立 循环框 重复操作以及运算

二．基本算法语句及格式

1输入语句：INPUT “提示内容”；变量 2输出语句：PRINT“提示内容”；表达式 3赋值语句：变量=表达式 4条件语句

“IF—THEN—ELSE”语句 “IF—THEN”语句

IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句 ELSE END IF 语句2 END IF 5循环语句

当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”

三．算法案例

1、求两个数的最大公约数 辗转相除法：到达余数为0 更相减损术：到达减数和差相等 2、多项式

f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值

秦九韶算法： v1=anx+an－1 v2=v1x+an－2

v3=v2x+an－3 vn=vn－1x+a0

注：递推公式v0=an vk=vk－1X+an－k(k=1,2,…n)

求f(x)值，乘法、加法均最多n次 3、进位制间的转换

k进制数转换为十进制数：

aanan1nan1.....1a0(k)ankn1k.........a1ka0十进制数转换成k进制数：“除k取余法”

例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3

例2已知f(x)=2x5

－5x4

－4x3

+3x2

－6x+7，秦九韶算法求f(5)

123＝2×48＋27 v0=2 48＝1×27＋21 v1=2×5－5=5 27＝1×21＋6 v2=5×5－4=21 21＝3×6＋3 v3=21×5+3=108

6＝2×3+0 v4=108×5－6=534

v5=534×5+7=2677

十三、立体几何

1．三视图 正视图、侧视图、俯视图

2．直观图：斜二测画法X'OY''=450

平行X轴的线段，保平行和长度

平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半 3．体积与侧面积

V柱=S底h V143

锥 =

3S底h V球=3πR Sr)l S2圆锥侧=rl S圆台侧=(R球表=4R 4．公理与推论 确定一个平面的条件：

①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点

③两相交直线 ④两平行直线

公理：平行于同一条直线的两条直线平行

定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 5．两直线位置关系 相交、平行、异面 异面直线——不同在任何一个平面内 6．直线和平面位置关系

a aIA a//

7．平行的判定与性质

线面平行：

a∥b，b,aa∥ a∥，a,ba∥b

a面面平行：

AB∥，

AC∥平面ABC∥

b

∥，aa∥

8．垂直的判定与性质

线面垂直：

pAB,pACp面ABC

面面垂直：a,a

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；

若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交

线的直线与另一个平面垂直 P三垂线定理：

OPO,AOaPAa APO,PAaAOa

a在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它

也和这条斜线垂直逆定理？ 9．空间角、距离的计算

异面直线所成的角 范围（0°，90°]

平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理 直线和平面所成的角 范围[0°，90°] 定义法：找直线在平面影，转为解三角形 二面角 范围[0°，180°] 定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形 点到平面的距离

体积法--用三棱锥体积公式

注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出

10．立体几何中的向量解法

法向量求法：设平面ABC的法向量rn=（x,y）

nAB,nAC nAB0,nAC0A 解方程组，得一个法向量rn

 C B 线线角：设unruur1,n2是异面直线l1,l2的方向向量，

l1,l2所成的角为，则coscosn1,n2

即lruur1,l2所成的角等于n1,n2或n1,n2

线面角：

设rn是平面的法向量，AB是平面的 一条斜线，AB与平面所成的角为，

则sincosn,ABABnABn

二面角：设unruur1,n2是面,的法向量，二面角l 的大小为，则

coscosn1,n2或cosn1,n2 即二面角大小等于nruur1,n2或n1,n2

点到面距离：

若rn是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，且B，

uuurr则点A到平面的距离dABr•nn

十四、计数原理

1. 计数原理 加法分类，乘法分步 2．排列组合 差异---排列有序．．而组合无序．．

公式Amn=n(n1)(nm1)=n！(nm)！

Cmn(n1)(nm1)n！n=12m=m！(nm)！

关系：Amnm！Cmn

性质：Cmn=Cnm0n CnC1nC2nCnn2n

3．排列组合应用题

原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般 解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”

复杂问题“排除法”

4．二项式定理

(ab)nC0n1n1naCnabC2nan2b2CrnrnnabrCnbn特例(1x)n1C1rrnnxLCnxLx

通项Trnrrr1Cnab(r0，1，2，n) 注Crn---第r1项二项式系数

性质：所有二项式系数和为2n

中间项二项式系数最大 赋值法：取x0,1,1等代入二项式

十五、概率与统计

mA包含的基本事件个数1．古典概型：P(A)（）

总的基本事件个数n求基本事件个数：列举法、图表法 2．几何概型：PA小长方形面积=组距×

频率=频率 组距各小长方形面积之和为1

众数—最高矩形中点的横坐标

中位数—垂直于x轴且平分直方图面积的直线与x轴交点的横坐标

A的区域长度（面积或体积）

区域总长度（面积或体积）注：试验出现的结果无限个 3．加法公式：若事件A和B互斥，则

PABPAPB

PA1PA

互斥事件:不可能同时发生的事件

对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件 4．常用抽样（不放回）

简单随机抽样：逐个抽取（个数少） 系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）

分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显） 5．用样本估计总体 众数：出现次数最多的数据

中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）

1n平均数：xxini1 1n2方差S(xix)标准差s

ni16．频率分布直方图