中考数学真题分项汇编(江苏专用)几何初步与基本作图

专题07几何初步与基本作图

一、单选题 1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ）

A．【答案】D

B． C． D．

【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答． 【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误； B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误； C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；

D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确； 故选：D．

【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共同边的两个面即为相对的面．

2．（2022·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐷𝐸𝐹的关系是（ ）

A．互余 【答案】A

【分析】利用平行线的性质可得出答案．

【详解】解：如图，过点𝐺作𝐺𝐻平行于𝐵𝐶，则𝐺𝐻∥𝐷𝐸，

B．互补

C．同位角

D．同旁内角

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∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐺𝐻，∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐹𝐺𝐻， ∵∠𝐴𝐺𝐻+∠𝐹𝐺𝐻=90°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐸𝐹=90°， 故选A．

【点睛】本题考查了平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．

3．（2022·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．强 【答案】D

【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，即可求解． 【详解】解：根据题意得： “盐”字所在面相对的面上的汉字是“高”， 故选D

【点睛】本题主要考查了正方体的平面展开图的特征，熟练掌握正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．

4．（2022·江苏常州·中考真题）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）

B．富

C．美

D．高

A． B．

C．【答案】D

D．

【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．

【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上， 得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形； 又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．

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故选：D．

【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大． 5．（2022·江苏泰州·中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( )

A．三棱锥 【答案】B

【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥． 【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：B．

【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键． 6．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，∠𝐴𝑂𝐶=75°，∠1=25°，则∠2的度数是（ ）

B．四棱锥

C．四棱柱

D．圆锥

A．25° 【答案】D

【分析】根据对顶角相等可得∠𝐵𝑂𝐷=75°，之后根据∠1=25°，即可求出∠2． 【详解】解：由题可知∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐶=75°， ∵∠1=25°，

∴∠2=∠𝐵𝑂𝐷−∠1=75°−25°=50°． 故选：D．

【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键． 7．（2022·江苏宿迁·中考真题）下列展开图中，是正方体展开图的是（ ）

B．30°

C．40°

D．50°

A． B．

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C．【答案】C

D．

【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．

【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体， 故选：C．

【点睛】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点．

8．（2022·江苏南通·中考真题）如图，𝑎∥𝑏,∠3=80°,∠1−∠2=20°，则∠1的度数是（ ）

A．30° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质可得∠1＋∠2＝80°，结合∠1−∠2=20°，两式相加即可求出∠1． 【详解】解：如图，∠𝑎//𝑏， ∠∠4＝∠1， ∠∠3＝∠4＋∠2＝∠1＋∠2＝80°， ∠∠1−∠2=20°， ∠2∠1=100°， ∠∠1=50°， 故选：C． B．40°

C．50°

D．80°

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，求出∠1＋∠2＝80°是解题的关键． 9．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）

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A．垂线段最短 B．两点确定一条直线

C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A

【分析】根据垂线段最短解答即可．

【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A．

【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．

10．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，AB∠ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ）

A．70° 【答案】D

【分析】利用平行线的性质，对顶角的性质计算即可． 【详解】解：∠AB∠ED， ∠∠3+∠2=180°， ∠∠3=∠1，∠1=70°，

∠∠2=180°-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°， 故选：D．

B．80°

C．100°

D．110°

．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，解题的关键熟练掌握平行线的性质，找到互补的两个角．

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11．（2022·江苏无锡·中考真题）下列命题中，是真命题的有（ ）

∠对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ∠对角线互相垂直的四边形是菱形 ∠四边相等的四边形是正方形 ∠四边相等的四边形是菱形 A．∠∠ 【答案】B

【分析】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案． 【详解】解：∠对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； ∠对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误； ∠四边相等的四边形是菱形，故原命题错误； ∠四边相等的四边形是菱形，正确． 故选：B．

【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键． 二、填空题

12．（2022·江苏连云港·中考真题）已知∠A的补角是60°，则∠𝐴=_________°． 【答案】120 【分析】如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．由此定义即可求解． 【详解】解：∠∠A的补角是60°， ∠∠A=180°-60°=120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键． 13．（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，∠𝐴=45°，∠𝐸=30°，𝐷𝐸∥𝐴𝐶，则∠1=_________°．

B．∠∠

C．∠∠

D．∠∠

【答案】105

【分析】根据平行性的性质可得∠2=45°，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∠𝐷𝐸∥𝐴𝐶， ∠∠2=∠𝐴=45°，

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∵∠𝐸=30°，∠𝐹=90°， ∴∠𝐷=60°，

∴∠1=∠2+∠𝐷=45°+60°=105°， 故答案为：105．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．

14．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐴⊥𝐴𝐵，若∠𝐵=50°，则∠𝐶𝐴𝐷的度数是______．

【答案】40°##40度

【分析】根据平行四边形对边平行可得𝐴𝐷∥𝐵𝐶，利用平行线的性质可得∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，因此利用直角三角形两个锐角互余求出∠𝐴𝐶𝐵即可． 【详解】解：∠四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∠𝐴𝐷∥𝐵𝐶， ∠∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐵， ∠𝐶𝐴⊥𝐴𝐵， ∠∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∠∠𝐵=50°， ∠∠𝐴𝐶𝐵=90°−∠𝐵=40°， ∠∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够综合运用上述知识． 15．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠𝐸=60°，∠𝐶=45°，𝐸𝐹∥𝐵𝐶，则∠𝐵𝑁𝐷=________°．

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【答案】105

【分析】根据平行线的性质可得∠𝐹𝐴𝑁=∠𝐵=45°，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．

【详解】∵∠𝐵=∠𝐶=45°，𝐸𝐹∥𝐵𝐶， ∴ ∠𝐹𝐴𝑁=∠𝐵=45°， ∠∠E=60°， ∠∠F=30°，

∴∠𝐵𝑁𝐷=∠𝐴𝑁𝐹=180°−∠𝐹−∠𝐵𝐴𝐹=105°

故答案为：105

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 16．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果𝑎>𝑏，那么𝑏−𝑎<0”的逆命题：________． 【答案】如果𝑏−𝑎<0，那么𝑎>𝑏 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“如果𝑎>𝑏，那么𝑏−𝑎<0”的逆命题是“如果𝑏−𝑎<0，那么𝑎>𝑏”， 故答案为：如果𝑏−𝑎<0，那么𝑎>𝑏． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 17．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=150°．利用尺规在𝐵𝐶、𝐵𝐴上分别截取𝐵𝐸、𝐵𝐹，使𝐵𝐸=𝐵𝐹；分别以𝐸、𝐹为圆心，大于2𝐸𝐹的长为半径作弧，两弧在∠𝐶𝐵𝐴内交于点𝐺；作射线𝐵𝐺交𝐷𝐶于点𝐻．若𝐴𝐷=√3+1，则𝐵𝐻的长为_________．

1

【答案】√2

【分析】如图所示，过点H作HM∠BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到𝐶𝐻=𝐵𝐶=√3+1，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．

【详解】解：如图所示，过点H作HM∠BC于M，

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由作图方法可知，BH平分∠ABC， ∠∠ABH=∠CBH， ∠四边形ABCD是平行四边形， ∠𝐵𝐶=𝐴𝐷=√3+1，𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∠∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°， ∠∠CBH=∠CHB， ∠𝐶𝐻=𝐵𝐶=√3+1， ∠𝐻𝑀=2𝐶𝐻=1√3+1， 23+√32∠𝐶𝑀=√𝐶𝐻2−𝐶𝑀2=∠𝐵𝑀=𝐵𝐶−𝐶𝑀=， √3−1， 2∠𝐵𝐻=√𝐻𝑀2+𝐵𝑀2=√2， 故答案为：√2． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键． 18．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=4，分别以A，C为圆心，大于2𝐴𝐶的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．

1

【答案】10

【分析】根据作图可得𝑀𝑁⊥𝐴𝐶，且平分𝐴𝐶，设𝐴𝐶与𝑀𝑁的交点为𝑂，证明四边形𝐴𝐸𝐶𝐹为菱形，根据平行线分线段成比例可得𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶的中线，然后勾股定理求得𝐵𝐶，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得𝐴𝐸的长，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设𝐴𝐶与𝑀𝑁的交点为𝑂，

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根据作图可得𝑀𝑁⊥𝐴𝐶，且平分𝐴𝐶， ∴𝐴𝑂=𝑂𝐶，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶， ∴∠𝐹𝐴𝑂=∠𝑂𝐶𝐸，

又∵∠𝐴𝑂𝐹=∠𝐶𝑂𝐸，𝐴𝑂=𝐶𝑂 ， ∴△𝐴𝑂𝐹≌△𝐶𝑂𝐸， ∴𝐴𝐹=𝐸𝐶， ∵𝐴𝐹∥𝐶𝐸，

∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形， ∵𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐶， ∴𝐸𝐴=𝐸𝐶，

∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是菱形， ∵ 𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝑀𝑁⊥𝐴𝐶， ∴𝐸𝐹∥𝐴𝐵， ∴

𝐸𝐶𝐵𝐸

=

𝑂𝐶𝐴𝑂

=1，

∴𝐸为𝐵𝐶的中点，

Rt△𝐴𝐵𝐶中， 𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=4， ∴𝐵𝐶=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=5， 𝐴𝐸=2𝐵𝐶=2，

∴四边形AECF的周长为4𝐴𝐸=10． 故答案为：10．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 三、解答题

19．（2022·江苏南通·中考真题）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，𝐴𝐸∥𝐵𝐹． 小明的作法： （1）以A为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，交𝐴𝐸于1

5

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求作：菱形𝐴𝐵𝐶𝐷，使点C，D分别在𝐵𝐹,𝐴𝐸上． 点D； （2）以B为圆心，𝐴𝐵长为半经画弧，交𝐵𝐹于点C； （3）连接𝐶𝐷． 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷就是所求作的菱形， 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形． 【答案】见解析 【分析】由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据𝐴𝐸∥𝐵𝐹可得四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB可得结论． 【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC， ∠𝐴𝐸∥𝐵𝐹，即𝐴𝐷∥𝐵𝐶， ∠四边形ABCD是平行四边形， 又∠AD＝AB， ∠平行四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 20．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，∠ABC为锐角三角形．

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且𝐶𝐷⊥𝐴𝐷；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）的条件下，若∠𝐵=60∘，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=3，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2） 【答案】(1)见解析

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(2) 5√3 2【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，即可找出点D； （2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可． （1） 解：如图， ∠点D为所求点． （2） 解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E， ∠∠𝐵=60°，∠𝐴𝐸𝐵=90°， ∠∠𝐵𝐴𝐸=90°−60°=30°， ∠𝐴𝐵=2， ∠𝐵𝐸=2𝐴𝐵=1，𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=2， ∠𝐴𝐸=√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2=√22−12=√3， ∠∠DAC＝∠ACB， ∠𝐴𝐷∥𝐵𝐶，四边形ABCD是梯形， ∠∠𝐷=∠𝐸𝐶𝐷=90°， ∠四边形AECD是矩形， 1 12 / 19

∠𝐶𝐸=𝐴𝐷=2， ∠四边形ABCD的面积为2(𝐴𝐷+𝐵𝐶)⋅𝐴𝐸=2×(2+3)×√3=故答案为：5√3． 2115√3， 2【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键． 21．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

【初步尝试】如图1，已知扇形𝑂𝐴𝐵，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心𝑂作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；

【问题联想】如图2，已知线段𝑀𝑁，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以𝑀𝑁为斜边的等腰直角三角形𝑀𝑁𝑃；

【问题再解】如图3，已知扇形𝑂𝐴𝐵，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点𝑂为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．

（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；

【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；

【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形𝑂𝐴𝐵所交的圆弧即为所求．

【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；

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【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形𝑂𝐴𝐵所交的圆弧CD即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法． 14 / 19

22．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点𝑂是圆心，直径𝐴𝐵的长是12cm，𝐶是半圆弧上的一点（点𝐶与点𝐴、𝐵不重合），连接𝐴𝐶、𝐵𝐶．

(1)沿𝐴𝐶、𝐵𝐶剪下△𝐴𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点𝐸、𝐹和直径𝐴𝐵上的点𝐺、𝐻．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点𝐶，一定存在线段𝐴𝐶上的点𝑀、线段𝐵𝐶上的点𝑁和直径𝐴𝐵上的点𝑃、𝑄，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由． 【答案】(1)直角 (2)见详解

(3)小明的猜想正确，理由见详解

【分析】（1）AB是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；

（2）以A为圆心，AO为半径画弧交∠O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于∠O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可；

（3）当点C靠近点A时，设𝐶𝑀=3𝐶𝐴，𝐶𝑁=3𝐶𝐵，可证𝑀𝑁∥𝐴𝐵,推出𝑀𝑁=3𝐴𝐵=4cm，分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，可得𝑀𝑁=𝑀𝑃=𝑁𝑄=4cm，进而可证四边形MNQP是菱形；当点C靠近点B时，同理可证． 【详解】（1）解：如图，

1

1

1

∠AB是∠O的直径， ∠∠ACB=90°， ∠∠ACB是直角， 即∠ABC是直角三角形， 故答案为：直角；

（2）解：以A为圆心，AO为半径画弧交∠O于点E，再以E为圆心，EO为半径画弧交于∠O点F连接EF、FO、EA，G、H点分别与A、O点重合，即可，

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作图如下： 由作图可知AE=EF=FH=HG=OA=2AB=6， 即四边形EFHG是边长为6cm的菱形； （3）解：小明的猜想正确，理由如下： 如图，当点C靠近点A时，设𝐶𝑀=𝐶𝐴，𝐶𝑁=𝐶𝐵， 33111 ∠ 𝐶𝑀𝐶𝐴=𝐶𝐵=3, =𝐶𝑀𝐶𝐴13𝐶𝑁1∠ 𝑀𝑁∥𝐴𝐵, ∠ 𝑀𝑁𝐴𝐵=3, 131∠ 𝑀𝑁=𝐴𝐵=×12=4cm． 分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，作𝑀𝐷⊥𝐴𝐵于点D，𝑁𝐸⊥𝐴𝐵于点E， ∠ 𝑀𝑁=𝑀𝑃=𝑁𝑄=4cm． ∠ 𝑀𝑁∥𝐴𝐵,𝑀𝐷⊥𝐴𝐵，𝑁𝐸⊥𝐴𝐵， ∠ 𝑀𝐷=𝑁𝐸， 在RtΔ𝑀𝐷𝑃和RtΔ𝑁𝐸𝑄中， 𝑀𝑃=𝑁𝑄 {， 𝑀𝐷=𝑁𝐸∠ RtΔ𝑀𝐷𝑃 ≅RtΔ𝑁𝐸𝑄(HL)， ∠ ∠𝑀𝑃𝐷=∠𝑁𝑄𝐸， ∠ 𝑀𝑃//𝑁𝑄， 又∠ 𝑀𝑃=𝑁𝑄， ∠ 四边形MNQP是平行四边形， 又∠ 𝑀𝑁=𝑀𝑃， ∠ 四边形MNQP是菱形； 同理，如图，当点C靠近点B时，采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形， 16 / 19

故小明的猜想正确．

【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用上述知识解决问题． 23．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题 (1)已知𝐴𝐶是半圆𝑂的直径，∠𝐴𝑂𝐵=(个圆心角．

操作：如图1，分别将半圆𝑂的圆心角∠𝐴𝑂𝐵=(

180𝑛

180𝑛

)°（𝑛是正整数，且𝑛不是3的倍数）是半圆𝑂的一

)°（𝑛取1、4、5、10）所对的弧三等分

（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

交流：当𝑛=11时，可以仅用圆规将半圆𝑂的圆心角∠𝐴𝑂𝐵=(

180𝑛

)°所对的弧三等分吗？

17 / 19

探究：你认为当𝑛满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆𝑂的圆心角∠𝐴𝑂𝐵=(弧三等分？说说你的理由． (2)如图2，⊙𝑜的圆周角∠𝑃𝑀𝑄=(

2707

180𝑛

)°所对的

)°．为了将这个圆的圆周．．．．．．14等分，请作出它的一条

⌢（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）14等分弧𝐶𝐷．

【答案】(1)作图见解析；交流：60°−9×(28)°=(28)°，或19×(28)°−2×60°=(28)°； 探究：正整数𝑛（𝑛不是3的倍数），理由见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由操作可知，如果()°可以用60°与(𝑛60180𝑛1806018060)°的线性表示，那么该圆弧就可以被三等分 （2）将圆周14等分就是把∠𝑃𝑀𝑄=(算法：180°−（1） 操作： 540°72707)°所对的圆周角∠𝑄𝑂𝑃所对弧三等分即可,给出一种×2=180°7

交流：60°−9×(28)°=(28)°，或19×(28)°−2×60°=(28)°； 探究：设60°−𝑘(

180𝑛180

60

180

60

． )°=(𝑛)°，解得𝑛=3𝑘+1（𝑘为非负整数）

60

18 / 19

或设𝑘(

180𝑛

． )°−60°=(𝑛)°，解得𝑛=3𝑘−1（𝑘为正整数）

180𝑛

60

所以对于正整数𝑛（𝑛不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆𝑂的圆心角∠𝐴𝑂𝐵=(对的弧三等分； （2）

)°所

【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键．

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