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中考数学《几何计算题选讲》专题复习
几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例
例1． 如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC
交于P，PE⊥AB于E，AB=10，求PE的长. 解法一：（几何法）连结OT，则OT⊥CD，且OT=BC=OT=5,AC=10025=55 ∵BC是⊙O切线，∴BC =CP·CA. ∴PC=5，∴AP=CA-CP=45.
2
1AB＝5 2DTPC∵PE∥BC ∴
PEAP45，PE=×5=4. BCAC55AOEB说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的
隐含条件.
解法二：（代数法） ∵PE∥BC，∴
PEAEPECB1. . ∴CBABAEAB2设：PE=x，则AE=2 x ，EB=10–2 x.
0
连结PB. ∵AB是直径，∴∠APB=90.
在Rt△APB中，PE⊥AB，∴△PBE∽△APE . ∴
EBPE1.∴EP=2EB，即x=2（10–2x）. EPAE2解得x=4. ∴PE=4.
说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系. 解法三：（三角法）
连结PB，则BP⊥AC.设∠PAB=α 在Rt△APB中，AP=10COSα，
在Rt△APE中，PE=APsinα, ∴PE=10sinαCOSα. 在Rt△ABC中, BC=5,AC=55.∴sinα=
5555, 5COSα=
105525525.∴PE=10×=4. 555新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@新世纪教育网
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说明：在几何计算中，必须注意以下几点：
（1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相
等关系.
（2） 注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化. （3） 注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.
二.其他题型举例
例2.如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长.
DC分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、
以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.
解：连结OE，∵CE切⊙O于E， ∴OE⊥CF ∴△EFO∽△BFC，E∴
OEFE111，又∵OE=AB=BC，∴EF=FB BCFB222设EF=x，则FB=2x，FA=2x–2a
22
∵FE切⊙O于E ∴FE=FA·FB，∴x=（2x–2a）·2x 解得x=
FAOB44a， ∴EF=a. 33例3．已知：如图，⊙O1 与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=25 （1） 求证：EF是⊙O1的切线；
（2） 求线段CF的长； （3） 求tan∠DAE的值.
分析：（1）连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1A⊥EF，从而知 EF是⊙O1的切线.
（2）由已知条件DE=2，AE=25，且EA、EDC分别是⊙O1的切线
CFA和割线，运用切割线定理EA=ED·EC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+25.又CE=10，由勾股定理可得：（x+25）= x+10，
2
2
2
2
O1O2DEB解得 x=45.即CF=45.
（3）要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形；②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值.
解：（1）连结O1A，
∵O1E是⊙O2的直径，∴O1A⊥EF ∴EF是⊙O1的切线..
（2）∵DE=2，AE=25，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线 ∴EA=ED·EC，∴EC=10
由CF⊥CE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+25.
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又CE=10，由勾股定理可得：（x+25）= x+10，解得 x=45.即CF=45.
（3）解法一：（构造含∠DAE的直角三角形） 作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△A O1E中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6），又DE=2，且DG∥A O1（因为DG⊥AE），运用平行分线段成比例可求得DG=
222
4455. ,AG, 从而tan∠DAE=
335解法二：（等角转化）
0
连结AC，由EA是⊙O1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=90，所以只需求
ADADAE255的值即可.观察和分析图形，可得△ADE∽△CAE，.从而tanACACCE105∠ACD=
AD55，即tan∠DAE=. AC55说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它
的基础性和重要性.如本题（2）求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长. （2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.
例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.
F（1） 求⊙A的半径；
（2） 求CF的长和△AFC的面积. G解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，222222
AC=CD+AD，∴（2+AD）=4+AD，解得AD=3.
（2） A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴
CE=BCBE2
BEMCAD22321210
CD2428由CE·CF=CD，得CF=10.又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA，∴△BCE
CE105∽△GAE.∴
BCCE136310，即,S△AFC=CF·AG=. AGAE25AG32
例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=63，∠B为锐角，且关于x的方程x–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交
⊙O于点E，交AC于点F. A（1） 求∠B的度数；
D（2） 求CE的长.
分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性
质，解题时应注意线段的转化.
2
解：（1）∵关于x的方程x–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，
FOEBHC新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@新世纪教育网
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∴Δ=（-4cosB）-4=0.∴cosB=又∵∠B为锐角，∴∠B=60.
0
2
11，或cosB=-（舍去）. 22110
BC·AH=BC·AB·sin60=63，解得AB=6 22（2） 点A作AH⊥BC，垂足为H. S△ABC=
在Rt△ABH中，BH=AB·cos60=6×
0
130
=3，AH=AB·sin60=6×∴CH=BC-BH=4-3=1. 33，22在Rt△ACH中，AC+CH=27+1=28.∴AC=27（负值舍去）.∴AC=27.连结AE，在圆内
2
2
接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180，∴∠ADC=120.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=60=∠EAC. 又∵∠AEC=∠B=60，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=AC=27.
0
000
例6. 已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥
22
AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x–3（r–2）x+ r–4=0的两个实数根.求（1）AC、BC的长；（2）CD的长. 分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.
C解：（1）∵CE切⊙O于C，∴∠ECB=∠A.又∵∠E是公共角，∴△ECB∽△EAC，
BCBE1，∴AC=2BC.由AC、BC的长ACCE22
2
ADOBE是关于x的方程x–3（r–2）x+ r–4=0的两个实数根，∴
2
AC+BC=3（r-2）；AC·BC=r-4，解得r=6，∴BC=4，AC=8.
0
（2） CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF=90，∠CFA=
0
∠CBD. ∵∠CDB=90=∠CAF，∴△CAF∽△CDB，
FACCFACBC848. .∴CD=CDBCCF123说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例
关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.
例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B. （1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，AE∶EB=2∶3，求AB的长和∠FCB的正切值. P00C解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90. ∴∠CAB+∠B=90，又∠
0
PAC=∠B，∴∠CAB+∠PAC=90.即PA⊥AB，∴PA是⊙O的切线. （2） 设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a，EB=3 x.
AOB 由相交弦定理，得2x·3x=5a·6a ∴x=5a. 连结AD.由△BCE∽
FD△DAE，得
BCEB35.连结BD.由△BED∽△CEA，得ADED5新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@新世纪教育网
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BDBE5. ACAE2∴BD=45.由勾股定理得BC=∴
AB282，AD=AB(45)2.
AB282AB2(45)235.两边平方，整理得AB2100，∴AB10（负值舍去）. 5∴AD=25.∵∠FCB=∠BAD，∴tan∠FCB= tan∠BAD=
BD452. AD25解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.
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