2020届高一下期4月月考数学试题
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（ ）
A. {1} B. {1，2} C. {0，1，2，3} D. {-1，0，1，2，3}
2. 幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 B、C的对边分别为a、b、c．3. △ABC的内角A、已知a=
4. 在△ABC中，
c=2，cosA=，，则b=（ ）
A.
C. 2 D. 3
，A=75°，B=45°，则△ABC的外接圆面积为（ ）
B.
A. B. π C. 2π D. 4π
5. 方程2x+x=2的解所在区间是（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 6. 角α的终边经过点（2，-1），则sinα+cosα的值为（ ）
A. - B.
C. - D.
7. 已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°
8. 已知向量，的夹角为60°，且||=||=1，则|+|等于（ ）
A. 3 B.
C. 2 D. 1
9. 已知，是不共线向量，=2+，=-+3，=λ-，且A，B，D三点共线，
则实数λ等于（ ） A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
10. 已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=、=、=、则
①②③④
； ； ； =
其中正确的等式个数为（ ） A. 1 B. 2 11. 向量
，
C. 3 D. 4
，且∥，则cos2α=（ ）
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A.
B. C.
D. D. -2
，则k= ______ ．
12. 函数y=sinx+cosx的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知
，若
∥
14. 向量 =（2，3）在向量=（3，-4）方向上的投影为______． 15. 函数f（x）=logcos（2x-）的单调递增区间为______ ．
16. 已知函数f（x）=x2-|x|+a，若存在x1，x2，x3，x4（x1，x2，x3，x4互不相同），使f
（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=1，则a的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 已知向量，满足||=2，||=1，向量=2-，=+3．
（1）若与的夹角为60°，求|-|的值； （2）若⊥，求向量与的夹角θ的值．
AD=1，CD=2，AC=18. 如图，在平面四边形ABCD中，
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=-，sin∠CBA=
19. 已知函数
．
．
，求BC的长．
（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．
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20. 设向量=（sinx，-1），=（
cosx，-），函数f（x）=（+）•．
（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．
21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的值； （2）若，求△ABC的面积S．
22. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且
与岛屿A相距6海里，渔船乙以5 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sinα的值．
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答案和解析
【答案】 1. C 2. C 8. B 9. C 13. 6
3. D 10. B 4. B 11. D 5. A 12. D
6. D
7. A
14.
15. （kπ+，kπ+）（k∈Z） 16. （1，） 17. 解：（1）
=2×1×cos60°=1．∴|-|2=2-2
+2=3．∴|-|=
．
（2）∵⊥，∴•=0，即（2-）•（+3）=22+5∴cosθ=-．∴θ=120°．
-32=8+10cosθ-3=0．
18. 解：（Ⅰ）cos∠CAD=
（Ⅱ）∵cos∠BAD=-， ∴sin∠BAD=∵cos∠CAD=∴sin∠CAD=
， ==
，
==．
∴sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=∴由正弦定理知∴BC=
=
，
×+×=，
•sin∠BAC=×=3
19. （1）解：f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
=
=
．
∵x1-x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． ∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数，
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故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为最小值为
．
，
20. 解：（1）∵=（sinx，-1），=（cosx，-），
∴f（x）=（+）•=（sinx+=sin2x+
cosx，-）•（sinx，-1）
sinxcos+=（1-cos2x）+sin2x+
=sin2x-cos2x）+2 =sin（2x-）+2， 由2kπ-≤2x-≤2kπ+， 解得：kπ-≤x≤kπ+，
故函数的递增区间是[kπ-，kπ+]； （2）∵x∈（0，）， ∴2x-∈（-，），
故sin（2x-）的最大值是1，sin（2x-）＞sin（-）=-， 故函数的最大值是3，最小值大于， 即函数的值域是（，3]．
21. 解：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA， ∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA， ∵sinB≠0， ∴（2）∵
，可得：
． ，
，
∴b2+c2=bc+4，可得：（b+c）2=3bc+4=10，可得：bc=2． ∴
．
2=10，∠BCA=α． ，AB=6，AC=5×22. 解：（1）依题意，∠BAC=120°
AC×cos∠BAC 在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×
=62+102-2×6×10×cos120°=196． 解得BC=14，所以渔船甲的速度为
海里/小时．
答：渔船甲的速度为7海里/小时．
（2）在△ABC中，因为AB=6，∠BAC=120°，BC=14，∠BCA=α，
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由正弦定理，得即
答：sinα的值为【解析】
．
． ．
1. 解：∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}， ∴A∪B={0，1，2，3}． 故选：C．
先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用． 2. 解：∵幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数， ∴
，
解得m=2． 故选：C．
利用幂函数的定义及性质列出方程组，由此能求出实数m的值．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的定义及性质的合理运用．
3. 解：∵a=，c=2，cosA=，
∴由余弦定理可得：cosA==∴解得：b=3或-（舍去）． 故选：D．
由余弦定理可得cosA=
，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值．
=
，整理可得：3b2-8b-3=0，
本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
，A=75°，B=45°， 4. 解：在△ABC中，
-A-B=60°∴C=180°，设△ABC的外接圆半径为R， 则由正弦定理可得2R=
=，解得R=1，
故△ABC的外接圆面积S=πR2=π，
故选：B．
由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径，可得面积．
本题考查正弦定理，求出外接圆的半径是解决问题的关键，属基础题． 5. 解：令f（x）=2x+x-2，
A、由f（0）=-1，f（1）=2+1-2=1知，f（0）f（1）＜0，故A正确；
B、由f（2）=4+2-2=4，f（1）=2+1-2=1知，f（2）f（1）＞0，故B不正确； C、由f（2）=4+2-2=4，f（3）=8+3-2=9知，f（2）f（3）＞0，故C不正确； D、由f（4）=16+4-2=18，f（3）=8+3-2=9知，f（2）f（3）＞0，故D不正确； 故选A．
构造函数f（x）=2x+x-2，分别计算区间端点的函数值，再验证是否符合函数零点存在的判定内容．
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本题考查了函数零点的判定定理应用，一般的方法是把方程转变为对应的函数，求出区间端点的函数值，并验证它们的符号即可．
6. 解：∵已知角α的终边经过点（2，-1），则x=2，y=-1，r=， ∴sinα=-，cosα=∴sinα+cosα=-，
故选D．
由题意可得x=2，y=-1，r=，可得sinα和cosα的值，从而求得sinα+cosα 的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．
，
7. 解：
∴
又0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选A． 根据向量
；
，；
的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式
即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．
考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． ，且||=||=1， 8. 解：∵向量，的夹角为60°∴|+|=
=
．
故选：B． 由已知结合
，展开平方，代入平面向量数量积公式得答案．
=
=
本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．
9. 解：∵A，B，D三点共线， ∴=β，（β为实数），
∵=2+，=-+3，=λ-， ∴∴解得
=，λ=5．
=（λ-1）
，
，
故选：C．
由A，B，D三点共线，得=β，（β为实数），由此能求出实数λ．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则、共线向量的性质的合理运用．
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10. 解：①∵E、F分别为△ABC的边CA、AB的中点，∴=②=③=④
=（+ ）=+ ，故①错误，
=+，故②正确， =+，故③错误，
=（-）+（-）+（-）=，故④正确，
故正确是②④，共有2个，
故选：B
根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可．
本题主要考查向量的加法和加法的运算，根据三角形法则是解决本题的关键．
11. 解：∵
∴即
，，
，化简得sinα=，
，且∥，
∴cos2α=1-2sin2α=1-= 故选：D
根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sinα=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2α的值．
本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．
12. 解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．
∵-1≤sin（x+）≤1，
∴当sin（x+）=-1时，函数y取得最小值-2． 故选：D．
利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=单调性、最值即可得出．
本题属于基础题，熟练掌握两角和的正弦公式化asinx+bcosx=弦函数的单调性、最值是解题的关键．
sin（x+θ）、及正
sin（x+θ），进而利用正弦函数的
13. 解：∵
∴=（2，1）+2（k，3）=（2+2k，7）
=2（2，1）-（k，3）=（4-k，-1） ∵
∥
∴（2+2k）×（-1）=7（4-k），
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∴k=6
故答案为6．
先根据向量的线性运算可求得
与
，再由
∥
可得到（2+2k）×（-1）
=7（4-k），进而可求得k的值．
本题主要考查向量的线性运算和向量平行的坐标运算．考查基础知识的综合应用和灵活能力．考查对向量的掌握程度和计算能力．
14. 解：根据投影的定义可得：
在方向上的投影为||cos＜，＞=故答案为：
．
求解．
=
=-．
根据投影的定义，应用公式在方向上的投影为||cos＜，＞=
本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
15. 解：∵对于函数g（x）=cos（2x-）的单调减区间为2kπ≤2x-≤2kπ+π，
即kπ+≤x≤kπ+，而cos（2x-）＞0，
故函数g（x）的单调减区间为（kπ+，kπ+）（k∈Z）， 根据复合函数的同增异减的原则，
得：f（x）在（kπ+，kπ+）（k∈Z）递增， 故答案为：（kπ+，kπ+）（k∈Z）．
先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时2x-的范围，进而求得x的范围，求得函数f（x）的单调递增区间即可．
本题主要考查了余弦函数的单调性．考查了学生对三角函数基础知识的理解和把握． 16. 解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与
曲线y=x2-|x|+a，
观图可知，a的取值必须满足
，
解得1．
故答案为：（1，）
在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a的图象，观察有四个交点的情况即可得到．
本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．
17. （1）求出，对|-|取平方计算；（2）由⊥得•=0，列出方程解出cosθ，
得到θ的值．
本题考查了平面向量的数量积运算，夹角公式，属于基础题．
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18. （Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．
（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．
19. （1）利用函数的单调性的定义证明即可． （2）利用函数的单调性，求解函数的最值即可．
本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
20. （1）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；
（2）求出（2x-）的范围，从而确定f（x）的范围，化简函数，可得函数的值域． 本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21. （1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求cosA，进而可求A的值．
（2）由已知及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 22. （1）在△ABC中使用余弦定理计算BC，从而得出渔船甲的速度； （2）在△ABC中，使用正弦定理计算∠BCA，从而得出sinα． 本题考查了正余弦定理在三角形中的实际应用，属于中档题．
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