抽象函数的对称性与周期性 一、抽象函数的对称性。
性质 1 、若函数 y ＝ f(x) 关于直线x ＝a 轴对称，则以下三式成立且等价：
（ 1 ）f(a ＋ x) ＝ f(a －x) 。 （ 2 ）f(2a － x) ＝ f(x) 。 （ 3 ）f(2a ＋ x) ＝ f( － x) 。
性质 2 、若函数 y ＝ f(x) 关于点 (a,0) 中心对称，则以下三式成立且等价：
（ 1 ）f(a ＋ x) ＝－ f(a － x) 。 （ 2 ）f(2a － x) ＝－ f(x) 。 （ 3 ）f(2a ＋ x) ＝－ f( － x) 。
注： y＝ f(x) 为偶函数是性质1 当 a ＝0 时的特例， f( － x) ＝ f(x) 。
y＝ f(x) 为奇函数是性质 2 当 a ＝0 时的特例， f( － x) ＝ -f(x)。
二、复合函数的奇偶性。
性质 1 、复数函数 y＝ f[g(x)]为偶函数，则f[g( － x)] ＝f[g(x)]。
复合函数 y ＝ f[g(x)]为奇函数，则f[g( － x)] ＝－ f[g(x)]。
性质 2 、复合函数 y＝ f(x ＋ a) 为偶函数，则f(x ＋ a) ＝ f( －x ＋ a) ；
复合函数 y ＝ f(x ＋ a) 为奇函数，则f( －x ＋ a) ＝－ f(a ＋ x) 。
性质 3 、复合函数 y＝ f(x ＋ a) 为偶函数，则y＝ f(x) 关于直线 x ＝ a 轴对称。
复合函数 y ＝ f(x ＋ a) 为奇函数，则 y ＝ f(x) 关于点 (a,0)中心对称。
三、函数的周期性。
性质、若 a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x) 定义域内的任一变量
列条件之一成立，则函数y＝ f(x) 是周期函数，且 ① f(x ＋a) ＝ f(x － a) ， ② f(x ＋a) ＝－ f(x) ， ③ f(x ＋a) ＝ 1/f(x) ， ④ f(x ＋a) ＝－ 1/f(x)。
x 点，有下
2|a|是它的一个周期。
四、函数的对称性与周期性。
性质 1 、若函数 y ＝ f(x) 同时关于直线
x＝ a 与 x＝ b 轴对称，则函数 f(x) 必为
性质
周期函数，且T ＝ 2|a － b| 。 y a ＝ f(x) 同时关于点（ ， 0 ）与点（ b ， 0 ）中心对称，则函数
2 、若函数
f(x) 必为周期函数，且
T － b| 。 ＝ 2|a
性质 3 、若函数 y ＝ f(x) 既关于点（ a ， 0 ）中心对称，又关于直线
则函数 f(x) 必为周期函数，且T ＝ 4|a － b| 。
关于直线
五、复合函数的对称性。
性质 1 、已知函数 y＝ f(x) ，则复合函数y＝ f(a ＋ x) 与 y ＝ f(b-x)
x＝ b 轴对称，
x＝ (b-a)/2
性质
2 、已知函数
轴对称。
y ＝ f(x)
，则复y ＝ f(a
合函数
＋ x)
与
y f(b-x) ＝
-关于点
((b-a)/2,0)
推论
1 、已知函数
中心对称。
y＝ f(x) 轴对称。
，则复y ＝ f(a 合函数
，则复合函数 y ＝ f(x)
＋ x)
与
y ＝ － f(a x)
关于
轴
y
推论
2 、已知函数
＋ x)
y ＝ f(a
y f(a 与 ＝
－
－x)
关于原点
中心对称。
六、巩固练习
y＝ f(x) 是定义在实数集
1 、函数
f(6 － x) 的图象（）。
R 上的函数，那么
y ＝－ f(x ＋4) 与 y＝
A ．关于直线 x ＝ 5 对称B ．关于直线x ＝ 1 对称 C．关于点（ 5 ，0 ）对称D ．关于点（ 1 ， 0 ）对称
2 、设 f(x) 是（－∞，＋ ∞）上的奇函数，
f(x) ＝ x ，则 f(7.5)=（）。
A． 0.5B．－ 0.5C ． 1.5D．－ 1.5
3 、设 f(x) 是定义在（－∞ ，＋ ∞ ）上的函数，且满足f(10 ＋ x)
f(20 － x) ＝－ f(20 ＋ x) ，则 f(x) 是（）。
f(x ＋ 2) ＝－ f(x) ，当 0 ≤ x ≤1时，
＝f(10 － x) ，
A．偶函数，又是周期函数 C．奇函数，又是周期函数
4 、f(x)
B ．偶函数，但不是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数
是定义在 R 上的偶函数，图象关于
x ＝ 1
f(x) 对称，
证明
是
周期
函数。
参：
D，B，C，T＝2。
