圆锥曲线的基础训练题

一．求标准方程

x2y2

1．讨论+=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．

25−k9−k2．求适合条件的椭圆的标准方程:（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，−6)；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点P⎜3，⎟，Q⎜−

⎛15⎞⎝4⎠⎛16⎞

，5⎟且焦点在坐标轴上．3⎝⎠

（2）c=，焦点在x轴上．6，经过点（－5，2）

x2y2

（3）与双曲线−=1有相同焦点，且经过点32，2

1

()

(4)过点P(3,−2)，离心率e=

5．2

（5）F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2=60°，S∆PF1F2=123，离心率为2．

（6）双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，两条准线间的距离为

16

13。13

x2y2

4．（1）求与双曲线−=1共渐近线且过A23，−3点的双曲线方程及离心率．

169

()

（2）求以曲线2x2+y2−4x−10=0和y2=2x−2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

（3）中心在原点，一个焦点为F(1，0)的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲线标准方程．二．求离心率

说明：求离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

1．一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

x2y21

2．已知椭圆+=1的离心率e=，求k的值．

k+2

3．已知双曲线的渐近线方程是3x+4y=0，3x−4y=0，求双曲线的离心率．

x2y2

4．设双曲线2−2=1(03

c，求双曲线的离心率．4

三．求值问题

x2y2

1．已知双曲线−=1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且PF1PF2=32，

916

求∠F1PF2．

x2

2．已知F1、F2是双曲线−y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90�，求

4∆F1PF2的面积．

x2y2x2y2

3．若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线−=1(s,t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是

mnst这两条曲线的一个交点，则PF1⋅PF2的值是

．4．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求AB。5．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求四．轨迹问题

1．求下列动圆圆心M的轨迹方程并说明它是什么样的曲线：（1）与⊙C：(x+2)+y2=2内切，且过点A(2，0)

2

22

（2）与⊙C1：x+(y−1)=1和⊙C2：x+(y+1)=4都外切．

2

2

11

的值。+

AFBF（3）与⊙C1：(x+3)+y2=9外切，且与⊙C2：(x−3)+y2=1内切．

2

2

2．在∆ABC中，BC=2，且sinC−sinB=

1

sinA，求点A的轨迹．2

x2

3．双曲线−y2=1有动点P，F1,F2是两个焦点，求∆PF1F2的重心M的轨迹方程。

9

五．第二定义的应用

x2y2

1．已知椭圆2+2=1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．

4bbx2y⎛9⎞

2．椭圆+=1上不同三点A(x1，y1)，B⎜4，⎟，C(x2，y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数

2595⎝⎠

列．（1）求证x1+x2=8；2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

2

x2y2

3．已知M(x1，y1)是双曲线2−2=1上一点．求点M到双曲线两焦点F1、F2的距离．

aby2x2

4．在双曲线−=1的一支上有三个点A(x1,y1)、B(x2,6)、C(x3,y3)与焦点F(0,5)的距

1213

离成等差．(1)求y1+y3(2)求证线段AC的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．六．弦长、中点弦、弦斜率问题说明：（1）直线与曲线的问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

（2）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（3）“点差法”解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（4）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．1．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y−1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x2⎛11⎞2．已知椭圆+y2=1，求过点P⎜，⎟且被P平分的弦所在的直线方程．

2⎝22⎠

3．过抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

4．已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以A(2,0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线

S的一个顶点A'和A关于直线y=x对称，设直线l过点A，斜率为k．

(1)求双曲线S的方程；(2)当k=1时，在双曲线S的上支求点B，使其与直线l的距离为2；(3)当0≤k<1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2，求斜率k的值及点B的坐标．

七．最值问题

x2y2

1．设AB是过椭圆2+2=1(a>b>0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(−c，0)，则△F1AB的

ab面积最大为

x2y2

2．已知双曲线2−2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，

ab且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率的最大值是

x2y2

+=1上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为3．已知A(3,2),B(−4,0)，P是椭圆

259

x2y2

4．椭圆+=1的右焦点为F，过点A1，3，点M在椭圆上，当AM+2MF为最小值时，

1612

()

求点M的坐标．

x2

5．求椭圆+y2=1上的点到直线x−y+6=0的距离的最小值．

3

y21

6．已知点A(3，0)，F(2，0)，在双曲线x−=1上求一点P，使PA+PF的值最小．

32

2

7．给定抛物线y2=2x，设A(a,0)(a>0)，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求的最小值。8．已知直线l:y=2x−4交抛物线y2=4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使

的面积最大，并求这个最大面积。

9．已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+九．综合型问题

12

y+3的最小值是2

．

x2y1．已知椭圆+=1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离

43MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如果抛物线y=ax2−1上总有关于直线x+y=0对称的相异两点，试求的范围。

3．已知梯形ABCD中，AB=2CD，点E满足AE=λEC，双曲线过C、D、E三点，且以A、

2

B为焦点，当

23

≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围．34

4．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A和B正东6千米，C在B正北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，

B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1kms，A若炮击P地，求炮击的方位角．

6．设抛物线的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线

的准线上，且BC//轴，证明：直线AC经过原点O。