中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线y23243xx23与其“衍生直线”交于A、B两点（点A33在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2323；（-2，23）；（1,0）； x+33（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）； （3）E（-1，-【解析】 【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可 【详解】 （1）∵y432343103）、F（0，）或E（-1，-），F（-4，）

33332323243，则抛物线的“衍生直线”的解析式为xx23，a=

333

y=2323； x+3323243yxx23x=1x=-233联立两解析式求交点，解得或，

y=0y=23y=23x+2333∴A（-2，23），B（1,0）； （2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D， 在y23243xx23中，令y=0可求得x= -3或x=1， 33∴C（-3,0），且A（-2，23），

22∴AC=（-2+3）+（23）=13 由翻折的性质可知AN=AC=13， ∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”， ∴N在y轴上，且AD=2， 在Rt△AND中，由勾股定理可得 DN=AN2-AD2=13-4=3， ∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF， ∴∠ ACK=∠ EFH， 在△ ACK和△ EFH中

ACK=EFHAKC=EHF AC=EF∴△ ACK≌△ EFH，

∴FH=CK=1，HE=AK=23， ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴ F点的横坐标为0或-2， ∵点F在直线AB上，

∴当F点的横坐标为0时，则F（0，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-∴ E（-1，-23），此时点E在直线AB下方， 3234343=，即E的纵坐标为-， 33343）； 3当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去； ②当AC为平行四边形的对角线时， ∵ C（-3,0），且A（-2，23）， ∴线段AC的中点坐标为（-2.5， 3）， 设E（-1，t），F（x，y）， 则x-1=2×（-2.5），y+t=23， ∴x= -4，y=23-t，

23-t=-232343×（-4）+，解得t=-， 33343103），F（-4，）；

334323）、（0，）或E（-1，33∴E（-1，-综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，--43103），F（-4，）

33

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

2．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由； （4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）3）． 【解析】

9；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣4试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；

（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；

（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），

93bc0b4∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； 1bc0c3（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣

32939）+．∵a=﹣1＜0，∴当x=时，线段PD的长度有最大值； 2424（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点

时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．

综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；

（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则kb0k3，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣

b3b33x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．

点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．

3．如图所示，抛物线yax2bxc的顶点为M2,4，与x轴交于A、B两点，且

A6,0，与y轴交于点C．

1求抛物线的函数解析式；

2求ABC的面积；

3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使

P的坐标；若不能，请说明理由．

APC的面积最大？若能，请求出点

【答案】1 y标是P3,12xx3；212；3当x3时，S4APC有最大值27，点P的坐415． 4【解析】 【分析】

(1)设顶点式并代入已知点A6,0即可；

(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；

(3)假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F，线段PF的长度即为两函数值之差，将APC的面积计算拆分为S【详解】

APFSCPF即可.

1设此函数的解析式为ya(xh)2k， ∵函数图象顶点为M2,4，

∴ya(x2)24， 又∵函数图象经过点A6,0， ∴0a(62)24 解得a1， 411(x2)24，即yx2x3； 44∴此函数的解析式为y2∵点C是函数y1x2x3的图象与y轴的交点，

4∴点C的坐标是0,3， 又当y0时，有y12xx30， 4解得x16，x22， ∴点B的坐标是2,0， 则SABC11ABOC8312； 223假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F．

设Ex,0，则Px,12xx3， 4

设直线AC的解析式为ykxb， ∵直线AC过点A6,0，C0,3，

6kb0∴，

3b1k解得2，

b3∴直线AC的解析式为y∴点F的坐标为Fx,1x3， 21x3， 2112312PFx3xx3xx， 则2424∴SAPCSAPFSCPF11PFAEPFOE 22111339327PFOAx2x6x2x(x3)2， 22424244APC有最大值

∴当x3时，S27， 4此时点P的坐标是P3,【点睛】

15． 4本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.

4．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

31，y1），D（，y2）44

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞

5；（3）①当0＜b＜y2． 【解析】 【分析】

1114时，y1＞y2，②当b＝时，y1＝y2，③当＜b＜时，y1＜2225（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案； （2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】

（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点， ∴M的坐标是（b，4b+1）， 把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1， ∴点M在直线y＝4x+1上； （2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上， ∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2， 二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1， ∴A（5，0）． 由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5； （3）如图2，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F， A（5，0），B（0，5）得 直线AB的解析式为y＝﹣x+5，

y4x1联立EF，AB得方程组，

yx54x5解得，

21y5421，），F（0，1）． 55点M在△AOB内，

∴点E（1＜4b+1＜

21， 5∴0＜b＜

4． 5131＝﹣b，∴b＝， 442当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣

且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上， 综上：①当0＜b＜②当b＝③当

1时，y1＞y2， 21时，y1＝y2， 214＜b＜时，y1＜y2． 25

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．

5．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）求出C、D两点的坐标

（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+2，﹣2）. 【解析】 【分析】

（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．

（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标． （3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标． 【详解】

解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 y＝ax2+bx﹣3可得 ab30

4a2b33解得a1

b2∴y＝x2﹣2x﹣3

（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3） 设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入

kb0 2kb3解得k1

b1∴y＝﹣x﹣1 ∴D（0，﹣1）

（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P点纵坐标为﹣2， ∴x2﹣2x﹣3＝﹣2

解得：x＝1±2，∵x＞0∴x＝1+2． ∴P（1+2，﹣2） 【点睛】

本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．

6．已知，点M为二次函数y(xb)24b1图象的顶点，直线ymx5分别交x轴正半轴，y轴于点A,B.

（1）如图1，若二次函数图象也经过点A,B，试求出该二次函数解析式，并求出m的值. （2）如图2，点A坐标为(5,0)，点M在AOB内，若点C(,y1)，D(,y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小.

1434

2【答案】（1）y(x2)9,m1；（2）①当0b1时，y1y2；②当2114时，y1y2；③当b时，y1y2 225【解析】 【分析】 b（1）根据一次函数表达式求出B点坐标，然后根据B点在抛物线上，求出b值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A点的坐标，最后代入一次函数求出m值.（2）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】

（1）如图1，∵直线ymx5与y轴交于点为B，∴点B坐标为(0,5)

2又∵B(0,5)在抛物线上，∴5(0b)4b1，解得b2

∴二次函数的表达式为y(x2)29 ∴当y0时，得x15，x21 ∴A(5,0)

代入ymx5得，5m50，∴m1

（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M为(b,4b1)，即M点始终在直线y4x1上，

∵直线y4x1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，而直线AB表达式为

yx5

4xy4x15解方程组，得

21yx5y5∴点E(,421)，F(0,1) 554 5131b，∴b 442∵点M在AOB内，∴0b当点C,D关于抛物线对称轴（直线xb）对称时，b且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线y4x1上 综上：①当0b1114时，y1y2；②当b时，y1y2；③当b时，2225y1y2.

【点睛】

本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.

7．在平面直角坐标系中，有两点Aa,b、Bc,d，若满足：当ab时，ca，

db2；当ab时，ca，db，则称点为点的“友好点”.

（1）点4,1的“友好点”的坐标是_______.

（2）点Aa,b是直线yx2上的一点，点B是点A的“友好点”. ①当B点与A点重合时，求点A的坐标.

②当A点与A点不重合时，求线段AB的长度随着a的增大而减小时，a的取值范围. 【答案】（1）4,1；（2）①点A的坐标是2,0或1,1；②当a1或时，AB的长度随着a的增大而减小； 【解析】 【分析】

（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B点坐标，A点又在直线yx2上，得到ba2；①当点A和点B重合，得bb2．解出即可，②当点A和点B不重合， a1且a2．所以对a分情况讨论，1°、当a1或

23a2233122a≤时，，所以当时，AB的长度随a2ABbba3a2a2243着a的增大而减小，即取a1．2°当1a2时，ABb2ba2+3a2a221，当4a33时，AB的长度随着a的增大而减小，即取a2． 综上，当a1或223a2时，AB的长度随着a的增大而减小． 2【详解】

（1）点4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点4,1的“友好点”的坐标是4,1

（2）

点Aa,b是直线yx2上的一点，

ba2．

2aa2，根据友好点的定义，点B的坐标为Ba,b，

①当点A和点B重合，bb2． 解得b0或b1． 当b0时，a2；当b1时，a1，

点A的坐标是2,0或1,1．

②当点A和点B不重合，a1且a2．

231当a1或a2时，ABbba3a2a． 2422当a≤

3时，AB的长度随着a的增大而减小， 22取a1．

31当1a2时， ABbba+3a2a ．

2422当a取

3时，AB的长度随着a的增大而减小， 23a2． 2综上，当a1或【点睛】

3a2时，AB的长度随着a的增大而减小． 2本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB的长用a进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论

8．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．

（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；

（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣23t21003（0＜t＜5）； (2) 【解析】 【分析】

（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；

（2）设PM=x，则AM=2x，可得AP=3x=4t，计算x的值，根据直角三角形30度角的性

30;(3)见解析. 78t质可得AM=2PM=，根据AM=AO+OM，列方程可得t的值；

3（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值． 【详解】

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=∴∠OAB=30°， ∵AB=20，

∴OB=10，AO=103， 由题意得：AP=4t， ∴PQ=2t，AQ=23t， ∴S=S△ABC﹣S△APQ， ==

1∠ABC=60°，AC⊥BD， 211AC·OBPQ·AQ， 2211102032t23t ， 22=﹣23t2+1003（0＜t＜5）； （2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t， ∵点Q关于O的对称点为M， ∴OM=OQ， 设PM=x，则AM=2x， ∴AP=3x=4t，

4t∴x=，

3∴AM=2PM=8t， 3∵AM=AO+OM，

∴t=

8t=103+103﹣23t， 330； 730秒时，点P、M、N在一直线上； 7（3）存在，

如图3，∵直线PN平分四边形APMN的面积， ∴S△APN=S△PMN，

过M作MG⊥PN于G，

答：当t为

11PN·APPN·MG ， 22∴MG=AP，

易得△APH≌△MGH，

∴ ∴AH=HM=8t， 3∵AM=AO+OM，

同理可知：OM=OQ=103﹣23t，

16t=103=103﹣23t， 3t=

30． 1130秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积． 11答：当t为

【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.

9．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线y23243xx23与其“衍生直线”交于A、B两点（点A33在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2323；（-2，23）；（1,0）； x+33（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）； （3）E（-1，-【解析】 【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可 【详解】 （1）∵y432343103）、F（0，）或E（-1，-），F（-4，）

33332323243，则抛物线的“衍生直线”的解析式为xx23，a=333y=2323； x+3323243xx23yx=1x=-233联立两解析式求交点，解得或，

y=0y=23y=23x+2333∴A（-2，23），B（1,0）；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D， 在y23243xx23中，令y=0可求得x= -3或x=1， 33∴C（-3,0），且A（-2，23），

22∴AC=（-2+3）+（23）=13 由翻折的性质可知AN=AC=13， ∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”， ∴N在y轴上，且AD=2， 在Rt△AND中，由勾股定理可得 DN=AN2-AD2=13-4=3， ∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF， ∴∠ ACK=∠ EFH， 在△ ACK和△ EFH中

ACK=EFHAKC=EHF AC=EF∴△ ACK≌△ EFH， ∴FH=CK=1，HE=AK=23， ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴ F点的横坐标为0或-2， ∵点F在直线AB上，

∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方， 3∴E到y轴的距离为EH-OF=23-∴ E（-1，-234343=，即E的纵坐标为-， 33343）； 3当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去； ②当AC为平行四边形的对角线时， ∵ C（-3,0），且A（-2，23）， ∴线段AC的中点坐标为（-2.5， 3）， 设E（-1，t），F（x，y）， 则x-1=2×（-2.5），y+t=23， ∴x= -4，y=23-t，

23-t=-232343×（-4）+，解得t=-， 333∴E（-1，-43103），F（-4，）；

334323）、（0，）或E（-1，33综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-

-43103），F（-4，）

33

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

10．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时②试说明无论k取何值，【答案】解：（1）y=（2）详见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】

（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。 （3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入②设点A（x1，

x12﹣1），B（x2，

计算即可得解；

，再联立抛物线与

x2﹣1

的值；

的值都等于同一个常数．

x22﹣1），然后表示出

直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解。 【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）， ∴

，解得

。

∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。

m2﹣1），

（2）证明：设点A的坐标为（m，

则。

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。 ∴AM=

m2﹣1﹣（﹣2）=

m2+1。

∴AO=AM。

（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴

。

x12﹣1），B（x2，

x22﹣1），

②k取任何值时，设点A（x1，

则。

联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16。 ∴

∴无论k取何值，

。

的值都等于同一个常数1。