数值分析第五版答案

2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。 解：设f(x)xn，则函数的条件数为Cp|nxf'(x)| f(x)又

f'(x)nxn1xnxn1|n , Cp|n又

r((x*)n)Cpr(x*)

且er(x*)为2%

r((x*)n)0.02n

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为V4R3 3则何种函数的条件数为

RV'R4R2Cp3

4VR33r(V*)Cpr(R*)3r(R*)

又

r(V*)1

110.33 3故度量半径R时允许的相对误差限为r(R*)27．求方程x56x10的两个根，使它至少具有4位有效数字（78327.982）。 解：x56x10，

故方程的根应为x1,228783 故 x1287832827.98255.982

2x1具有5位有效数字

x228783128783110.017863

2827.98255.982x2具有5位有效数字

9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？ 解：正方形的面积函数为A(x)x2 p7 当x*100时，若(A*)1, 则(x*)21102 22故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm

第二章 插值法 p48

,1,21．当x1时，f(x)0,3,4, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求f(x)的二次插值多项式。

解：

x01,x11,x22,f(x0)0,f(x1)3,f(x2)4;l0(x)l1(x)l2(x)(xx1)(xx2)1(x1)(x2)

(x0x1)(x0x2)2(xx0)(xx2)1(x1)(x2)(x1x0)(x1x2)6(xx0)(xx1)1(x1)(x1)(x2x0)(x2x1)3则二次拉格朗日插值多项式为

L2(x)yklk(x)

k023l0(x)4l2(x) (x1)(x2)124(x1)(x1) 35237xx6232．给出f(x)lnx的数值表 X lnx 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.356675 0.8 -0.223144 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。

解：由表格知，

x00.4,x10.5,x20.6,x30.7,x40.8;f(x0)0.916291,f(x1)0.693147f(x

2)0.510826,f(x3)0.356675f(x4)0.223144若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.50.540.6

l1(x)xx2x10(x0.6)1x2lxx12(x)x10(x0.5)

2x1L1(x)f(x1)l1(x)f(x2)l2(x) 6.9314x7(0.6)5.x10826 (L1(0.54)0.62021860.620219

若采用二次插值法计算ln0.54时，

l(xx1)(xx2)0(x)(xx50(x0.5)(x0.6)0x1)(x02)l(xx0)(xx2)1(x)(x100(x0.4)(x0.6)1x0)(x1x2) l(xx0)(xx1)2(x)(xxx50(x0.4)(x0.5)20)(2x1)L2(x)f(x0)l0(x)f(x1)l1(x)f(x2)l2(x)

500.9162x91(x0.5)(0.6)x69.31x47(L2(0.54)0.615319840. 6153204．设xj为互异节点，求证： n（1）

xkl(xkjj)x (k0,1,n, )j0n（2）(xjx)klj(x)0 (k0,1,n, )j0证明

（1） 令f(x)xk ( k<=n )

0.140)8(260.560)x(0.0.54x)(0.5若插值节点为xj,j0,1,,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)xkjlj(x)。

n插值余项为R(x)f(x)L(x)f(n1)()nn(n1)!n1(x)

又

kn,

f(n1)()0R

n(x)0nxkkjlj(x)x (k0,1,n, )j0n(2)(xjx)klj(x)j0nn(Cjikxj(x)ki)lj(x)

j0i0nCikink(x)(xijlj(x))i0j0又0in 由上题结论可知

nxkl(x)xijj

j0n原式Ciik(x)kxii0(xx)k

0得证。

8．f(x)x7x43x1,求F20,21,,27及F20,21,,28。 解：

f(x)x7x43x1

若x2ii,i0,1,,8

则fx0,x,xf(n)()1,nn!

fxf(7)(0,x1,,x)7!77!7!1

j0 P31

fx0,x1,f(8)(),x80

8!14．求一个次数不高于3次的多项式P（x），使它满足… x-x2+x3

18．求f(x)x2在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。 解：

在区间[a,b]上，x0a,xnb,hixi1xi,i0,1,,n1,

hmaxhi0in1f(x)x2

函数f(x)在小区间[xi,xi1]上分段线性插值函数为 Ih(x)xxi1xxif(xi)f(xi1)xixi1xi1xi12[xi(xi1x)xi12(xxi)]hi

误差为 p29

1maxf(x)Ih(x)maxf()hi2xixxi18abf(x)x2

f(x)2x,f(x)2h2maxf(x)Ih(x)axb4

第四章

数值积分与数值微分

P135

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

(1)f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);hh(2)2h2h1f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);

(3)f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3;1h(4)f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)];0解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多

项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若(1)hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

令f(x)1，则

2hA1A0A1

令f(x)x，则

0A1hAh1

令f(x)x2，则

23hh2A1h2A1 3从而解得

4A03h1A1h

31A13h令f(x)x，则

3hhf(x)dxx3dx0

hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0

故

hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

4令f(x)x，则

hhf(x)dxx4dxhh25h525h3

A1f(h)A0f(0)A1f(h)故此时，

hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

hh故

f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

具有3次代数精度。

（3）若

11f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3

令f(x)1，则

11f(x)dx2[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3

令f(x)x，则

012x13x2

令f(x)x2，则

2 212x123x2从而解得

x10.29x10.69或 x0.52662x20.1266令f(x)x3，则

11f(x)dxx3dx0

11[f(1)2f(x1)3f(x2)]/30

故

11f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3不成立。

因此，原求积公式具有2次代数精度。

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：(3)

(1)xdx,n8;04x21(2)(3)(1e)dx,n10;0 x191x21xdx,n4;(4)sin2d,n6;0解：

1x(1)n8,a0,b1,h,f(x)

84x2复化梯形公式为

7hT8[f(a)2f(xk)f(b)]0.11140

2k1复化辛普森公式为

77hS8[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]0.11157

k6k0k121x2(2)n10,a0,b1,h复化梯形公式为

1(1e),f(x) 10x9hT10[f(a)2f(xk)f(b)]1.39148

2k1复化辛普森公式为

99hS10[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.45471

k6k0k12(3)n4,a1,b9,h2,f(x)x,

复化梯形公式为

3hT4[f(a)2f(xk)f(b)]17.22774

2k1复化辛普森公式为

33hS4[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]17.32222k6k0k12(4)n6,a0,b复化梯形公式为

6,h36

,f(x)4sin25hT6[f(a)2f(xk)f(b)]1.03562

2k1复化辛普森公式为

55hS6[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.03577

k6k0k12

6。若用复化梯形公式计算积分I过

10exdx，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超

1105？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 2解：p108

采用复化梯形公式时，余项为

Rn(f)ba2hf(),(a,b) 12又

Iexdx

01故f(x)ex,f(x)ex,a0,b1.

Rn(f)12ehf()h2 121215若Rn(f)10，则

26h2105

e当对区间[0,1]进行等分时，

h1, n故有

ne105212.85 6因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为

Rn(f)又

bah4(4)()f(),(a,b) 1802f(x)ex,

f(4)(x)ex, 14(4)e4Rn(f)h|f()|h28802880若Rn(f)1105，则 2h41440105 e当对区间[0,1]进行等分时

n1 h故有

1144054n(10)3.71

e因此，将区间8等分时可以满足误差要求。