数值分析第五版答案

1．设x0,x的相对误差为，求lnx的误差。

*解：近似值x的相对误差为=er*e*x*x 而lnx的误差为x*x*elnx*1lxn*xlnx* e * 进而有(lnx*)

n2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。

3．解：设f(x)xn，则函数的条件数为Cp|xf'(x)| 又

f(x)f'(x)nxn1,

xnxn1Cp||n 又r((x*)n)Cpr(x*) 且er(x*)为2 r((x*n))n 20.n03．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

*****出它们是几位有效数字：x11.1021,x20.031, x3385.6, x456.430,x571.0. ***解：x11.1021是五位有效数字；x20.031是二位有效数字；x3385.6是四位有效数**字；x456.430是五位有效数字；x571.0.是二位有效数字。

********4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x1,(2) x1. /x4x2x4x2x3,(3) x2****其中x1均为第3题所给的数。 ,x2,x3,x4121*(x2)103解： 21*(x3)10121*(x4)10321*(x5)1012(x1*)104***(1)(x1x2x4)***(x1)(x2)(x4)11110410310322231.0510

***(2)(x1x2x3)*********x1x2(x3)x2x3(x1)x1x3(x2)

1111.10210.0311010.031385.61041.1021385.61032220.215**(3)(x2/x4)****x2(x4)x4(x2)*x42

110.03110356.4301032256.43056.4301055计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为V4R3 32则何种函数的条件数为CRV'R4R3 r(V*)Cpp43VR3r(R*)3r(R*)

又

r(V*)1故度量半径R时允许的相对误差限为r(R*)10.33

1783 （n=1,2,…） 100136．设Y028，按递推公式YnYn1计算到Y100。若取78327.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？

111783 Y100Y9783YY783 9999810010010011Y98Y97783 …… Y1Y0783依次代入后，有

1001001Y100Y0100783 即Y100Y0783，若取78327., 982100131*Y100Y027.982 (Y100)(Y0)(27.982)103 Y100的误差限为10。

22解：YnYn17．求方程x56x10的两个根，使它至少具有4位有效数字（78327.982）。 解：x56x10，故方程的根应为x1,228783 故 x1287832827.98255.982 x1具有5位有效数字

22x228783128783110.017863 x2具有5位有效数字

2827.98255.9828．当N充分大时，怎样求

N1N1dx？ 解 21xN1N1dxarctan(N1)arctanN 21x设arctan(N1),arctanN。则tanN1,tanN. 1N1x2dxN1arctan(tan())tantan

arctan1tantanN1Narctan1(N1)N1arctan2NN19．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？

2解：正方形的面积函数为A(x)x2 (A*)2A*(x*). 当x*100时，若(A*)1,

12102 故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm 21210．设Sgt，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的

2则(x*)绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：

S12gt,t0 (S*)gt2(t*) 当t*增加时，S*的绝对误差增加 2r(S*)(S*)S*gt2(t*)1*2g(t)2(t*)2*t 当t*增加时，(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。

11．序列yn满足递推关系yn10yn11 (n=1,2,…),若y021.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：

1y021.41(y0*)2又

21 0又

yn10yn11 y110y01

(y1*)10(y0*)(y2*)102(y0*)......101 10102y210y11(y2*)10(y1*)

0(y10*)110y(0*)2 计算到y10时误差为

1108，这个计算过程不稳定。 218102 12．计算f(21)6，取2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

1, 6(21)(322)3,

1， 99702。解：设y(x1)6，若x(322)32，

11x*1.4，则x*101。若通过计算y值，则

2(21)6y*1x*7(x1)*6y*x**7(x1)

y*x*y*(32x*)2x*若通过(322)3计算y值，则6y*x**32xy*x*y*1x**4(32x)

若通过11计算y值，则3y*x* *7(322)(32x)y*x*通过1计算后得到的结果最好。

(322)313．f(x)ln(xx21),求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(xx21)ln(x解

求对数时误差有多大？ x21)计算，

f(x)ln(xx21), f(30)ln(309) 设u9,yf(30)

**则u u14 2y*故u**u

1u*0.01673

若改用等价公式ln(xx21)ln(xx21) 则f(30)ln(309)此时，

y*u**u,1,2第二章 插值法1．当x1时，f(x)0,3,4,求f(x)1u*59.98337的二次插值多项式。

x01,x11,x22,解：

(xx1)(xx2)1l0(x)(x1)(x2)(x0x1)(x0x2)2l1(x)l2(x)(xx0)(xx2)1(x1)(x2)(x1x0)(x1x2)6(xx0)(xx1)1(x1)(x1)(x2x0)(x2x1)3f(x0)0,f(x1)3,f(x2)4;

则二次拉格朗日插值多项式为L2(x)3l0(x)4l2(x)yl(x)

kkk02

14(x1)(x2)(x1)(x1)23537x2x6232．给出f(x)lnx的数值表 X lnx 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.356675 0.8 -0.223144 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。

x00.4,x10.5,x20.6,x30.7,x40.8;解：由表格知，

f(x0)0.916291,f(x1)0.693147f(x2)0.510826,f(x3)0.356675f(x4)0.223144

若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)，则0.50.540.6 l1(x)l2(x)xx210(x0.6)x1x2xx110(x0.5) x2x1L1(x)f(x1)l1(x)f(x2)l2(x) 6.9314x7(0.6) ( L1(0.54)0.62021865.x10826 6202190.若采用二次插值法计算ln0.54时，

l0(x)l1(x)l2(x)(xx1)(xx2)50(x0.5)(x0.6)(x0x1)(x0x2)(xx0)(xx2)100(x0.4)(x0.6)

(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx1)50(x0.4)(x0.5)(x2x0)(x2x1)L2(x)f(x0)l0(x)f(x1)l1(x)f(x2)l2(x)L2(0.54)0.615319840.615320500.916291(x0.5)(x0.6)69.3147(x0.4)(x0.6)0.51082650(x0.4)(x0.5)3．给全cosx,0x90的函数表，步长h1(1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

当0x90时，令f(x)cosx 取x00,h(令xix0ih,i0,1,...,5400 则x540011) 606018010800290当xxk,xk1时，线性插值多项式为

L1(x)f(xk)xxk1xxk 插值余项为 f(xk1)xkxk1xk1xk1f()(xxk)(xxk1) 2R(x)cosxL1(x)又

在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx0,1，故计算中有误差传播

过程。

1(f*(xk))1052xxk1xxk1R2(x)(f*(xk))(f*(xk1))xkxk1xk1xk(f*(xk))(xxk1xxk1)xkxk1xk1xk

1(f*(xk))(xk1xxxk)h(f*(xk))总误差界为

RR1(x)R2(x)1(cos)(xxk)(xxk1)(f*(xk))21(xxk)(xk1x)(f*(xk)) 211(h)2(f*(xk))2211.0610810520.501061054．设为互异节点，求证：

k（1）xk (k0,1,n,（)2）(xjx)klj(x)0 (k0,1,n, )jlj(x)xj0j0nn证明(1)令f(x)x若插值节点为xj,j0,1,k,n，则函数f(x)的n次插值多项式为

f(n1)()Ln(x)xl(x)。插值余项为Rn(x)f(x)Ln(x)n1(x)

(n1)!j0kjjn又

kn,

nf(n1)()0kk xjlj(x)x (k0,1,n, )Rn(x)0j0(2)(xjx)klj(x)j0n(Ckjxij(x)ki)lj(x)

j0ni0iknnC(x)(xijlj(x))kii0j0n又0in 由上题结论可知

原式Cki(x)kixii0nxl(x)x

kjjij0n(xx)k0 得证。

()5设f(x)C2a,b且f(a)f(b)0,求证： maxfxaxb12fxx ().b(a)maaxb8解：令x0a,x1b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x)f(x0)xx1xx0 =f(a)xbf(b)xa f(x1)abxax0x1xx0 插值余项为R(x)f(x)L1(x)又f(a)f(b)0L1(x)01f(x)(xx0)(xx1) 2f(x)又1f(x)(xx0)(xx1) 22(xx0)(xx1)1(xx0)(x1x)2 maxf(x)1(ba)2maxf(x).

axbaxb812(x1x0)41(ba)24xx6．在4x4上给出f(x)e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使

截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？

6解：若插值节点为xi1,xi和xi1，则分段二次插值多项式的插值余项为

R2(x)11f()(xxi1)(xxi)(xxi1)R2(x)(xxi1)(xxi)(xxi1)maxf(x)

4x43!6设步长为h，即xi1xih,xi1xih R2(x)1423343eheh.若截断62733R2(x)1066误差不超过10，则\\ 3e4h3106

27h0.0065.7．若yn2n,求4yn及4yn.， 解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

yn2n 4yn(E1)4yn

4(1)jE4jynj0j14424j4(E)(E1)yn(1)y4nj11j0j4224E24yn y(EE)ynn44yn2(1)j24jynjj0n24(21)4ynyn2n

28．如果f(x)是m次多项式，记f(x)f(xh)f(x)，证明f(x)的k阶差分。 kf(x)(0km)是mk次多项式，并且m1f(x)0（l为正整数）解：函数f(x)的Taylor展式为

f(xh)f(x)f(x)h其中(x,xh) 又

1f(x)h221(m)1f(x)hmf(m1)()hm1 m!(m1)!f(x)是次数为m的多项式

f(m1)()0f(x)f(xh)f(x) f(x)h1f(x)h221fm!(m)(x)hm

f(x)为m1阶多项式 2f(x)(f(x)) 2f(x)为m2阶多项式

依此过程递推，得kf(x)是mk次多项式 mf(x)是常数 当l为正整数时， m1f(x)09．证明(fkgk)fkgkgk1fk 证明(fkgk)fk1gk1fkgk

fk1gk1fkgk1fkgk1fkgk

gk1(fk1fk)fk(gk1gk)gk1fkfkgkfkgkgk1fkn1n1 得证

10．证明

fgkk0kfngnf0g0gk1fk

k0证明：由上题结论可知 fkgk(fkgk)gk1fk

n1fkgkk0n1(fkgk)fk1gk1fkgk

((fkgk)gk1fk)k0n1(fkgk)k0n1

(f1g1f0g0)(f2g2f1g1)fngnf0g0n1(fngnfn1gn1)(fkgk)gk1fkk0k0n1fkgkfngnf0g0gk1fk 得证。

k0k0n111．证明

j0n12yjyny0 证明yj(yj1yj)

2j0j0n1n1

(y1y0)(y2y1)yny0(ynyn1) 得证。

12．若f(x)a0a1x证明：

an1xn1anxn有n个不同实根x1,x2,,xn，

f(x)有个不同实根x1,x2,j1nxk0,0kn2;j证明：1f(xj)n0,kn1,xn (xxn)

而

且f(x)a0a1x令

an1xn1anxn f(x)an(xx1)(xx2)

则

n(x)(xx1)(xx2)(xxn)j1nknxkxjj(xj)f(xj)j1ann(x)(xx2)(xx3)(xxn)(xx1)(xx3)(xxn) n(xx1)(xx2)(xxn1)

(xj)(xjx1)(xjx2)ngx1,x2,nn(xjxj1)(xjxj1)(xjxn) 令g(x)xk,

nxkxknjjxk1j 则gx1,x2,,xn又,xngx1,x2,,xn (xj)(xj)anj1nj1nj1f(xj)j1xk0,0kn2;j 得证。 1f(xj)n0,kn113．证明n阶均差有下列性质： （1）若F(x)cf(x)，则Fx0,x1,则Fx0,x1,证明：（1）

,xncfx0,x,xn;(2）若F(x)f(x)g(x)，1,,xnfx0,x1,,xngx0,x1,,xn.

fx1,x2,,xnj0n(xjx0)f(xj)(xjxj1)(xjxj1)F(xj)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn)

Fx1,x2,n,xnj0n(xjx0)(xjxn)

j0(xjx0)ncf(xj)f(xj)c()

(xjxj1)(xjxj)(xx)(xjxj1)(xjxj)(xjxn)j0(xjx0)1jn1cfx0,x1,,xn 得证。

(2)F(x)f(x)g(x) j0nn(xjx0)f(xj)g(xj)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn)

j0(xjx0)f(xj))+

(xjxj1)(xjxj)(xjxn)1(xj0njx0)g(xj)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn))

fx0,,xngx0,,xn 得证。

01,27及F2,2,017414．f(x)xx3x1,求F2,2,,28。

解：

f(x)xx3x1 若xi2,i0,1,74i,8 则fx0,x1,f(n)(),xn

n!fx0,x1,f(7)()7!,x71 fx0,x1,7!7!f(8)(),x80

8!15．证明两点三次埃尔米特插值余项是 R3(x)f(4)()(xxk)2(xxk1)2/4!,(xk,xk1)

(xk)f(xk) 解：若x[xk,xk1]，且插值多项式满足条件 H3(xk)f(xk),H3(xk1)f(xk1) 插值余项为R(x)f(x)H3(x),由插值条件H3(xk1)f(xk1),H3可知

R(xk)Rxk1() ,且0R(xk)R(xk1)0 R(x)可写成

R(x)g(x)(xxk)2(xxk1)2 其中g(x)是关于x的待定函数，现把x看成[xk,xk1]上的一个固定点，作函数(t)f(t)H3(t)g(x)(txk)2(txk1)2 根据余

项性质，有

(xk)0,xk(1) 0(x)f(x)H3(x)g(x)(xxk)2(xxk1)2f(x)H3(x)R(x)0(t)g(x)[2(txk)(txk1)22(txk1)(txk)2](t)f(t)H3(xk)0

由罗尔定理可知，存在(xk,x)和(x,xk1)，使(1)0,(2)0 (xk1)0即(x)在[xk,xk1]上有四个互异零点。根据罗尔定理，(t)在(t)的两个零点间至少有一个零点，故(t)在(xk,xk1)内至少有三个互异零点，依此类推，(4)(t)在(xk,xk1)内

至少有一个零点。记为(xk,xk1)使(4)()f(4)()H3(4)()4!g(x)0 又

H(4)3(t)0

f(4)(),(xk,xk1)其中 g(x)4!依赖于

x

f(4())R(x)(xxk)2(xxk1)2 分段三次埃尔米特插值时，若节点为

4!xk(k0,1,,n)，设步长为h，即xkx0kh,k0,1,,n在小区间[xk,xk1]上

1(xxk)2(xk1x)2maxf(4)(x)axb4!f(4)()1xxkxk1x22R(x)(xxk)2(xxk1)2[()]maxf(4)(x)axb4!2 4!

1(4)11R(x)f()(xxk)2(xxk1)24h4maxf(4)(x)axb4!4!2h4maxf(4)(x)384axb

16．求一个次数不高于

4

次的多项式

P（x），使它满足

P(0)P(0)0,P(1)P(1)0,P(2)0

x00,x11解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式y00,y11

m00,m11

11H3(x)yjj(x)mjj(x)j0j0xx0xx120(x)(12)()x0x1x0x1(12x)(x1)2

1(x)(12(32x)x22xx1xx02(x)x(x1))()0 x1x0x1x0 21(x)(x1)xH3(x)(32x)x2(x1)x2x32x2 设P(x)H3(x)A(xx0)2(xx1)2

其中，A为待定常数

P(2)1P(x)x32x2Ax2(x1)17．设f(x)1(/ A21122 从而P(x)x(x3) 44)x2，在5x5上取n10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。

解：若x05,x105 则步长h1, xix0,1,0i,hi在小区间[xi,xi1]上，分段线性插值函数为

0 f(x), 11 1x2Ih(x)xxi1xxi11 f(xi)f(xi1) (xi1x)(xx)i22xixi1xi1xi1xi1xi1各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为当x4.5时，f(x)0.0471,Ih(x)0.0486;当

x3.5时，f(x)0.0755,Ih(x)0.0794;当x2.5时，f(x)0.1379,Ih(x)0.1500当x1.5时，f(x)0.3077,Ih(x)0.3500当x0.5时，f(x)0.8000,Ih(x)0.7500 h2误差maxf(x)Ih(x)maxf()

xixxi185x5f(x)又

f(x)126x2

f(x)1x2(1x2)32x,(1x2)2

24x24x3f(x)(1x2)4令f(x)0 得f(x)的驻点为x1,21f(x1,),f(x)3222 1和x30

1maxf(x)Ih(x)5x5418．求f(x)x2在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。解：在区间[a,b]上，

x0a,xnb,hixi1xi,i0,1,

,n1,

hmaxhi0in1f(x)x2 函数f(x)在小区间[xi,xi1]上分段线性插值函数为

Ih(x)xxi1xixi112[xi(xi1x)xi1(xxi)]hi1xmaxfx()Ihx()mfahi(2)xixxi18abxxif(xi)f(xi1)2f(x)xxi1xi 误差为 f(x)2x,f(x)22h2maxf(x)Ih(x)axb4

19．求f(x)x4在[a,b]上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：在[a,b]区间上，x0a,xnb,hixi1xi,i0,1,,n1,令hmaxhi

0in1f(x)x4,f(x)4x3函数f(x)在区间[xi,xi1]上的分段埃尔米特插值函数为

xxi12xxiIh(x)()(12)f(xi)xixi1xi1xixxi2xxi1()(12)f(xi1)xi1xixixi1xxi12()(xxi)f(xi)xixi1(xxi2)(xxi1)f(xi1)xi1xixi43(xxi1)2(hi2x2xi)hixi143(xxi)2(hi2x2xi1)hi4xi2(xx)(xxi)i12hi3

4xi132(xxi)2(xxi1)hi

误差为

f(x)Ih(x)1(4)44 f()(xxi)2(xxi1)2 hhi4!maxf(x)Ih(x)maxaxb0in116161hi4(4)maxf()()24axb2又

f(4)(x)4!24f(x)x4

20．给定数据表如下： Xj Yj 试求三次样条插值，并满足条件：(1)S(0.25)1.0000,S(0.53)0.6868; 解：

(2)S(0.25)S(0.53)0.0.25 0.5000 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 h0x1x00.05h1x2x10.09 h2x3x20.06h3x4x30.08 1j1hj1hj1hj,jhjhj1hj

533,2,3,411457924,2,3,011457f(x1)f(x0)fx0,x10.9540x1x0fx1,x20.8533fx2,x30.7717fx3,x40.7150

(1)S(x0)1.0000,S(x4)0.6868d06(fx1,x2f0)5.5200h0fx1,x2fx0,x14.3157

h0h1fx2,x3fx1,x23.20h1h2fx3,x4fx2,x32.4300h2h3d16d26d36d46(f4fx3,x4)2.1150h3由此得矩阵形式的方程组为

2 1 M0 5.5200

59 2 M1 4.3157 141432 2 M2  3.20

5534 2 M3 2.4300

77 1 2 M4 2.1150

求解此方程组得

M02.0278,M11.43M21.0313,M30.8070,M40.6539(xxj)36hjMj1hj62

三次样条表达式为 S(x)Mj(yj(xj1x)36hj2Mj1

)xxjhj(j0,1,,n1)Mjhj6)xj1xhj(yj1将M0,M1,M2,M3,M4代入得

6.7593(0.30x)34.8810(x0.25)310.0169(0.30x)10.9662(x0.25)x0.25,0.302.7117(0.39x)31.9098(x0.30)36.1075(0.39x)6.9544(x0.30)x0.30,0.39S(x)332.87(0.45x)2.2422(x0.39)10.4186(0.45x)10.9662(x0.39)x0.39,0.451.6817(0.53x)31.3623(x0.45)38.3958(0.53x)9.1087(x0.45)x0.45,0.53(2)S(x0)0,S(x4)0d02f00,d14.3157,d23.20

d32.4300,d42f40M0M4092143253070M14.3157由此得2M23.205M32.43002040矩阵开工的方程组为 求解此方程组，得

(xj1x)36hjM00,M11.8809M20.8616,M31.0304,M40(xxj)36hj 又三次样条表达式为

S(x)MjMj1

将M0,M1,M2,M3,M4代入得

Mjhj2xj1xMj1hj2xxj(yj)(yj1)6hj6hj6.2697(x0.25)310(0.3x)10.9697(x0.25)x0.25,0.303.4831(0.39x)31.5956(x0.3)36.1138(0.39x)6.9518(x0.30) x0.30,0.39S(x)332.3933(0.45x)2.8622(x0.39)10.4186(0.45x)11.1903(x0.39)x0.39,0.452.1467(0.53x)38.3987(0.53x)9.1(x0.45)x0.45,0.53

21．若f(x)C2a,b,S(x)是三次样条函数，证明：

(1)f(x)ab2dxS(x)dxa2b2

2f(x)S(x)abdx2S(x)f(x)S(x)dxab(2)若f(xi)S(xi)(i0,1,,n)，式中xi为插值节点，且ax0x1

xnb，则

baS(x)f(x)S(x)dxS(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)证明：

(1)f(x)S(x)af(x)2ba2bb2dx2bababdxS(x)dx2f(x)S(x)dx2baa 从而有af(x)bb2dxS(x)dxa2b2

af(x)dxS(x)dx2S(x)f(x)S(x)dxf(x)S(x)adx2S(x)f(x)S(x)dxab

第三章 函数逼近与曲线拟合

1． f(x)sin解：

22x，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式B1(f,x)及B3(f,x)。

,x[0,1]

nf(x)sin伯恩斯坦多项式为 Bn(f,x)f(k)Pk(x) 其中Pk(x)xk(1x)nk

nk0kn1当n1时， P0(x)(1x )0P1(x)xB1(f,x)f(0)P0(x)f(1)P1(x)1(1x)sin(0)xsin220x

当n3时，

kB3(f,x)f()Pk(x)nk01P0(x)(1x)30122 P1(x)x(1x)3x(1x)03P2(x)x2(1x)3x2(1x)13P3(x)x3x33303x(1x)2sin63x2(1x)sin3x3sin2

3332x(1x)2x(1x)x322533333623xxx2221.5x0.402x20.098x3k2.当f(x)x时，求证Bn(f,x)x.证明：若f(x)x，则 Bn(f,x)f(Pk)x( )nk0nknxk(1x)nkk0nknkn(n1)(nk1)kx(1x)nkk!k0nn(n1)[(n1)(k1)1]kx(1x)nk(k1)! k1

nn1knkx(1x)k1k1nn1k1(n1)(k1)xx(1x)k1k1x[x(1x)]n1nx3．证明函数1,x,,xn线性无关 证明：若a0a1xa2x2anxn0,xR

分别取xk(k0,1,2,11n1,n)，对上式两端在[0,1]上作带权(x)1的内积，得

此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，

1a0n1a0011an02n1只有零解a=0。 函数1,x,,xn线性无关。

4。计算下列函数f(x)关于C[0,1]的f(1)f(x)(x1)3,x[0,1](2)f(x)x1,2,f1与f2：

(3)f(x)xm(1x)n,m与n为正整数，(4)f(x)(x1)10ex

解：(1)若f(x)(x1)3,x[0,1]，则f(x)3(x1)20 f(x)(x1)3在(0,1)内单调递增

fmaxf(x)0x1fmaxf(x)0x1fmaxf(0),f(1) maxf(0),f(1) max0,11max0,112((1x)dx)0161211712[(1x)]07

77(2)若f(x)x1,x0,1，则

2ffmaxf(x)0x1112f21(f(x)dx)012121f(x)dx0

1121(x)dx2214121[(x)dx]20236

(3)若f(x)xm(1x)n,m与n为正整数当x0,1时,f(x)0

f(x)mxm1(1x)nxmn(1x)n1(1)

nmm1n1x(1x)m(1x)mmm)时,f(x)0f(x)在(0,)内单调递减 nmnmmm,1)时,f(x)0f(x)在(,1)内单调递减。 当x(nmnm当x(0,m

x(,1)f(x)0

nm

fmaxf(x)

0x1

ff(x)dx101mn01x(1x)dx

f2n22[x(1x)dx]04m4n212m2n121220mmaxf(0),f()

nm

mmnn

(mn)mn

(sint)(1sint)dsint202m [sintcostd(sint)]

2sin02mtcostcost2sintdt2n[2sin204m1tcos4n1tdt]12n!m!(nm1)!(2n)!(2m)![2(nm)1]!(4)若f(x)(x1)10ex 当x0,1时，f(x)0

f(x)10(x1)9ex(x1)10(ex)(x1)9ex(9x)0f f(x)在[0,1]内单调递减。

maxf(x)0x1maxf(0),f(1)210eff(x)dx10101(x1)10exdx(x1)10ex5f10e1202x01110(x1)9exdx002[(x1)edx]12347(2)4e

f5。证明fgfg 证明： (fg)gfggfgfg

6。对f(x),g(x)C[a,b]，定义 问它们是否构成内积。

1(1)f(g,)babffx(g)x(d)xx(g)x(d)x

f(a)g(a)(2)f(g,)a解：(1)令f(x)C（C为常数，且C0） 则f(x)0 而(f,f)baf(x)f(x)dx

这与当且仅当f0时，(f,f)0矛盾 不能构成C1[a,b]上的内积。

(2)若(f,g)f(x)g(x)dxf(a)g(a)，则

ab(g,f)g(x)f(x)dxg(a)f(a)(f,g),Kab(f,g)[f(x)]g(x)dxaf(a)g(a)ab

[f(x)g(x)dxf(a)g(a)]ab(f,g)hC1[a,b],则

(fg,h)[f(x)g(x)]h(x)dx[f(a)g(a)]h(a)abf(x)h(x)dxf(a)h(a)f(x)h(x)dxg(a)h(a)

aabb(f,h)(h,g)(f,f)[f(x)]2dxf2(a)0 若(f,f)0，则

ab[f(x)]dxab2,0且f2(a)0

1 f(x)0,f(a)0f(x)0即当且仅当f0时，(f,f)0.故可以构成C[a,b]上的内积。7。令Tn*(x)Tn(2x1),x[0,1]求T0*(x),T1*(x),T2*(x),T3*(x)。

解：若Tn*(x)Tn(2x1),x[0,1]，则

，试证Tn*(x)是在[0,1]上带权(x)1xx2的正交多项式，并

T01*n*(x)Tm(x)P(x)dxTn(2x1)Tm(2x1)011xx2 令t(2x1)，则t[1,1]，且xdxt1， 2T故01*n*(x)Tm(x)(x)dxt1Tn(t)Tm(t)d()12t1t12()2211Tn(t)Tm(t)dt211t11

又

*切比雪夫多项式Tk(x)在区间[0,1]上带权(x)11x2正交，且

0,nm1xT(x)T(x)d,nm0 1nm1t22,nm0Tn*(x)是在[0,1]上带权(x)T0*(x)T0(2x1)1,x[0,1]T1(x)x,x[1,1]T1*(x)T1(2x1)2x1,x[0,1]

1xx2的正交多项式。又T0(x)1,x[1,1]

T2(x)2x21,x[1,1]*T(x)T2(2x1)2

2(2x1)18x28x1,x[0,1]2T3(x)4x33x,x[1,1]T(x)T3(2x1)

2*3

4(2x1)33(2x1)32x48x18x1,x[0,1]32

8。对权函数(x)1x，区间[1,1]，试求首项系数为1的正交多项式n(x),n0,1,2,3. 解：若(x)1x，则区间[1,1]上内积为(f,g)n(xn(x),n(x))/(n(x),n(x))n(n(x),n(x))/(n1(x),n1(x))0(x,1)/(1,1)211f(x)g(x)(x)dx,定义0(x)1，

x(1x)dx(1x)dx11211201(x)x1(x2,x)/(x,x)则

111x3(1x2)dxx2(1x2)dx101(x,x)/(1,1)111x2(1x2)dx(1x2)dxn1(x)(xn)n(x)nn1(x) 其中

1162158532(x)x2252(x3x,x2)/(x2,x2)2225551223221(x5x)(x5)(1x)dx1222221(x5)(x5)(1x)dx0222(x2,x2)/(x,x)551222221(x5)(x5)(1x)dx122x(1x)dx125

1361752516701521793(x)x3x2xx3x57014

9。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族un(x)是[0,1]上带权

(x)1x2的正交多项式。证明：若Un(x)sin[(n1)arccosx]1x2 令xcos，

11Um(x)Un(x)1x2dxsin2[(m1)dsin[(m1)arccosx]sin[(n1)arccosx]0dx 当mn时 ，可得1  21x1cos[2(m1)]d00sin[(m1)sin[(n1)]2d1cos21sin[(m1)sin[(n1)]d02

当mn时，

0sin[(m1)sin[(n1)]d0sin[(m1)d{1cos(n1)}n11cos(n1)d{sin[(m1)]}0n1m1cos(n1)cos(m1)d0n1m11cos[(m1)]d{sin[(n1)]}0n1n1m1sin[(n1)]d{cos[(m1)]}0(n1)2m1()2sin[(n1)]sin[(m1)]d0n10

[1(m12)]sin[(n1)]sin[(m1)]d0 n10m12)1 sin[又mn，故(n(1)]smin[(d1) ] 得证。0

0n110。证明切比雪夫多项式Tn(x)满足微分方程(1x)Tn(x)xTn(x)nTn(x)0

22证明：切比雪夫多项式为Tn(x)cos(narccosx),x1 从而有

Tn(x)sin(narccosx)n(n1x2sin(narccosx)n(1x)nx1xnx1x211x2)Tn(x)sin(narccosx)322n2cos(narccosx) 1x2 得证。

(1x2)Tn(x)xTn(x)n2Tn(x)0sin(narccosx)n2cos(narccosx)sin(narccosx)n2cos(narccosx)211。假设f(x)在[a,b]上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式？ 解：

f(x)在闭区间[a,b]上连续存在x1,x2[a,b]，使

axbf(x1)minf(x),f(x2)maxf(x),axb 取P1[f(x1)f(x2)] 则x1和x2是[a,b]上的2个轮流为2“正”、“负”的偏差点。由切比雪夫定理知 P为f(x)的零次最佳一致逼近多项式。 12。选取常数a，使maxxax达到极小，又问这个解是否唯一？

0x13maxx3ax3解：令f(x)xax 则f(x)在[1,1]上为奇函数

0x1maxx3ax1x1

f又

f(x)的最高次项系数为1，且为3次多项式。3(x)1T(x)与0的偏差最小。 3323133a 从而有 3(x)T3(x)xx444x在[0,13。求f(x)sinf(x)sinx,x[0,]2f(x)cosx,f(x)sinx0f(b)f(a)2a1,ba2cosx2,2]上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解：



x2arccos20.88069f(x2)0.77118f(a)f(x2)f(b)f(a)ax22ba20.10526a0

于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为

sinxP1(x)0.10526P)1(x2即0.105x26sinx0.105262x,0x2 误差限为 sin0P(0)

1

14。求f(x)ex0,1在0,1上的最佳一次逼近多项式。

f(b)f(a)e1baf(x)ex,x0,1x解： f(x)ex, e2e1x2ln(e1)xa1

f(x)e0f(x2)ex2e1f(a)f(x2)f(b)f(a)ax22ba21(e1)ln(e1)(e1)221ln(e1)2a0于是得fe1(e1)[xln(e1)](x)的最佳一次逼近多项式为 221(e1)x[e(e1)ln(e1)]2P1(x)4315。求f(x)x3x1在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：

111f(x)x43x31,x[0,1] 令t2(x)，则t[1,1] 且xt

2221111f(t)(t)43(t)31 22221(t410t324t222t9)16令g(t)16f(t)，则g(t)t10t24t22t9 若g(t)为区间[1,1]上的最佳三次

*逼近多项式P3(t)min 3(t)应满足 maxg(t)P1t1*432当g(t)P3(t)*3*1142*T(t)(8t8t1)时，多项式g(t)P43(t)与零偏差最小，故 328

738(t)g(t)1T4(t)2310t325t222t进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式为

1*P3(t)，则f(x)的三次最佳一致逼近多项式16*32为P3(t)16[10(2x1)25(2x1)22(2x1)8]

173511295x3x2x441282416。f(x)x，在1,1上求关于span1,x,x的最佳平方逼近多项式。

解：

2则 f(x)x,x1,1 若(f,g)f(x)g(x)dx 且01,1x2,2x4，

1212222022,12,22,59则法方程组为211(f,0)1,(f,1),(f,2),323222(0,1)1,(0,2),(1,2),5752325272a00.117187515a0 解得a1.0625 121a1a0.8203125272a2219324故f(x)关于span1,x,x的最佳平方逼近多项式为

2S*(x)a0a1x2a2x40.11718751.0625x0.8203125x4

17。求函数f(x)在指定区间上对于span1,x的最佳逼近多项式： 1(1)f(x),[1,3];(2)f(x)ex,[0,1]; x(3)f(x)cosx,[0,1];(4)f(x)lnx,[1,2];解：(1)231f(x),[1,3];若(f,g)f(x)g(x)dx 且01,1x,，则有

1x2022,12(0,1)4,26,32 则法方程组为4(f,0)ln3,(f,1)2,4 a0ln326a123a01.1410 从而解得a10.2958故f(x)关于span1,x的最佳平方逼近多项式为

1S*(x)a0a1x1.14100.2958x

(2)2f(x)ex,[0,1] 若(f,g)f(x)g(x)dx 且01,1x,，则有

0211 则法方程组为(0,1),21(f,0)e1,(f,1)1,2021,12,131a0.18782a0e1 从而解得0 a1.62441a1113故f(x)关于span1,x的最佳平方逼近多项式为

1S*(x)a0a1x0.18781.6244x

(3)f(x)cosx,x[0,1] 若(f,g)f(x)g(x)dx 且01,1x,，则有

01 则法方程组为1(0,1),1222(f,0)0,(f,1)2,021,12,22131a01.21590a 从而解得 202a10.243171a123故f(x)关于span1,x的最佳平方逼近多项式为

2S*(x)a0a1x1.21590.24317x

(4)2f(x)lnx,x[1,2]若(f,g)f(x)g(x)dx且01,1x,则有

12021,12,3(0,1),23(f,0)2ln21,(f,1)2ln2,473

则法方程组为13232ln21从而解得2a037a12ln243a00.6371 a0.68221故f(x)关于span1,x最佳平方逼近多项式为18。f(x)sin解：

S*(x)a0a1x0.63710.6822x

2x，在[1,1]上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。

f(x)sin122x,x[1,1]按勒让德多项式P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)展开

xdx2cos8(f(x),P0(x))sin111121x10*a0(f(x),P0(x))/20(f(x),P1(x))xsin2xdx31(f(x),P2(x))(x2)sinxdx0122215348(210)3(f(x),P3(x))(xx)sinxdx122242 则

*a13(f(x),P1(x))/2122168(210)

*a25(f(x),P2(x))/20a7(f(x),P3(x))/2*34从而f(x)的三次最佳平方逼近多项式为

*****S3(x)a0P0(x)a1P1(x)a2P2(x)a3P3(x)168(210)5332x(xx)4222420(10)3120(2122)x4412

1.5531913x0.5622285x319。观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间t(s) 距离s(m) 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110 求运动方程。

解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程

sabt令span1,t则

026,1253.63,(0,1)14.7,(0,s)280,(1,s)1078,从而解得2214.7a2806 则法方程组为

14.753.63b1078a7.855048

b22.25376故物体运动方程为S22.25376t7.855048

20。已知实验数据如下： xi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 yj 用最小二乘法求形如sabx的经验公式，并计算均方误差。

222解：若sabx，则span1,x 则(,)5327,

01(f,0)271.4,(f,1)369321.5,025,127277699,22

则法方程组为5327a271.45

53277277699b369321.5a0.9726046从而解得

b0.0500351故y0.97260460.0500351x, 均方误差为[2(y(x)y)]jjj041220.1226

21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间t 浓y(104) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 度0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4. bt用最小二乘法求yf(t)。解：观察所给数据的特点，采用方程yae,(a,b0) 两

**11边同时取对数，则lnylnab 取span1,,Slny,x 则Sabx

ttt0211,120.062321,(0,1)0.603975,(0,f)87.674095,(1,f)5.0324,*22则法方程组为110.603975a*87.674095

b*5.03240.6039750.0623217.4961692ta7.5587812 因此ae5.2151048 y5.21510从而解得e48*bb*7.4961692b7.4961692a*

22。给出一张记录{fk}(4,3,2,1,0,1,2,3),用FFT算法求{ck}的离散谱。

041,解：{f154ik}(4,3,2,1,0,1,2,3), 则k0,1,,7,N8 e, 26e2ii,37e34i, k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 4 3 2 1 0 1 2 3 A1 4 4 4 2 4 0 4 23 A2 8 4 0 4 8 22 0 22 Cj 16 422 0 422 0 422 0 422 R3x26x22(x)x26x623，用辗转相除法将R3x26x22(x)312x18x26x6化为连分式。解

x26x6 3123x942x323120.75x4.5x1.5

24。求f(x)sinx在x0处的(3,3)阶帕德逼近R33(x)。

f(x)sinx在x0处的泰勒展开为sinxxx3x5x7解：由3!5!7! 得C00,C11,CC C111b3C20,5C15!120C2b2C3b, 1C60,从而C2b3C3b2C4b1 C 5 33!16,C3b3C4b2C5b1C6C40,即

1016106b0 3110b26120b1010120b301 又 从而解得b220b10akCjbkjCk(k0,1,2,3) 则

j0k1a0C00a1C0b1C10a2C0b2C1b10a3C0b3C1b2C2b1C3760 故

a0a1xa2x2a3x3R33(x)1b1xb2x2b3x373x6011x22060x7x3603x3x

25。求f(x)e在x0处的(2,1)阶帕德逼近R21(x)。

xx2x3解：由f(x)e在x0处的泰勒展开为 e1x2!3!xx

C01,得

C11,11C2,2!211C3,3!6 从而C2b1C3即1b11解得b1又1326akCjbkjCk(k0,1,2),

j0k1a0C01

23 故 211xx2136a2C1b1C2161xa1C0b1C1364xx262xR21(x)a0a1xa2x21b1x

(2)S(x)f(x)S(x)dxabS(x)df(x)S(x)abbbS(x)f(x)S(x)f(x)S(x)d[S(x)]aaS(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)S(x)f(x)S(x)dxab

S(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)S(k0n1n1xkxk1)2f(x)S(x)dxxkxk1S(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)S(k0xk1xkxk1)f(x)S(x)xk2S(b)f(b)S(b)S(a)f(a)S(a)

第四章 数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具

有的代数精度：

(1)f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);hh(2)2h2h1f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);

(3)f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3;1h(4)f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)];0解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若(1)f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h) 令f(x)1，则2hA1A0A1

hh223令f(x)x，则 0A1hAh 令，则 f(x)xhh2A1h2A1 134A03h从而解得

1A1h31A13h 令f(x)x，则

3hhf(x)dxx3dx0

hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0故f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

hh令f(x)x，则

4hhh2f(x)dxx4dxh5h5

2A1f(h)A0f(0)A1f(h)h53故此时，f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

hh故f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h) 具有3次代数精度。

hh（2）若2h2h f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h) 令f(x)1，则 4hA1A0A12163令f(x)x，则 0A1hAh 令，则f(x)xhh2A1h2A1 134Ah03从而解得

8A1h38A13h 令f(x)x，则

32h2hf(x)dx2h2hx3dx0

A1f(h)A0f(0)A1f(h)0故令f(x)x，则故此时，

42h2h2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

516h; A1f(h)A0f(0)A1f(h)h5 53f(x)dx2h2hx4dx2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

因此，

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)具有3次代数精度。 f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3 令f(x)1，则

（3）若

1111f(x)dx2[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3 令f(x)x， 则012x13x2

2x10.29x10.69令f(x)x，则212x3x 从而解得 或

x0.5266x0.1266222122

令f(x)x3，则故

11f(x)dxx3dx0 [f(1)2f(x1)3f(x2)]/30

1111因此，原求积公式具有2次代数精度。 f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3不成立。

h（4）若f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)] 令f(x)1，则

0h0f(x)dxh,

h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h 令f(x)x，则

h0f(x)dxxdx0h12h212h2h

h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]1313hh2ah2f(x)dx02令f(x)x2，则 0 故有3

11ah[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h32ah2122h1xdxh332令f(x)x，则

3h0f(x)dxx3dx0h14h4

h[f(0)f(h)]/2h12111h[f(0)f(h)]h4h4h412244h1f(x)dxx4dxh5405令f(x)x，则 0

1111h[f(0)f(h)]/2h2[f(0)f(h)]h5h5h512236故此时，f(x)dxh[f(0)f(h)]/20h12h[f(0)f(h)], 12因此，

h0f(x)dxh[f(0)f(h)]/212h[f(0)f(h)]具有3次代数精度。 12(1)xdx,n8;04x212.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

(2)(3) (1e)dx,n10;0x191x21xdx,n4;(4)sin2d,n6;0

1x解：(1)n8,a0,b1,h,f(x) 复化梯形公式为

84x27hT8[f(a)2f(xk)f(b)]0.11140 复化辛普森公式为

2k177hS8[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]0.11157

k6k0k1291(1e)复化梯形公式为h,f(x)T10[f(a)2f(xk)f(b)]1.39148 10x2k11x2(2)n10,a0,b1,h复化辛普森公式为S10h[f(a)4f(x6k09k12)2f(xk)f(b)]1.45471

k19(3)n4,a1,b9,h2,f(x)x, 复化梯形公式为

3hT4[f(a)2f(xk)f(b)]17.22774

2k1复化辛普森公式为

33hS4[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]17.32222k6 k0k12(4)n6,a0,b6,h36,f(x)4sin25复化梯形公式为T6h[f(a)2f(xk)f(b)]1.03562 2k155h复化辛普森公式为S6[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.03577

k6k0k123。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。 证明：柯特斯公式为f(x)dxabba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)] 90

令f(x)1，则af(x)dx90bbaba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)]ba90令f(x)b12f(x)dxxdx(ba2)aax，则 2ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b2a2)902b令f(x)x2b1f(x)dxx2dx(b3a3)a，则a 3ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b3a3)903b令f(x)x3b143f(x)dxxdx(ba4)aa，则 4ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b4a4)904b令f(x)x4b1545f(x)dxaxdx5(ba)，则a ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b5a5)905bbb566令f(x)x5，则af(x)dxaxdx6(ba)1

ba1[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)](b6a6)906令f(x)x6，则f(x)dxba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)] 090h因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。 4。用辛普森公式求积分解：辛普森公式为S10exdx并估计误差。

baabx[f(a)4f()f(b)] 此时，a0,b1,f(x)e, 62411baba1从而有S(14e2e)0.63233 误差为R(f)180(2)6f(4)()

114e00.00035,(0,1)18025。推导下列三种矩形求积公式：ab证明：(1)babaf()(ba)2; 2f()f(x)dx(ba)f(b)(ba)2;2abf()f(x)dx(ba)f()(ba)3;224f(x)dx(ba)f(a)f(x)f(a)f()(xa),(a,b) 两边同时在[a,b]上积分，得

babf()b2f(x)dx(ba)f(a)f()(xa)dx 即af(x)dx(ba)f(a)2(ba) a(2)f(x)f(b)f()(bx),(a,b)两边同时在[a,b]上积分，得f(x)dx(ba)f(a)f()(bx)dx

aabb即

baf(x)dx(ba)f(b)(3)f()(ba)2 2abababf()ab2f(x)f()f()(x)(x),(a,b)22222两连边同时在[a,b]上积分，得

baf(x)dx(ba)f(ababbabf()bab2

)f()(x)dx(x)dxa2222a2b即f(x)dx(ba)f(ab)f()(ba)3;

a2246。若用复化梯形公式计算积分I过

edx，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超

01x1105？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 2解：采用复化梯形公式时，余项为

Rn(f)ba2hf(),(a,b) 又1212ehf()h2 12122xxIexdx 故f(x)e,f(x)e,a0,b1.

01Rn(f)若Rn(f)1105， 则 h10 当对区间[0,1]进行等分时，h,

ne2故有ne105212.85 因此，将区间213等分时可以满足误差要求

6561采用复化辛普森公式时，余项为Rn(f)ba(h)4f(4)(),(a,b) 又

1802f(4)(x)ex,14(4)eRn(f)h|f()|h428802880f(x)ex,

若Rn(f)114401105，则 h4105 当对区间[0,1]进行等分时n 故

h2e114405410)3.71 因此，将区间8等分时可以满足误差要求。 有n(e7。如果f(x)0，证明用梯形公式计算积分Ibaf(x)dx所得结果比准确值I大，并说

f()(ba)3,[a,b] 12明其几何意义。 解：采用梯形公式计算积分时，余项为RT又

f(x)0且ba RT0 又RT1T IT 即计算值比准确值大。

其几何意义为，f(x)0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。

(1)2e01xdx8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10.

5(2)xsinxdx02

(3)x1x2dx.03解：(1)I2e01xdx

k 0 1 2 3 2T0(k) 0.7717433 0.7280699 0.7169828 0.7142002 T1(k) 0.7135121 0.7132870 0.7132726 T2(k) 0.7132720 0.7132717 T3(k) 0.7132717 因此I0.713727

(2)Ixsinxdx

0k 0 1 因此I0 (3)Ix1x2dx

03T0(k) 3.45131310 8.62828310 7T1(k) 6 -4.4469231021 k 0 1 2 3 4 5 T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k) 14.2302495 11.1713699 10.1517434 10.4437969 10.2012725 10.2045744 10.2663672 10.2072240 10.2076207 10.2076691 10.2222702 10.2075712 10.2075943 10.2075939 10.2075936 10.2112607 10.2075909 10.2075922 10.2075922 10.2075922 10.2075922 因此I10.2075922

9。用n2,3的高斯-勒让德公式计算积分解：I31exsinxdx.

31exsinxdx.

x[1,3令],tx2，则t[1,1]用n2的高斯—勒让德公

式计算积分 10.9484I0.5555556[f(0.7745967)f(0.7745967)]0.88888f(0)

用n3的高斯—勒让德公式计算积分

I0.3478548[f(0.8611363)f(0.8611363)]0.6521452[f(0.3399810)f(0.3399810)] 10.9501410 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是Sa20c1()2sin2d,

a这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则a(2RHh)/2,c(Hh)/2. 我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周

a(2RHh)/27782.5长。解：R6371,h439,H2384 从而有。

c(Hh)/2972.5cS4a21()2sin2d0ak 0 1 2 T0(k) 1.50 1.56 1.56 T1(k) 1.58 1.56 T2(k) 1.56

I1.56 即人造卫星轨道的周长为48708km

S48708(km)11。证明等式nsinn33!n255!n4

试依据nsin()(n3,6,12)的值，用外推算法求的近似值。

n解 若f(n)nsin, 又sinxx1x31x5n3!5!f(n)nsin 此函数的泰勒展式为

n]11n[()3()5n3!n5!n Tn(k)

33!n255!n4当n3时, nsin2.598076 当n6时, nsin3

nn当n12时, nsin3.105829 n由外推法可得 n 3 6 9 故3.14158 12。用下列方法计算积分

T0(n) 2.598076 3.000000 3.105829 T1(n) 3.133975 3.141105 T2(n) 3.141580 31dy，并比较结果。(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式； y(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解I(1)采用龙贝格方法可得 k 31dy yT0(k) 1.333333 1.166667 1.116667 1.103211 1.099768 T1(k) 1.099259 1.100000 1.098726 1.098620 T2(k) 1.099259 1.0981 1.098613 T3(k) 1.098613 1.098613 T4(k) 1.098613 0 1 2 3 4 故有I1.098613

3(2)采用高斯公式时Idy 此时y[1,3], 令xyz,则x[1,1],

1yI1dx,1x2 利用三点高斯公式，则

1f(x),x21I0.5555556[f(0.7745967)f(0.7745967)]0.88888f(0)1.098039I0.2369239[f(0.9061798)f(0.9061798)]

利用五点高斯公式，则0.4786287[f(0.5384693)f(0.5384693)]0.56888f(0)

1.098609(3)采用复化两点高斯公式将区间[1,3]四等分，得

II1I2I3I41.522.531dydydy1.522.5yyyy1dy 作变换yx5，则 41dx,1x51 f(x),x5I1f(0.5773503)f(0.5773503)0.4054054I11dx,1x7x7作变换y，则f(x)1,

4x7I2f(0.5773503)f(0.5773503)0.2876712I21作变换yx941dx,1x91，则

f(x),x9I3f(0.577350f3)I31

(0.5773503)0.2231405作变换y1dx,1x11x11，则因此，有I1f(x),4x11I4f(0.5773503)f(0.5773503)0.1823204I411.098538

13.用三点公式和积分公式求f(x)1在x1.0,1.1，和1.2处的导数值，并估计误差。2(1x)f(x)的值由下表给出：

x F(x) 解：f(x)1.0 1.1 1.2 0.2500 0.2268 0.2066 1 由带余项的三点求导公式可知

(1x)21h2[3f(x0)4f(x1)f(x2)]f()2h3 1h2f(x1)[f(x0)f(x2)]f()2h61h2f(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]f()2h3f(x0)又

f(x0)0.2500,f(x1)0.2268,f(x2)0.2066,

1[3f(x0)4f(x1)f(x2)]0.2472hf(x0)1f(x1)[f(x0)f(x2)]0.2172h1f(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]0.1872h

又

f(x)1 24 又

f(x)(1x)2(1x)5h2R(x0)f()2.51033x[1.0,1.2] f()0.7 5故误差分别为

h2R(x1)f()1.251036h2R(x2)f()2.51033利用数值积分求导， 设(x)f(x) f(xk1)f(xk)由梯形求积公式得xk1xk1xk(x)dx

xk(x)dx[(xk)(xk1)]

h2从而有f(xk1)f(xk)[(xk)(xk1)] 2[fx(x()]1)f0h故 2(x1)(x2)[fx(2)f1x()]hh2(x0)(x1)又

f(xk1)f(xk1)xk1xk1(x)dx 且(x)dxh[(xk1)(xk1)]

xk1xk1从而有f(xk1)f(xk1)h[(xk1)(xk1)] 故(x0)(x2)(x0)(x1)0.4(x0)0.247即(x)(x)0.404 解方程组可得(x)0.217

121(x)(x)0.434(x)0.1872021[f(x2)f(x0)] h