２０１１年第３期 数学教学 ３ — １７ 均值不等式链的统一性证明探究 ７１００２１陕西省西安中学薛宪鹏 我们知道，对于正数ａ、ｂ而言，、／／曲被称为 一、三角形中的线段解释 几何平均数． 厶 为算术平均数，、Ｖ／ 为 问题如图１所示，由直角三角形射影定理 可知，若斜边上的高将斜边分为“、６两份（即ＢＤ 平方平均数（也称均方根），＿ ｉ为渊和平均数． ｎ＋吉 ＝＝ａ，ＣＤ＝ｂ，不妨设ｎ＞ｂ）：那么斜边上的高 运用基奉不等式，我们不难证得当ａ≠ｂ时，这 ＡＤ嘞俩．即为、／／曲．那么寺、那么 、些平均数之间的大小关系如下： ｎ 十ｂ 、、、＼’／ 能能 奇＜ ＜ ＜＼’／ ． 西也在此直角三角形中找到具体的背景？由此 一能不能给出均值不等式链的一种解释性证明呢？ ａ十一ｂ 在教学过程中，我们以问题为线索，启发引 导学生在思考的基础之上进行合作探究，得 到了该不等式链的多种统一性证明或解释，并在 此过程之Ｌ卜 学生切身感受了数学的统一与和谐 Ｂ Ｎ Ｅ Ｄ Ｃ 深刻体会到ｌ『数学的乐趣与美妙．现将整个教学 图１ 过程予以整理，以供各位教师教学参考． 分析：显然，直角三角形ＡＢＣ斜边上的ｆｆ１线 得，得， ＤＥ ＝ ２ａｂ＝ ｆ） ，而 而ＡＤ＝ ＝ ，则、／／ ＞ 点 ，连结 ａ ＋２ａｂ 设Ｐｎ ＝ａ，ＱＡ，＝ｂ（ａ＞ｂ＞０），则 ａ＋ｂ。 ４ ＝ ， ＝Ｔａ＋ｂ；ＲｔＡＡＣＭ （ｉ Ａ Ｅ ｛ 、。。。。。。。。一ｂ。。。一 Ｍ＝ｖ／—ＡＡＩ２＿—ＡＣ２＝、 二二一 一俩． ２ ＨＭ＝面ＣＭ２ａｂ２ａｂｌ ＼： ： ；ＲｔＡＡＲＭ ￣／ ／．。．．．。．． ｌ２＼一ａ＋ｂ２ ２ — ＼ｌ ｔ ｔ ｒｆＪ．Ｒｎ，＝ ＝ Ｖ— 一’ 又 Ｍ＜ＣＭ＜ ＜ＲＭ ． ＜何＜ Ｉ １ ｎ＋ｆ） ｎ寺ｂ｜（ ＋ｂ２ ＿ 。图３ ＜Ｖ— 一・ ・．．浮＞Ｔａ＋ｂ＞ ２ａｂ． 法二：如图４所示，直线 过圆Ａ的圆心 ，交圆 于点Ｐ、Ｑ．过点Ｍ作圆 的切线切 圆于点 ，连结ＡＣ．过点 作 垂直ＰＭ于 点Ⅳ，过点 作ＡＲ垂直Ｊｐ 于点 ，交圆 于 图４ １８ 数学教学 ａ＋ｂ ／ｎ ＋ｂ２ ２０１１年第３期 ２ 一Ｖ ２ 三、三角代换证明探究 问题三角中有大量的公式，这些公式可以 便于我们进行运算；另外，三角函数还有着有界 性、周期性等一些优于代数函数的性质，基于 此，三角代换在代数变形以及不等式证明中有着 广泛的应用．如果我们设 Ｉ一 Ｒ，则能借 助三角代换给出均值不等式链一个统一的论证 ＼／ 毒 ．显然有 Ｍ＜ＡＤ＜ ＜ ～， 眦击＜何＜Ｔａ’ｂ ａ＋ｂ＜￣／ ． 当且仅当ＡＢＣ为等腰直角三角形，即ａ＝ｂ 吨有盎＝ａ’ｂ ＝Ｔａ＋ｂ＝＼／ ． Ｉ—、定比分点证明探究 问题很显然，在数轴上，Ｔａ＋ｂ所对应的 点是ａ、ｂ所对应点的一个分点（即中点），那么 ＿ 、、／／（ｚ『）可否也看作０、ｂ所对应点的一个 上 ＋ ． 上 一ａ分点 即它们能否化为Ｔｂ＋ ｘ ａ的形式呢？由此， 能给出均值不等式链的一个统一的证明吗？ 分析：分别令＿厂（ ）＝ 晕警＝丁÷ ， ｎ ’６ ， ＞ｂ＞０，则函数，（可得 ＝尝 ）在『，、０．／ ，１＋ｃｏ）上单调递增，．显然，若设 故０＜鱼＜ａ Ｖ，／ 鱼＜ｌ＜ａ ａ，ｏ 于是有 ）＜．，（ ）＜ （詈）． 得－， ＜， ） ）， 即击ａ ｂ ＜ ＜ ＜ 当且仅当ｎ＝６时，有 兰 、／ ＝ ｎ ６ 吗？ 分析：设 ＝Ｒ， ∈（０，７丌）则可 令ａ＝２ＲＣＯＳ。０，ｂ＝２Ｒ ｓｉｎ。０，于是、／／ ＝ Ｒｓ ，＼’／ ／ －Ｒｖ／—１＋ｃｏ—ｓ２ ２０，寺＝十 ：（Ｒ ｓｉｎ２０）２——：Ｒ ｓｉｎ２ ２０． ａ＋６ Ｒ 由ｓｉｎ ２０＜ｓｉｎ ２０＜１＜、／／ｌ＋ＣＯ８ ２０得 Ｒｓｉｎ ２０＜Ｒｓｉｎ ２０＜Ｒ＜兄，／１＋ＣＯＳ２ ２０．即 寺＜何＜十 ＜＼’／ ． 当且仅当ＣＯＳ ０＝ｓｉｎ ０，即ａ＝ｂ时，有 击＝河＝十 一＼’／ ． 四、梯形中的割线解释 问题对于均值不等式链，我们换个角度来 寻找其形的背景． 显然， 可以视为梯形 的中位线（上、下底边长分别为ａ、ｂ，ａ＞６）， 丁 、、十 ／／ 、＼’／ ｛ ，能否也看作此梯形 中的线段长？由此，能给出均值不等式链的一个 统一的证明吗？ 分析：以ａ为下底、ｂ为上底作一个梯形 ＡＢＣＤ，再作４条直线均平行于两底分别交两 腰于 、Ｂ （ｉ＝１，２．３．４），如图２所示． 图２ Ｄ ２０１１年第３期 数学教学 ３一ｌ９ 也谈“三角形相似分割术＂ ３１５３００浙江省慈溪市育才中学初中部童浩军 设 、 、７、ｆ９是两个直角三角形的四个锐 角，凡满足（ ≤／了≤，≤０．由于两个直角三角 形不相似．所以只能有ｒ上＜ ≤ ＜０，且 、０ 在同一个直角三角形ｌ｛＿１． Ｂ 图２ Ａ 口 图３ 当分割线都经过锐角顶点时，很显然两个钝 角三角形相似，且两个钝角是对应角，而它ｆｆｌＶ，Ｊ Ｅ ｒ￣ＡＩＢ１平分梯形的面积，有 Ａ１１７１＝１／ Ｗ ｚ Ａ４Ｂ４： ：去． ； 十 Ａ ３／３＇ａ分梯形为两个相似的梯形，有 慧 ＜ ＡＢ南＜Ａ４／＜３＇４河＜Ａ＜ａＢ３ ＜Ａ＜２Ｂ、 ２＜ＡＩＢ．１＋ Ｖ Ａ３Ｌ￣３＝、／／ ； 当且仅当梯形成为平行四边形，即ｎ：６时． ４口４过两对角线的交点．有 有丁 ＝十 ＝ ＝、／ ＋一ｂ２． ｂ
