浅析数学建模思想在初中数学教学中的渗透
作者：汪宗燕
摘要：在初中数学教学中逐步渗透数学建模思想，通过引导学生建立数学模型解决实际问题来引导学生认识数学学科，真正意识到数学与实际生活的紧密联系，激发学生求知欲望，培养学生数学应用意识；同时引导学生建立数学模型能够有效的提升学生面对新问题时，分析问题、解决问题的能力；渗透数学建模思想能够培养学生的数学素养，提升学生思维品质的灵活性、创造性，对促进中学数学教学改革，全面推进中学数学素质教育有重要意义。
关键词：数学建模 数学素养 解决问题 转化 能力 一、有感数学建模
本人虽然从事教学工作时间不长，但是在初中数学教学中非常注重数学思想方法的教学，这与我大学四年的数学专业学习密不可分，尤其是在大学期间连续三年参加全国性的大学生数学建模竞赛让我对数学建模思想的认识比较深刻。在初中阶段数学中主要的思想方法有是函数与方程、转化、数形结合、分类讨论、数学建模等等，我个人认为函数与方程本质上就是一类数学模型，建模思想在解决实际问题时涵盖了函数与方程、转化这些思想方法。熟练掌握数学建模思想可以让我们在数学的王国里任意驰骋，对一些实际应用题、综合创新类题目迎刃而解，学生就不会再害怕遇到新问题。
然而建模思想在教学中却不太容易渗透，很多教师因为自身对建模思想体会有限而并不太重视这一思想方法，还有一些教师能够意识到这一思想的重要性，但在渗透这一思想时则趋向于形式化，比较空洞。初中数学的教学本质上就是数学素养的培养，古人云：“腹有诗书气自华”是对文学素养达到一定境界的判断，数学也是一样，所谓数学素养就是用数学的方式去思维，去面对问题解决问题，用数学的眼光去观察世界。
二、如何在教学中有效渗透数学建模思想 那么如何在教学中有效渗透数学建模思想？
（1）首先应该把握初中阶段我们所接触的常用模型。 1、方程（组）模型
方程（组）是研究现实世界数量关系最基本的数学模型，求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等关系，但要注意验证结果是否符合实际问题的意义。
例：某中学组织初一学生春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出了一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车日租金为每辆220元, 60座客车日租金为每辆300元,试问:(1)初一年级的人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?(2)若租用同一种车,要使每位同学都有座位,怎样租用更合算?
2、不等式模型
现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。
例：去年城区平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理。甲厂每小时可处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元。1、由甲乙两厂同时处理东城区的垃圾，每天需几小时完成？
2、如果规定每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
3、几何模型
诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。
例：在台风“麦莎”的袭击中，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。这棵树折断之前有多高？
4、函数模型
新课标提出，能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系变化，结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，能用一次函数，二次函数等来解决简单的实际问题。在学
习了正、反比例函数、一次函数和二次函数后，学生的头脑中已经有了这些函数的模型。因此，一些实际问题就可以通过建立函数模型来解决。
例：如图的抛物线形拱桥,当水面在 时,拱桥顶离水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 此时水面宽度为多少？水面宽度增加多少 ?
5、统计模型
在当前的经济生活中，统计知识的应用越来越广泛。而数学建模思想的应用在统计学方面的研究得到很好的体现。如新课标明确提出：体会用样本估计总体的思想。统计与概率是数学在生活，生产中应用的重要方面。在教学中应注重所学内容与日常生活，自然等领域的联系。
例：在某树林中100m2的面积上统计有8棵红枫树，整个树林面积为10000m2，你能估计整个树林共有多少棵枫树吗？
（2）建立模型要从培养学生的数学化思维开始
建模思想的渗透需要明确向学生提出数学化。何谓数学化？就是将实际问题转化为数学问题。教师应该引导学生通过阅读理解将文字语言转化为数学符号语言，这类训练需要引起重视。有了符号化的概念，选择合适的模型来解题也很关键。下面就以上其中一个例题进行说明。
如图的抛物线形拱桥,当水面在 时,拱桥顶离水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 此时水面宽度为多少？水面宽度增加多少 ?
此题是一道典型的实际问题，学生要解决这样提问题，首先就必须把实际问题转化为数学问题——数学化。这一题建立模型非常多样化，例如：
在解决问题时，要真正培养学生的创新能力，必须坚持以学生为主体，调动学生的主观能动性，引导学生自主活动，应鼓励学生大胆提出自己的建模方法，然后再补充。当学生自己找到建模方法后，就会获得成功的满足，产生愉快的学习情绪。自学的学习过程中构建教学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决得到找足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的教学。另外教材中有大量让学生动手操作、制作的问题，我们在教学的过程中就应该让学生动起来，能让学生做的、操作的，就给学生动手的机会，让学生动手做一做，操作着试一试。
三、初中数学建模教学应突出数学思想方法
数学思想是数学知识的结晶，是高度概括的数学理论．数学方法是数学思想在数学活动中的反映和体现，它贯穿在知识的汲取、储存、加工、运用的全过程．在数学学习活动中，认识问题和解决问题，都是知识与方法相互作用的结果[4]．初中数学中重要的数学思想有：字母代数的思想、转化与化归的思想、数形结合思想、分类的思想、方程与函数的思想、公理化思想等．数学方法有：类比法、归纳法、演绎法、配方法、换元法、待定系数法、数形结合法等．这些思想方法相互联系，相互渗透，相互补充，将整个数学知识构成一个有机和谐统一的整体．数学建模教学要重视数学知识，更应突出数学思想方法．
[案例] 圆周角定理的建模教学 1、背景问题
AB所对（1）如图1所示，ACB、ADB是⊙O中的的两个圆周角，分别量出这两个圆周角的度数，比较一下它们的大小．再变动点C在圆周上的位置，这时圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律吗？
（2）再量出图中AB所对的圆心角AOB的度数，你又有什么发现?（人教版数学九年级上册第91页）
2、模型建立 （1）模型猜想
同弧所对的圆周角的度数相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． （2）验证猜想
问题1 你选择先证明“同弧所对的圆周角相等”，还是先证明“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”？说说你的理由？
归纳 选择先证明“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”． 因为①随着C在圆周上的位置发生变化，得到许多个圆周角，而这条弧所对的圆心角只有一个；②如果“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”成立，那么“同弧所对的圆周角的度数相等”自然成立．
问题2 按照圆心与圆周角的位置关系，变动C在圆周上的位置时所得到许多个圆周角可以分成几种情况？
归纳 按照圆心与圆周角的位置关系，圆周角分三种情况：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部．
问题3 在这三种情况中，你选择先证明哪一种情况？说说你的理由． 归纳 选择先证明“圆心在圆周角一边上”的．因为此时AC为圆的直径，这是一种特殊情况．
问题4 如图2所示，圆心在圆周角的一条边AC上，你怎样证明
1ACBAOB？
2归纳 转化为证明AOB2ACB．
问题5 如图3所示，圆心O在圆周角ACB的内部，你怎样证明
1ACBAOB？
2归纳 因为“圆心在圆周角的一条边上”时，“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”．所以作过圆周角的顶点C的直径CD，将“圆心O在圆周角的内部”的情况转化为“圆心在圆周角的一条边上”的情况来证明．
问题6 如图4所示，圆心O在圆周角ACB的外部，你怎样证明
ACB1？ AOB2归纳 与证明“圆心在圆周角的内部” 的情况类似，作过圆周角的顶点C的直径CD，将“圆心O在圆周角的外部”的情况转化为“圆心在圆周角的一条边上”的情况来证明．
（3）建立模型
① 因为在 “圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部”三种情况下，“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半”都成立, 所以“同弧所对的圆周角都相等”．
② 问题 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有怎样的关系？想一想，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心周有怎样的关系？
③ 圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、模型应用
应用1 半圆所对的圆周角等于多少度？说说你的理由． 应用2 90O的圆周角所对的弦一定是直径吗？为什么？
应用3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？
应用4 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？
应用5 已知⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交⊙
O于D，求BC、AD、BD的长（图略）．
圆周角定理的数学建模教学中，首先动手实验，再对实验进行分析研究，然后才猜测存在的规律，培养学生实验、观察、分析、猜测、推理能力．“问题1”对验证猜想的方法的“研究” ，首先解决主要矛盾（次要矛盾将迎刃而解），渗透辩证法思想． “问题2”引领学生观察、分析、归纳得出圆心与圆周角的三种情况，渗透分类思想．“问题3”渗透算法程序化思想．“问题4” 至“问题6”在引领学生验证猜想，突出分类数学思想的同时，突出了转化与化归的数学思想．模型应用中前4个问题，实际上是圆周角定理的拓展，体现了公理化思想．学生通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动，领会了数学思想方法，增长了数学知识，提高了数学技能．
数学建模能力的培养是一个渐进的过程。因此，从七年级开始，就应有意识地逐步渗透建模思想。课本每章开始都配有反映实际问题的插图，抽象出各章主要的数学模型，并且概念、法则、性质、公式、公理、定理等数学基础知识，一般也是由实际问题出发抽象出来的，反映了数学建模思想。作为一种思想方法，数学建模思想可以与数学基础知识的教学相依随，经常渗透，逐渐升华。因此，教学时要充分利用课本知识的特点，重视展示知识的发生、发展、抽象、概括和应用过程。 教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。
总之，建模思想的培养与应用是数学教育的重要内容，我们应该呼唤数学应用意识，提高数学应用质量。在教学中努力开展中学数学建模教学与应用的研究，提高学生数学应用意识，培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力，促进中学数学教学改革，全面推进中学数学素质教育。
