函数模型及其应用 1．几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 图像的变化 y＝ax(a>1) 增函数 越来越快 随x值增大，图像与y轴接*行 1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． [试一试] 据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是____________． 1
y＝logax(a>1) 增函数 越来越慢 随x值增大，图像与x轴接*行 y＝xn(n>0) 增函数 相对平稳 随n值变化而不同
解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： [练一练] 如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，MNN，则当取最小值时，CN＝________. BN 考点一 一次函数与二次函数模型 1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元． 2．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减2
少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个________元． 3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月1处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨2二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ [类题通法] 求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 3
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题． 考点二 分段函数模型 [典例] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式． (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)． [类题通法] 应用分段函数模型的关注点 4
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)． [针对训练] 某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系． (1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系； (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由． 5
考点三 指数函数模型 [典例] 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积1的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森4林剩余面积为原来的2. 2(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ [类题通法] 应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞等增长问题可以利用指数函数模型来解决． 6
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． (3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 提醒：解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性． [针对训练] (2013·南京模拟)2014年青奥会水上运动项目将在J地举行．截至2010年底，投资集团B在J地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元． (1)B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？ (2)假设从2012年起，J地每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若B集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问：B集团投资是否成功？ 7
[课堂练通考点] 1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费________元． 2．(2013·南通调研)甲地与乙地相距250 km.某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事．在上午9：00,10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1 h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有________km. 3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(04．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函x2数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨． 5(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 9 [课下提升考能] 第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．(2014·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 2．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是________层． 3.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________． 10
4.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________． 5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________． 6．(2014·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元． (1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案； (2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2ln x＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)． 11
7．(2013·苏北四市统考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元． (1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的解析式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 12
8．(2014·南通一调)将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植． 21(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 h，种植一捆沙棘树苗用时 h．应如何分配A，B52两组的人数，使植树活动持续时间最短？ 2(2)在按(1)分配的人数种植1 h后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 h，而每名志愿者种植52一捆沙棘树苗实际用时 h，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时3间． 13
第Ⅱ卷：提能增分卷 1．(2014·扬州期末)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿k舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝(0≤x≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万3x＋5元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设函数f(x)为建造宿舍与修路费用之和． (1)求f(x)的解析式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求出最小值． 14
2.(2014·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？ 3．(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过15
100 km/h.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v km/h的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)． (1)把全程运输成本y元表示为速度v km/h的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 4．(2014·镇江质检)有一海湾，海岸线为近似半个椭圆(如图)，椭圆长轴端点分别为A，B.A，B间的距离为3 km，椭圆焦点分别为C，D.C，D间的距离为2 km，在C，D处分别有甲、乙两个油井，现准备16
在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍． (1)设乙油井排出的废气浓度为a(a为常数)，度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其定义域； (2)度假村P距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？ 17
