《平行线相交线》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【要点梳理】 要点一、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 2 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 顶点 边的关系 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 大小关系 对顶角 1 ∠1与∠2 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 要点诠释：
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.斜线及垂线、点到直线的距离
（1）斜线：如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交，其中一条直线叫做另一条直线的斜线． （2）垂线：如果两条直线的夹角为直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图1，记作： AB⊥CD，垂足为O.
图1
要点诠释：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （3）垂线的性质：
垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（4）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.
要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 要点二、平行线 1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
要点诠释：
（1）直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度就是直线AB与CD间的距离.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.
【典型例题】 类型一、相交线
(2015•贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4
D．∠1和∠5
2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求：∠4的度数.
举一反三： 【变式1】（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO∠DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（
A．35° B．45° C．55° D．65°
类型二、平行线的性质与判定
3. （2015•诏安县校级模拟）如图，已知：AB∠DE，∠1=∠2，直线AE与DC平行吗？请说明理由．
3.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．
）
类型三、实际应用
4.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？
一、选择题 1．（2015•黔南州）如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∠b，b∠c，则a∠c B．若∠1=∠2，则a∠c C．若∠3=∠2，则b∠c D．若∠3+∠5=180°，则a∠c
2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°. B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°. C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°.
D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°.
3．已知：如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C的度数是( ) .
A．135° B．115° C．65° D．35°
4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）. A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D. 同位角或内错角
5. 如图所示，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2=（ ）． A．30° B. 40° C. 50° D. 60°
6. 如图，已知∠A=∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（ ）． A．∠ABD=∠CEF B．∠CED=∠ADB C．∠CDB=∠CEF D．∠ABD+∠CED=180°
ACC
D
BDEFE B
A
(第5题) (第6题) (第7题) 7.如图，DE//AB,CAEoo1． CAB,CDE75o,B65o，则AEB=（ ）
3oo A．70 B．65 C．60 D．55
二、填空题
9．(荆州二模)如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE的度数为________．
10. (宁波外校一模)如图所示，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB等于________．
11. （2015春•监利县期末）已知直线a∠b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
12．如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若∠A＝125°，∠D＝107°，则打碎部分的两个角的度数分别为 .
13.如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，则∠E的度数 ．
15.如图所示，一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，即拐弯后的两条路互相平行，第一次拐弯的角∠B＝150°，则第二次拐弯的角∠C＝________．
16．根据图中所给条件，求得∠x＝________，∠y＝________．
三、解答题 17．（2015秋•滕州市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°． （1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
19. 如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．
