济宁市2014一模理科(定稿)

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数z2i1，则复数z在复平面内对应的点位于 ( ) 1iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

x2.已知全集UR，集合Ax（）1，Bxx23x40，则A12B等于( )

A xx0 B xx1或x0 C xx4 D xx4 3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( ) A. 88 88 B. 90 C. 88 D. 90

4.给出命题p:直线ax3y10与直线2x(a1)y107 9

8 6 8 4 9 2 0 1 4

2互相平行的充要条件是a3，命题q:若mxmx10恒成立，则4m0，关

于以上两个命题。下列结论正确的是( )

A. 命题\"pq\"为真 B. 命题\"pq\"为假 C. 命题\"pq\"为假 D. 命题\"pq\"为真

5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinAcsinC3asinCbsinB. 则角B=（ ） A．

25 B． C． D． 3636xya06设变量x,y满足约束条件xy60,且不等式x2y12恒成立，则实数a的取值范

x2围是 ( )

A. [6,7] B. [6,8] C. [2,6] D. [2,7]

7. 函数f(x)1n(x)的图象是( )

1xx2y28. 已知F1,F2是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，点P是该双曲线和圆

abx2y2a2b2的一个交点，若sinPF1F22sinPF2F1,则双曲线的离心率是( )

A.

10 B. 410 C. 10 D.5 29.（错）已知圆C1与圆C2相交于A(m,n),B(3,1)两点，其中m0,n0,两圆圆心C1与C2都在直线2xy40上，则

11的最小值是（ ） mnA. 22 B. 32 C.322 D.42

lg(x1),1x1110. 已知函数f(x)13x，若函数yf(x)c(0c1)有三个零点

,x11211，则()x3的取值范围是（ ） x1,x2,x3（x1x2x3）

x1x2A.(1,11) B.(2,13) C．(12,13) D. (11,13)

第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

开始 输入x 11.阅读如图所示的程序框图，若输出f(x)的范围是

[2,2]，则输入实数x的范围应是 .

12.设矩形区域由直线x0,x和y1所围成的 平面图形，区域D是由余弦曲线ycosx和直线

否 x [1,4]？ 是 f(x)x f(x)4 输出f(x) 结束 x0,x2及y1所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落

在区域D的概率是 ． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为________.

俯视图

22 2222 221 正（主）视图

1 侧（左）视图

1 1 4514.若x2x5a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a（4x1)a5(x1),则a4 .

O是坐标原点，15. 在平面直角坐标系中，若两定点A,B满足OAOB1，OAOB则点集P|OPOAOB,2,,R所表示的区域的面积是 .

2， 2三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 已知函数f(x)sinxcos(x（Ⅰ）当x[3)3, 4,]时，求函数f(x)的值域； 36（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象向右平移为原来的

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变化31倍，纵坐标保持不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的表达式及其2对称轴方程.

17. （本小题满分12分）

如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，点M、N分别是B1C1和A1B1的中点，

AA1ABBM2,A1AB60,

(Ⅰ)求证：BN平面A1B1C1; (Ⅱ) 求二面角A1－AB－M的余弦值．

ANCM B

C

A B

18. （本小题满分12分）

甲、乙、丙三位同学彼此地从A、B、C、D、E 5所高校中任选2所高校，参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可. （Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；

（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望.

19．（本小题满分13分）

在等比数列{an}中，已知a12，且a2，a1a3，a4成等差数列 （1）求数列{an}的通项公式；

2n（2）设数列{aan}前n项和为Sn，记bn， 求数列bn前n项和Tn.

Sn2n

20. （本小题满分13分）

x2y212已知抛物线xy的焦点与椭圆C：221(ab0)的一个焦点重合, F1、F2是椭

4ab圆C的左、右焦点，Q是椭圆上任意一点，QF1QF2的最大值是3， （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)

使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

21. （本小题满分14分）

设函数f(x)ax2lnx(aR).

(Ⅰ) 若f(x)在点（e, f(e)）处的切线为xey2e0，求a的值; (Ⅱ) 求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)当x0时，求证：f(x)axe0.

x

高三数学（理）试题参

1—5ACCDC 6—10 ABB CD 11. [2,4] 12.

11 13. 23 14. 5 15. 42 2416. 解：（Ⅰ）f(x)sinxcos(x)333sinx(cosxcossinxsin) 4334133………….2分 sinxcosxsin2x224131cos2x3 sin2x4224113sin2xcos2xsin(2x)………….3分

2344

由3x6，得32x32，………….4分 3所以3311sin(2x)1，sin(2x)， 23423231,]；………….6分 42所以f(x)[1sin(2x)，将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，23311得到ysin[2(x)]sin(2x)，………….8分

23323（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)

再将得到的图象上各点的横坐标变化为原来的

1倍，纵坐标保持不变，得到函数2y11sin(4x)图象，所以g(x)sin(4x)，………….10分 2323当4x32k5(kZ)，………….11分 所以x424k5(kZ).………………………..….12分 所以函数g(x)的对称轴方程是x424

k(kZ)时，g(x)取最值，

C1 17. 解(Ⅰ) 证明：连结MN,

∵侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°， ∴△A1BB1为正三角形，………….2分 又∵点N为A1B1的中点，∴BN⊥A1B1， 又因为AA1ABBM2 所以BN=3，MN1 所以BNMNBM,

A 222zA1 M NB1 yC E所以BNMN,………….4分

又A1B1∩MN＝N，∴BN⊥平面A1B1C1. ………….6分 (Ⅱ)取AB的中点E，连结A1E平面ABC,CEAB, 1E,则A1E//BN由(Ⅰ)知A以点E为坐标原点，直线EB,EC,EA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则E(0,0,0),A(1,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3), 设点M(x,y,z)， 由B1M所以M(,B x133BC,得x,y,z3， 22233,3),………………………………………………….8分 223313,3),BM(,,3), EM(,2222平面ABA1的一个法向量为n1(0,1,0). 设平面MAB的法向量为n2(x1,y1,z1)， 因为n2EM,n2BM,

3x12所以1x123y13z102 令z11，所以x10,y12 3y13z10,2所以n2(0,2,1)………………………………………….….10分

cosn1,n2n1n2n1n2225 5525 5设二面角A1－AB－M的大小为，cos故二面角A1－AB－M的余弦值为

25.……………………………………12分 5，18.解：（Ⅰ）由已知得：甲同学选中E高校的概率为：P………….2分 甲=1C42乙、丙同学选中E高校的概率为：P………….4分 =P=，乙丙2C5514甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率:

1223P=（1-P甲）P乙P丙=（1-）=………….6分

45525（Ⅱ）X所有可能的取值为：0,1,2,3

P(X0)P甲P乙P丙1221(); 4525;

P(X1)（1-P甲）P乙P丙P甲(1P乙)P丙P甲P乙(1P丙)121221226(1)()2(1)(1)4545545525P(X2)（1-P甲）(1P乙)P丙（1-P甲）P乙(1P丙)P甲(1P乙)(1P丙)1221221229; (1)(1)(1)(1)(1)(1)455455455201227P(X3)（1-P甲）(1P乙)(1P丙)(1)(1)2;……………...10分

45100X的分布列为 X P 0 1 2 3 927 201001692739123因此E(X)0………………………..12分 2525201002019. 解：（1）设等比数列的公比为q，由已知的：2(a1a3)a2a4………….2分 即2(a1a1q2)a1qa1q3，解之q2，…………………………………..4分

1 256 25ana1qn12n………………….….5分

（2）由（1）知：Sn(a12a22an2)(a1a1an)(442an)

42)(2222n)

Sn(a12a22an2)(a1a14(14n)2(12n)……………………………….7分

14124n422(41)2(2n1)(2n1)(2n)(2n1)(2n11)………….9分 333332n3112n又bn()………….10分 bnnn1nn12(21)(21)2221SnTnb1b2b3b4bn1bn

31111111111[(12)(23)(34)(n1n)(nn1)] 221212212212212213133(1n1)n2………………………………..12分 2212221220. 解（Ⅰ）抛物线xy的焦点坐标为(1,0)…………………..1分

4所以焦点F1(1,0)，F2(1,0)， 即 c=1，

22设Q(x,y)，则QF1QF2(1x,y)(1x,y)x1y

x2c222x1b(12)b12x，

aa22c2222b1xb1c因为axa,所以QF…………………..3分 QF122a22222所以b1c3，得bc4 22所以b3，a4，

x2y2

故所求椭圆方程为＋＝1. …………………..5分

43（Ⅱ）由题意知l：y＝k(x－1)，

y＝k(x－1)联立，得x2y2

=134整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

8k2

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y＋y＝k(x1＋x2－2)，…………………..7分

3＋4k212→→

PM＋PN＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)． →→→

由于菱形的对角线垂直，则(PM＋PN)·MN＝0，…………………..9分 即(x2－x1)[x1＋x2－2m＋k(y1＋y2)]＝0. 故k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0， 则k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0，

8k8kk3＋4k2－2＋3＋4k2－2m＝0. …………………..11分

2

2

2

由已知条件，知k≠0且k∈R，

k211

∴m＝，∴02＋4k

1故存在满足题意的点P且m的取值范围是0，.…………………..13分

4

21.解：(Ⅰ)

f(x)ax2lnx(x0) 1ax1，…………..1分 xxf(x)a又f(x)在点（e, f(e)）处的切线为xey2e0，

112f(e)a 故a…………..3分

eee1ax1(Ⅱ)由(Ⅰ) 知：f(x)a（x0）

xx当a0时，f(x)0在(0,)恒成立

f(x)在(0,)是单减函数…………..5分

当a0时，令f(x)0解之：x1 a当x变化时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表： x 1(0,) a — 1 a0 1(,) a+ f(x) f(x) 由表可知： f(x)在(0,)是单减函数，在(,)是单增函数…………..8分 综上所述：当a0时， f(x)的单减区间为(0,)；

当a0时， f(x)的单减区间为(0,)，单增区间为(,).…………..9分

x(Ⅲ) 当x0时，要证：f(x)axe0即证：elnx20

xx1a1a1a1a令g(x)elnx2(x0)，只需证g(x)0

1g(x)ex …………..10分

x1x由指数函数及幂函数的性质知：g(x)e在(0,)上是增函数

x111又g(1)e10,g()e330g(1)g()0

331（，1）g(x)在内存在唯一的零点，即在(0,)上有唯一的零点，…………..12分 311tt1（当x(0,t)时，g(x)g(t)0；当x(t,)时，g(x)g(t)0

g(x)在(0,t)上为减函数，在(t,)上为增函数，…………..13分 当x0时，

111g(x)g(t)etlnt2lnt2t2220

tet1又