计算方法2006-2007试卷

1 填空

1）. 近似数x*1.253关于真值x1.249有几位有效数字 ； 2）. 设有插值公式f(x)dxAkf(xk)，则Ak=______

1k1k1*x13） 设近似数x0.0235，x2.5160都是有效数，则相对误差er(*)____

x21nn*1*24） 求方程xcosx的根的牛顿迭代格式为

x1x212x12x225） 矛盾方程组x1x21与x1x21得最小二乘解是否相同。

x2x1x2x122112 用迭代法（方法不限）求方程xex1在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于102时迭代结束。

3 用最小二乘法yax2bex中的常数a和b，使该函数曲线拟合与下面四个点 （1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)

（结果保留到小数点后第四位）

4．（10分）用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组

1010020x15101x23 243x317103x475．（10分）设要给出fxcosx的如下函数表

xi f(xi) x0h x0 f(x0) x0h f(x0h)

f(x0h)

用二次插值多项式求f(x)得近似值，问

步长不超过多少时，误差小于10 6. 设有微分方程初值问题

3y－2y4x,0x0.2 y(0)2(1) 写出欧拉预估－校正法的计算格式；

(2) 取步长h=0.1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。

1dx7. 设有积分I

01x(1) 取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值

（小数点侯保留4位）；

(2) 用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小

（小数点侯保留4位）。 8. 对方程组

12－1x14111x21 221x33(1) 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ (2) 取初始向量x(0,0,0)T，用雅可比迭代法求近似解x(k1)，使

xi(k1)xi(k)103(i1,2,3)

9. 设f(x)在区间[a，b]上有二阶连续导数，且f(a)=f(b)=0，试证明

maxaxb1f(x)(ba)2maxf(x)

8axb

计算方法2006-2007第二学期

1 填空

1）. 近似数x*0.0142关于真值x0.0139有__为有效数字。

2） 适当选择求积节点和系数，则求积公式f(x)dxAkf(xk)的代数精确

1k11n度最高可以达到______次.

**3） 设近似数x10.0235，x22.5160都是四舍五入得到的，则相对误差

**er(x1x2) 的相对误差限______

4) 近似值y*5x*的相对误差为er(x*)的____ 倍。

5） 拟合三点A(0,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y轴的直线方程为_____.

2. 用迭代法求方程x22xexe2x0在（-1，0）内的重根的近似值xn1。要求1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于104时迭代结束。

3．用最小二乘法确定yax2blnx中的a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后4位)

4 设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下

1.0 1.1 1.2 xi f(xi) 0.01 0.11 0.24 写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算f''(1.1)。

5 已知五阶连续可导函数yf(x)的如下数据

xi f(xi) f'(xi) f''(xi) 0 0 0 0 1 1 1

试求满足插值条件的四次多项式p(x).

6 设有如下的常微分方程初值问题

dyx,1x1.4 dxyy(1)1

1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。

2）取步长0.2用上述格式求解。

7 设有积分Iexdx

00.621）取7个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后4位）

2）用复化simpson公式求该积分的近似值。

8 用LU分解法求解线性代数方程组

1102112223x1312x21 22x3359x479 当常数c取合适的值时，两条抛物线yx2xc 与y2x就在某点相切，试取出试点x00.3，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于104时迭代结束。

参； 1: (1)2, (2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3 （4）1/5 (5) x=1 2 解：将方程变形为 (xex)20

即求xex0在（-1，0）内的根的近似值xn1 牛顿迭代格式为 xn1xnexnxn

1exn收敛性证明； 非局部收敛定理 结果 x40.56714。

3 用最小二乘法 正则方程组为

b65.8661.125a9.41165 解得 a=1.0072; b=0.4563 a1.4844610.15869.411654．解：中心差分格式

f''(x1)1(f(x0f(x2)2f(x1)) 2h得到f''(1.1)3 5 解

p(x).2x43x3

f(5)()3x(x1)2 截断误差 R(x)5!6 y(1.2)1.2;y(1.4)1.4 7 0.6805

8 （0 1 0 1） 9 解 两条曲线求导 y'2x1 和y'x

切点横坐标一定满足2x1=x1212

将等式变形为 f(x)4x34x2x1 牛顿迭代法 结果为 0.34781