青海省2020年高考理科数学质量检测试题及答案

（满分150分，考试时间

120分钟）

一、选择题（本题共

12小题，每小题

5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。）1. 设集合

Ax|x

2

x20，B

x|log2x0，则AB

A. (1,2)B. (0,1)

C. (

,2)D. (1,1)

2. 设

z

1i1i

，

z是z的共轭复数，则zz

A. -1

B. i

C. 1

D. 4

3. 已知向量

mx2

,1，n

x,2，命题p:x

12

，命题q:

0,使得m

n成立，则命题是命题q的A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 非充分非必要条件

4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为

A. 3 B.

x1xC.

5

D. 2

2

5. 已知随机变量

服从正态分布

N(0,1)，如果P(

1)

0.8413，则P(1

0)

A.

0.3413B.

0.6826

C. 0.1587

D.

0.0794

x

2

6. 已知点A25,310在双曲线

y2

10

b

2

1b

0上，则该双曲线的离心率为

A.

10B.

10 C. 10 D. 210

3

2

1

p

7. 若函数f(x)3sinxcosx(

0)，且f()2,f()0,

的最小值是

2

，则f(x)

的单调递增区间是A.

[2k

56

3,k

,2k

6

6](k

](k

z)

z)

B. D.

[2k[k

5

2312

,2k

3

](kz)

z)

C. [k,k

](k12

8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清

明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为A. 1．5尺

B. 2．5尺

85．5尺，则芒种日影长为

C. 3．5尺

D. 4．5尺

松长五尺，竹长两尺，松日自半，

9. 宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：

竹日自倍，松竹何日而长等则输出的n

.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的

a，b分别为5，2，

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

10.已知抛物线y

14

x的焦点F是椭圆

2

ya

22

xb

22

1(ab0)的一个焦点，且该抛物线的准线与

椭圆相交于

A、B两点，若

B.

FAB是正三角形，则椭圆的离心率为21

C.

A.

31

33

D.

22

11.已知三棱锥

SABC所有顶点都在球O的球面上，且SC

0

平面

ABC，若SCABAC1，

BAC

120，则球O的表面积为

2

A．

52

B

．5

C

，

．

4 D

．

53

时，

.设

12.已知

函数A.

为偶函数，对任意

，则

B.

恒成立，且当

的零点的个数为

D.

C.

二、填空题（本题共13. 在锐角三角形

4小题，每小题5分，共20分。）

ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且3a

332

，

2csinA，c7，

且

ABC的面积为ab的值为__________．SAB

SAC

ACB

90，AC2，BC

13，SB

29，

14. 在三棱锥

则异面直线15.

SABC中，

SC与AB所成角的余弦值为__________．

y

5

xy2x的展开式中xy的系数为_______（用数字填写答案）

33

.

16. 已知椭圆

C：

43

x

2

2

y

2

1，直线l：y

x1与椭圆C交于A，B两点，则过点A，B且与

直线m：x

相切的圆的方程为______．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

22、23为选考题，考生根据要求作答。）

17～21题为必考题，每个

试题考生都必须作答．第（一）必考题（共

60分）

17. (本小题满分12分)

已知数列

an满足a11,an2an

1

2n1n

2，数列bn满足bn

an2n3.

（1）求证数列（2）求数列

bn是等比数列；an的前n项和Sn.

18.(本小题满分12分)

每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续2018年10年间梅雨季节的降雨量（单位：解答下列问题：

25天左右的梅雨季节，如图是江南某地区

2009～

）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，

3

（1）假设每年的梅雨季节天气相互，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350

的概率；

20亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为（

/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨

（2）老李在该地区承包了28万元.而乙品种杨梅的亩产量梅的单位利润为

（元/），请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总

.

利润（万元）的期望更大？并说明理由

降雨量亩产量19.（本小题满分

如图，在四棱锥

500 12分）

700 600 400

PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，PAD＝60°，AB⊥平

面PAD，点M在棱PC上．

(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(2)若直线PA// 平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．

20.（本小题满分

已知

12分）

2

P为抛物线C:y

2px(p0)上一点，点P到直线xy30的最小距离为2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点（1，0）作两条互相垂直的直线

l1、l2，与抛物线C分别交于A、B、D、E，求四边

4

形

ADBE的面积S的最小值．

21. (本小题满分12分)

已知f(x)e

1e

lnx

1x

x.

（1）求函数f(x)的极值；（2）设g(x)

ln(x1)

axe

x

，对于任意x1

[0,

)，x2

[1,

)，总有gx1

e2

fx2

成立，求实数a的取值范围. （二）选考题（共

分。）

22．[选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系

]（10分）

（α为参数）以坐标系原点为极

C2的极坐标方程为

ρ=2sinθ．

10分。请考生在第

22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

xOy中，曲线C1的参数方程为

点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线

C2的直角坐标方程；

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，且∠POQ=，求△POQ的面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数（1）求不等式（2）若存在实数证明：

.

的解集；，使得

成立的

的最大值为

，且实数

，满足

，

.

5

参

一、选择题

1.A 2.C 3.A 4.A 5.A 6. C 7.B 8.B 9.B 10.C 11.B 12.C 二、填空题

13. 5 14.

17 15. 40 16. 17

x

2

y

13

2

16．9

三、解答题17.解：（Ⅰ）当n当n则

1时，a11，故b16.

2时，an2an

1

2n1，

1

bn

bn

数列

an2n32an

2n12n3

2an

1

2n1

2an

1

2n13，

2bn1，

bn是首项为6，公比为2的等比数列.

bn

32，

n

n

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

anbn

2n3

n

3n

32

n

2n3，

n

Sn

322

n1

2

2

2

212

3

21212

nn1

3n，

Sn32n4n

6.

18.解:（1）频率分布直方图中第四组的频率为该地区在梅雨季节的降雨量超过

的概率为

的概率为

所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过

（或

（2）据题意，总利润为

所以随机变量（万元）的分布列如下表：

27 0.2

故总利润（万元）的期望

35 0.4 元，其中

.）

.

31.2 0.3

22.4 0.1

（万元）

6

因为，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大

19.解：（Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥DP，

又因为，AP=2，∠PAD=60°，

由，可得

，

所以∠PDA=30°，所以∠APD=90°，即DP⊥AP，

因为，所以DP⊥平面PAB，因为

，所以平面PAB⊥平面PCD

（Ⅱ）由AB⊥平面PAD

以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示建立空间直角坐标系其中，

，

，

，

. 从而，

，

，

设

，从而得

，，

设平面MBD的法向量为

，

7

.

若直线PA//平面MBD，满足，

即，

得，取

，

且

，

直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于：

.

y2

0

2

20解：（1）设P(

y0

2p

,y0)，则点P到直线x

y3

0的距离d2p

y03

2

若

0，则dmin

0不合题意，所以

0即0

p

6

p

3所以当y0p时，d2

min

22，解得p2

即抛物线

C的方程为y

2

4x；

（2）因为抛物线

C的方程为y

2

4x，所以（1，0）是焦点

设l1交抛物线

C于A(x1,y1),B(x2,y2)，l2交抛物线C于D(x3,y3),E(x4,y4)由题意l1的斜率k存在且不为0，设l1的方程为yk(x1)，

由

yk(x1)

y

2

4x

k2

x

2

(2k

2

4)xk

2

0

x1x422

k

2

则ABx441

x2

p

k

2

，同理得

DE

x3

x4

p

44k

2

故S

112

2

82ABDE2

(4

4k

2

)(44k)8kk

2

16即S28k

2

8k

2

1632，当且仅

当8k

2

8k

2

即k1时，等号成立，

所以Smin

32

8

21. (1)

e

fx

x

1e

1x

2

xe1

x

2

x

1e

所以

fx的极小值为：

x

1,,x2

a

x

f

1e

2e

，极大值为：

fe

2e

2e

；

(2) 由(1)可知当对于任意

时，函数

fx的最大值为

e2

x1

e

x

0,

1x1

1,

，总有gx1fx2成立，等价于gx

1恒成立，

g

①

x

a2时，因为ex1，所以gx

e

x

1x1

ax1

1x1

a2a

0，即gx在

0,

a

上单调递增，

gx

x

g0

1x1

1恒成立，符合题意.

a，hx

e

x

②当

2时，设hx

e

1x1

2

x1

2

e

x2

1

x1

0，

所以所以所以

gx在0,

上单调递增，且

g0x0,

2a

0，则存在x0

gx0

0,g0

，使得

gx0

gx在0,x0上单调递减，在gx

1不恒成立，不合题意

.

上单调递增，又

1，

综合①②可知，所求实数

a的取值范围是

,2.

（α为参数），

22.（1）曲线C1的参数方程为

转换为直角坐标方程为：（x-2）+y=4，转换为极坐标方程为：

2的极坐标方程为曲线C

2

2

ρ=4cosθ．ρ=2sinθ，x+y-2y=0．

2

2

转换为直角坐标方程为：

9

（2）点P在C1上，点Q在C2上，且∠POQ=，则：因为所以当

此时最大值为23.（1）解：

由绝对值得几何意义可得不等式

的解集为

和；

的最小值为3，

，，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

上述不等式中的等号成立，

，

时，此时

的面积由最大值，

,所以

=

，

，

（2）由绝对值得几何意义易得

，

10