仿真冲刺卷(四)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考
试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合M={-1,1},N={x|<2},则下列结论正确的是( ) (A)N⊆M (B)M⊆N (C)N∩M=∅ (D)M∩N=R
2.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则等于( )
(A)+i (B)+i (C)--i (D)--i
3.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为( ) (A)或-1 (B)-1 (C)1或-1 (D)1
4.小王的手机使用的是每月300M流量套餐,如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况,下列叙述中正确的是( ) (A)1日～10日这10天的平均流量小于9.0M/日
(B)11日～30日这20天,如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量
(C)从1日～10日这10天的流量中任选连续3天的流量,则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大
(D)从1日～10日这10天中的流量中任选连续3天的流量,则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小
5.若方程2sin(2x+)=m在x∈[0,]上有两个不相等的实数解x1,x2,则x1+x2等于( ) (A) (B) (C) (D) 6.已知函数f(x)=
则下列结论正确的是( )
(A)f(x)是偶函数 (B)f(x)是增函数 (C)f(x)是周期函数 (D)f(x)的值域为[-1,+∞)
7.某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是( )
(A)1 (B) (C) (D)
8.已知变量x,y满足约束条件
若目标函数z=ax+y(其中
a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a的取值范围为( ) (A)(0,2) (B)(0,) (C)(0,) (D)(,)
9.如图所示程序框图中,输出S等于( )
(A)45 (B)-55 (C)-66 (D)66
10.已知A,B,C是球O的球面上三点,AB=2,AC=2,∠ABC=60°,且棱锥OABC的体积为,则球O的表面积为( ) (A)10π (B)24π (C)36π (D)48π
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点,若∠PMF=30°, ·
=0,则
等于( )
(A) (B) (C)2 (D)
12.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时, f(x)=
若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a,b∈R)
有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是( ) (A)(-,-) (B)(-,-1) (C)(-,-)∪(-,-1) (D)(-,-1)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知向量a=(3,-4),b=(2,m),若向量(a+2b)在a方向上的投影为,则向量a,b夹角的余弦值为 .
14.在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 . 15.已知sin α=+cos α,且α∈(0,),则
的值为 .
16.函数y=xex在其极值点处的切线方程为 . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
已知等比数列{an}的公比q>1,且2(an+an+2)=5an+1,n∈N*. (1)求q的值;
(2)若=a10,求数列{}的前n项和Sn.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC= 90°,PA=PD=AD=2BC=2,CD=,PB=,Q是AD的中点. (1)求证:平面PAD⊥底面ABCD; (2)求三棱锥C-PBD的体积.
19.(本小题满分12分)
二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位:万元/辆)进行整理,得到如表数据: 使用年数x 售价y z=ln y 2 20 3.00 3 12 2.48 4 8 2.08 5 6.4 1.86 6 4.4 1.48 7 3 1.10 如图是z关于x的折线图:
(1)由折线图可以看出,可以用线性回归模型拟合z与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)求y关于x的回归方程,并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少;(,小数点后保留两位有效数字)
(3)基于成本的考虑,该型号二手车的售价不得低于7 118元,请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年. 参考公式:=
=
,=-,r=
.
参考数据:
xiyi=187.4,xizi=47.,13.96,
=1.53,ln 1.46≈0.38,ln 0.711 8≈-0.34.
=139,
=4.18,
=
20.(本小题满分12分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,已知点N(2,m)为抛物线C上一点,且|NF|=4. (1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l过点F交抛物线C于不同的两点A,B,交y轴于点M,且=a,
=b(a,b∈R),对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求
出a+b的值;若不是,说明理由.
21.(本小题满分12分) 已知f(x)=
.
(1)求f(x)的最大值;
(2)令g(x)=ax2-2ln x,当x>0时,f(x)的最大值为M,g(x)=M有两个不同的根,求a的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是
(t是参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=α的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x+1|-|x-a|(a>0). (1)当a=1时,求不等式f(x)≤x的解集;
,求直线的倾斜角
(2)当x≤-时,不等式f(x)+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立,求实数a的取值范围.
参：
仿真冲刺卷(四)
1.B 因为-2<0⇒
>0⇒x<0或x>,
所以N=(-∞,0)∪(,+∞),
又因为M={1,-1},所以可知B正确,A,C,D错误. 故选B.
2.C 由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以==
=--i.故选C.
3.C 由题意得,圆心(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离为, 所以4.C
=⇒a=±1.故选C.
(6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2)=9.14,故A
错误;11×20+91.4=311.4>300,这个月总流量就超过套餐流量,故B错误;结合图象可知C正确,D错误.故选C. 5.C 因为x∈[0,],所以2x+∈[,],
方程2sin(2x+)=m在x∈[0,]上有两个不相等的实数解x1,x2, 所以
=,则x1+x2=.故选C.
6.D 当x≤0时,f(x)=cos 2x不是单调函数, 此时-1≤cos 2x≤1, 当x>0时,f(x)=x4+1>1,
综上f(x)≥-1,即函数的值域为[-1,+∞). 故选D. 7.C
分析题意可知,该几何体为如图所示的四棱锥PABCD,其中底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,故AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,所以PA=,
所以S△PAB=·1·=.故选C. 8.B
由约束条件表示的可行域如图所示,作直线l:ax+y=0,过点(1,1)作l的平行线l′,则直线l′介于直线x+2y-3=0与直线y=1之间, 因此-<-a<0, 即09.B 执行程序框图,第一次,S=0,n=1,T=1,S=1,不满足n>9,n=2; 第二次,T=-4,S=-3,不满足n>9,n=3;第三次,T=9,S=6,不满足n>9,n=4; 第四次,T=-16,S=-10,不满足n>9,n=5; 第五次,T=25,S=15,不满足n>9,n=6; 第六次,T=-36,S=-21,不满足n>9,n=7; 第七次,T=49,S=28,不满足n>9,n=8; 第八次,T=-,S=-36,不满足n>9,n=9; 第九次,T=81,S=45,不满足n>9,n=10; 第十次,T=-100,S=-55,满足n>9,输出S=-55. 故选B.
10.D 因为AB=2,AC=2,∠ABC=60°,
=
,
所以∠ACB<60°,sin∠ACB=,则∠ACB=30°, 所以∠BAC=90°,BC=
=4.
因为A,B,C是球O的球面上三点,所以截面圆的圆心为BC中点,半径为2.
因为棱锥OABC的体积为, 所以××2×2×d=,所以d=2, 所以R2=(2)2+22=12.故选D.
11.B 设P点到准线的距离为d,因为∠PMF=30°, 则d=|PF|=|PM|,又因为
·
=0,
所以PM⊥PN, 故|PM|=|PN|,故故选B.
12.C f(1)=sin=,作函数y=f(x)的图象如图,要使关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a,b∈R),有且仅有6个不同实数根,设t=f(x),则当t<0,方程t=f(x),有0个根,当t=0,方程t=f(x),有1个根,当0,方程t=f(x),有0个根.设方程t2+at+b=0的两个根为t1,t2,①若t1=,1综上,实数a的取值范围是(-,-)∪(-,-1). 故选C.=
=×=.
13.解析:由题意得a+2b=(7,-4+2m),向量(a+2b)在a方向上的投影为
=则cos θ=答案:
14.解析:因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,
所以乙的阅读量大于丙的阅读量,甲的阅读量大于丁的阅读量, 因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和,
所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙. 答案:甲丁乙丙
15.解析:因为sin α=+cos α,即sin α-cos α=, 所以==-.
=
=
=,所以m=1,则b=(2,1),设两向量的夹角为θ,
==.
答案:-
16.解析:由y=xex可得y′=ex+xex=ex(x+1),
从而可得y=xex在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增, 所以当x=-1时,y=xex取得极小值-e-1, 因为y′|x=-1=0,切点为(-1,-),
故切线方程为y=-e-1, 即y=-. 答案:y=-
17.解:(1)因为2(an+an+2)=5an+1, 所以2(an+anq2)=5anq.
由题意,得an≠0,所以2q2-5q+2=0. 解得q=2或, 因为q>1,所以q=2.
(2)因为=a10,所以(a1q4)2=a1q9. 解得a1=2,所以an=a1qn-1=2n. 所以=()n,Sn=
=2-.
18.(1)证明:连接BQ,因为四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC, AD=2BC,Q为AD的中点,所以四边形BCDQ为平行四边形.
又因为CD=,所以QB=.
因为△PAD是边长为2的正三角形,Q是AD的中点, 所以PQ⊥AD,PQ=.
在△PQB中,QB=,PQ=,PB=, 有PQ2+BQ2=PB2,
所以PQ⊥BQ.
因为AD∩BQ=Q,AD,BQ⊂平面ABCD, 所以PQ⊥平面ABCD. 因为PQ⊂平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)解:由(1)知PQ⊥平面ABCD,PQ=.
因为底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°, 所以△BCD是直角三角形,其中∠BCD=90°. 因为BC=1,CD=,于是S△BCD=BC·CD=.
=
=S△BCD·PQ=××=.
19.解:(1)由题意知,=×(2+3+4+5+6+7)=4.5, =×(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2, 又xizi=47.,
=4.18, =1.53,
所以r=-≈-0.99,
所以z与x的相关系数大约为-0.99,说明z与x的线性相关程度 很高.
(2)==-≈-0.36,
所以=-=2+0.36×4.5=3.62,
所以z与x的线性回归方程是=-0.36x+3.62, 又z=ln y,
所以y关于x的回归方程是=e-0.36x+3.62. 令x=9,
得=e-0.36×9+3.62=e0.38, 因为ln 1.46≈0.38, 所以=1.46,
即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元. (3)当≥0.711 8,
即e-0.36x+3.62≥0.711 8=eln 0.711 8≈e-0.34时, 则有-0.36x+3.62≥-0.34, 解得x≤11,
因此,预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年. 20.解:(1)因为|NF|=4,由抛物线的定义知xN+=4, 即2+=4,p=4.
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)a+b为定值.
显然直线l的斜率存在且一定不等于零, 设其方程为x=ty+2(t≠0),则 直线l与y轴交点为M(0,-). 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由
得y2-8ty-16=0.
所以Δ=(-8t)2-(-)=(t2+1)>0. 所以y1+y2=8t,y1y2=-16. 又F(2,0), 由
=a得(x1,y1+)=a(2-x1,-y1),
=-=-1-,
所以a=
同理可得b=-1-.
所以a+b=(-1-)+(-1-)=-2-=-2+=-1.
所以,对任意的直线l,a+b为定值-1. 21.解:(1)f′(x)=-.
令y=f′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,f′(x)>0,y=f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,y=f(x)单调递减. 所以函数y=f(x)的最大值为f(1)=1. (2)由(1)可知M=1,g′(x)=2ax-=
.
①若a≤0,则g′(x)<0,y=g(x)单调递减,g(x)=M不可能有两个根. ②若a>0,则当x∈(0,)时,g′(x)<0,y=g(x)单调递减, 当x∈(,+∞)时,g′(x)>0,y=g(x)单调递增, 所以g()<1,解得0代入圆的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4, 化简得t2-2tcos α-3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则
所以|AB|=|t1-t2|=
=
=
.
所以4cos2α=2,cos α=±, α=或.
23.解:(1)当a=1时,f(x)≤x化为|2x+1|-|x-1|≤x, 当x≤-,不等式化为2x+2≥0,解得-1≤x≤-; 当-要使当x≤-时f(x)+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立, 则当x≤-时f(x)+2≥0恒成立, 所以--a+2≥0, 又由已知a>0, 所以0即a的取值范围为(0, ].
