数学有数 ２０ １ ３年高考浙江数学压轴题分析与备考建议 ■樊宏标 导数的应用历来是浙江高考的压轴题，其本质是 借导数的工具研究函数的性质．浙江高考连续两年都 考了三次函数的导数问题，但考生在求解的过程中。 往往出现“过程冗长、运算繁琐、分类复杂”而令考 生“望而生畏、不战而退”．那么如何让考生找到 “导数问题”的解题之道，笔者结合２０１３年高考浙江 卷第２２题的解法进行研究，希望通过该题的求解让 我们一起领悟导数问题的求解之道． 一（ＩＩ）当 ［０，２］时，求１ｆ（ｘ）Ｉ的最大值． 【点评】本题虽涉及的知识点不多，但能力要求 高，虽入口简单，但深入较难锑（Ｉ）小题只需明确 导数的几何意义就可以解决；第（ＩＩ）小题考查了绝 对值函数在给定区间上的最值问题．需要综合运用导 数及函数的有关知识，同时考查了运算求解能力和推 理论证能力：考查了化归与转化思想、分类讨论思 想、数形结合思想等，要求考生具有较高的分析问题 和解决问题的能力，是一道不可多得的好题． 、真题回放 已知ａ∈Ｒ，函数Ｉ厂（Ｘ）＝Ｘ３－３ｘ ＋３黜一３叶３． （Ｉ）求曲线ｙ－－ｆ（ ）在点（１，－厂（１））处的切线方程； 二、解题分析 １．明确题意．得分为上． （１＋ ） …．② ・．‘设置问题时．往往是台阶式设置问题．前面的问题结 论是为后面的设问做铺垫，后面问题的解决要用到前 面的结论．此题的（ＩＩ）就是这个问题．如果不注意（Ｉ） （１＋ ）ｒ＞ ＋１，ｒｌ＞ 丁，．・．（１＋ ） ＞１＋ ＞ｌ＋ 凡十ｌ ｎ 的结论运用，（ＩＩ）的解决就便得无从下手，证法一 凡十ｌ ＿，．故②式成立． 综上可得原不等式成立． 证法二：由（Ｉ），当 （一１，＋。。）时，有ｆ（ｘ）＞厂（０） 采取的分析的方法，在这里关键是变形．且最后还用 到了放缩一 ＞＿＿ ＿及 ＞＿ｒ ．对证明二，如果联 ／７， ｎ－－ｌ ｎ ，ｌ＋ｌ ＝０，即（１＋ ） ≥１＋（ｒ＋１） ，且等号当且仅当ｘ＝０时成 想到二项式定理展开式的赋值法思想再结合所证明不 立，故当 ＞一１且ｘ＃Ｏ时，有（１ ） ＞１＋（ｒ＋１） …・③ 在③中，令 ： （这时 ＞一１且 ≠０），得（１＋ ） ＞ １＋ ． 等式，寻找对 的赋值，证明起来得心应手．赋值法 是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋 予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实 际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想． 在三个高考试题的解答中用到了一种重要的数学 上式两边同乘ｎ ，得（ｎ＋１） ＞ｎ ＋ （ｒ＋１），即ｎｒ＜ （ ，＋ｌ＿ 思想一转化，也称化归，它是指将未知的，陌生的， 复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简 ………… 单的问题．从而使问题顺利解决的数学思想，转化思 想解题的基本策略是当我们遇到一个较难解决的问题 当 ＞１时，在③中令 一１ （这时 ＞一１且 ≠ ０），类似可得 ｒ＞ ＿ｌ－ ，＋ｌ ……⑤ 一时，不是直接解原题目。而将题目进行转化，转化为 个已经解决的或比较容易的问题．通过观察、分 析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进 行转换．将原问题转化为一个新问题． （作者单位：山东省聊城第三中学） 责任编校徐国坚 且当ｎ＝ｌ时，③也成立． 综合④⑤得 里 ，十ｌ＜ ｒ＜＿（ｎ＋１）ｍ －ｎｍ一…．⑥ 卜 ｌ 【评注】在高考试题中，为控制难度，命题者在 蕊 ２０１ ３苹第７ ８鞠 数学有数 第（Ｉ）小题非常简单，只要明确导数的几何意 义，即可求出曲线在点（１，．厂（１））处的切线方程，这 —— 一，所以： ２（１－ａ）Ｖ１－ａ＋３ａ一２ 是每一位考生都必须拿到的分数，也是命题者体现 “入１２Ｉ易。深入难”的命题意图． 故ｌ ）ｌ 当 ≤口＜｝时，ｆ（ｘｘ） Ｉｆ（２）Ｉ， １＋２（１－ａ） ． 。）＝ 解析：由题意ｆ （ ）＝３Ｘ２－６ｘ＋３ａ，故／ （１）＝３ａ一 ３．又厂（１）＝１，所以所求切线方程为ｙ＝（３ａ－３）ｘ一３叶４． ．２．理清思路．分类讨论． 对于第（ＩＩ）小题，易得ｆ （ｘ）＝３ｘ２－６ｘ＋３ａ＝３（ｘ—１）２＋ ３（ａ－１），由于０≤ ≤２，知Ⅱ≤Ｏ时，有＿厂 （ ）≤０，此时 ，（ ）在［０，２］上单调递减．由△≤Ｏ，得ｏ≥１，此时 ｆ （ ）≥０，此时ｌ厂（ ）在［０，２］上单调递增．因此多 数考生能解答以下两种情况： 解析：由于ｆ （ ）＝３（ 一１） ＋３（０＿１），０≤ ≤２．故： 故，（ ） ＝ｌ ２）ｌ＝ 当｝≤ｎ＜１时， ，）≤，（２）， ３俨１． 综上所述，１ｆ（ｘ）Ｉ ３－３ａ，（Ⅱ≤Ｏ） １＋２（１一。） ３ １．（。≥ ３） ，（０＜ ｝） （１）当ｏ≤Ｏ时，有ｆ （ ）≤０，此时Ｉ厂（ ）在［０，２］上 三、变式拓展 设函数 ） ａ ６ ２＋ｃ （口，６， Ｒ，。≠０）・ 单调递减，故 ）ｌ ｒａ￣＝ｍａｘ｛ ０）ｌ，Ｉｆ（２）ｌ｝＝３—３ｏ． （２）当。≥１时，有ｆ ）１＞０，此时－厂（ ）在［０，２］ 上单调递增，故ｌ厂＿（ ）Ｉ＝ｍａｘ｛Ｉｆ（ｏ）Ｉ，ｌｆ（２）Ｉ｝＝３ａ－１． 关键是解决当Ｏ＜ａ＜ｌ时的情况，这对考生提出 了较高的要求．既要分析函数极值与端点值的大小情 况，又要数形结合．综合思考．如： （３）当０≤ｎ≤１时，知△＞０，由厂 （ ）＝０，得 ．（１）若ｉＮ数－厂（ ）为奇函数，求ｂ的值； （２）在（１）的条件下，若。一３，函数＿厂（ ）在 ［一２，２］的值域为［一２，２］，求＿厂（ ）的零点； （３）若不等式 求ｏ＋６＋ｃ的取值范围． （ ）≤ ）＋１又寸—一切 ∈Ｒ恒成立， １＝１一、／１一ｒ上 ， ２＝ｌ＋、／１－ａ ，则０ １＜ ２＜２， ｆ （ ）＝３（ — １）（ 一 ２）． 列表如下： 解析： （１），（ ）＝＿＝ ）恒成立，则６＝０； （２）ｆ（ｘ）＝－ｘ ＋ＣＸ，ｆ （ｘ）＝－３ｘ ＋ｃ， ①若ｃ≤０，则／ （ ）≤０恒成立，则 ）单调递 减，又函数＿厂（ ）在［一２，２］的值域为［一２，２］，．・． １ （ １， ２） Ｘ２ （ ２，２） ２ ０ 极大值 ０ （０， １） 厂ｌ （ ） ＋ ； ：此方程无解． ②若ｃ＞ｏ，则／ （ ）＝０，・・・ ＝±Ｖ争・ （ｉ）若、／Ｖ ’ Ｃ＞２，即ｃ ＞１２时，函数 ）在［－２，２］ 糊 ＇．．． ２） ＝－２， －０ 极小值 ＋ ｆ（ｘ） ３－３ａ 单调递增 Ｉ厂（ 单调递减 单调递增 ３ｎ一１ １） 厂Ｉ（ ２） 由于，（ ）＝ｌ＋２（１一ｎ）、／ｌ一口，ｆ（ｘ ）＝ｌ－２（１一ａ） ； 、／Ｔ二 ，故ｆ（ｘ ） ｘ：）＝２＞０，ｆ（ｘ ） （ ）＝４（１一ｏ） ｖ ＞０．从￣ｉｌｆ（ｘ。）＞Ｉｆ（ｘ ）Ｉ．所以ｌｆ（ｘ）ｌ一＝ｍａｘ ｛Ｉｆ（ｏ）ｌ，ｌｆ（２）ｌ，ｆ（ｘ ）｝． ①当０＜ｏ＜ Ｂ－，ｔ，，（ｏ）＞ｌ，（２）１．５Ｌｆ（ｘ ）－ｆ（ｏ）＝２ 一（ｉｉ）Ｖ争≤２≤２、／争，即３≤ｃ≤１２时，・・・ 、／争 ２ 所以 ： ； 、／争）一２， （ｉｉｉ）２ ＜２’ ＜３¨ ｆ（－２）２，＝（１－ａ）、／Ｔ＝ 一（２—３。）：——— 兰 一）ｌ －）＝１＋２（１－ａ）、／１一ｎ． ＞０，故 ２（１一ｏ）Ｖ１一ａ＋２—３０ ｌｌｔ￣ ＿２’无解． ②当 ≤ｎ≤１时，Ｉｆ（２）Ｉ＝，（２），且ｆ（２） ０）． 又＿厂（ －）一ｌｆ（２）ｌ＝２（１一ａ）、／ｌ—ａ一（３ａ一２）＝ 综上．所以ｃ＝３． ・．． ） 为： ， ～ ，ｘ３＝～ ． （３）由题意可得（丁ａ—ａＺ）ｘ３＋（ｂ一２ａｂ）ｘ２＋（ｃ—ａｃ） ＋ 高中２０１ ３颦第７・８期 ５１ 数学商数 １≥０恒成立． ２．梳理方法．提高解题能力． 记Ｊ ）＝（—ａ：＿，一０ ） ＋（６—２ａｂ） ２＋（ｃ—ａｘ）＋ｌ／＞０． 若 一ａ２≠０，则Ｆ（ｘ）三次函数至少有一个零点 ‰，且‰在左右两侧异号，所以原不等式不能恒成立； 导数与函数的综合问题，考点虽多，但不凌乱， 有关知识点的出题模式较为稳定：解题方法虽多，但 相对程序化，根据已知条件的细微差别，会有相应的 最优解法． 因此，应及时梳理解题方法，将对应知识点与所 选用的方法作相应整理，便于遇到问题时能短时间内 所以争＿ａ２－＿Ｏ ．ｎ＝｝，１ 此时Ｆ（ ）＝｝ ２Ｉ ＋争 ＋１Ｉ＾ ＞０ 恒成立等价于： 在大脑中检索、转化，从中选择一个自己擅长的方 法，即使思路暂时受阻，也能将问题迅速转化，化归 到自己熟悉的问题，提高解题的效率．例如．遇到三 ， ＝ｃ＝。或者２ ｛ ‘ 。．．・．ｃ ≤ｓ ． 在１）中，ｎ舶＋ｃ＝ １，在２）中ａ＋ｂ＋ｃ＝丁１＋ｂ＋ 次函数的最值或单调性时，首选导数工具：遇到零点 存在问题时，先考查函数单调性，再考虑利用根的存 Ｃ＝￡，所以Ｃ ≤３￡一３ｃ一１，即３ｔ≥ｃ ＋３ｃ＋１恒成立． ３ｆ≥（ｃ ＋３ｃ＋１）册ｎ＝一 ・ 在定理；遇到求参数取值范围时。可首先考虑分离变 量法，等等． ３．参悟思想。享事半功倍之效． 高考命题非常注重对考生数学素养和问题解决能 力的考查，鼓励考生多角度、多方位创造性地思考和 综上，。＋６＋ｃ的取值范围是［一号，＋。。）． 【点评】如果问考生有关导数大题应该怎样解时， 往往会得到这样的答复：先求导数，然后解不等式、 解决问题．也就是说，高考试题说白了就是对考生数 学知识与思想方法的考查．如果说把一套高考题比作 大树，那么，思想是树干，方法是树枝，知识点就是 树叶了．数学思想和方法是数学知识在更高层次上的 列表，再求极值、最值等．无疑，考生是对的．但令人 困惑的是．考生对有关导数的大题做得往往不尽如人 意，高考得分率也没有预想中那么高．究其原因，对 于这类综合问题，只知道导数的有关知识是远远不够 抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的 过程中． 的，还需要考生有推理论证、分类讨论等综合解题的 能力． 例如函数与方程思想贯穿数学学习的始终，可以 与任何一个知识点相结合，因此在平时的学习过程 中．应有意识地挖掘埋藏在题目中的函数思想，并加 以适当的提炼总结．又如数形结合的思想，不仅是探 求思路的“慧眼”。而且是深化思维的有力“杠杆”． 四、备考建议 １．重视基础．练好基本功． 函数是高中数学的核心概念，渗透到数学的各个 分支．而函数与导数的结合．使得高考试题对于函数 的考查更趋成熟，且要求更高．为此，在进行本专题 复习时，必须打好坚实的基础，只有这样，方可从容 应之． 许多函数的抽象关系，若赋予几何意义，往往变得直 观形象：一些图形的属性又可通过函数关系，使其性 质变得更丰富、更精准、更深刻．在平时的学习中， 应加强“数”与“形”的相互转换。相互渗透，不 首先，要重视教材上的例题和习题的教学功能． 教材中多年未变的例题和习题．基本上涵盖了所有的 基础知识和基本技能．是高考试题的重要载体． 其次．要注重对历年高考真题的整理和归纳．教 仅可使解题简捷明快，还可开拓我们的解题思路． ４．错题总结．举一反三． 在平时的学习中，应主动进行错题的整理，分析 出错的原因，避免重现类似的失误．可以说，错题整 理是一本独特的有效的个性化的教材，要整理应用好 这本活教材，对错题进行梳理、分类，找出自己的薄 材上的题目虽然经典，但是由于函数知识的传统性， 教材中不会出现函数与其他知识的新颖综合题．但在 历年的高考真题中，能找到很多新鲜的题型．因此， 多参照历年高考真题中的函数题目，可以有效地提高 考生对这部分内容的熟识程度． 弱环节，便于对症下药，举一反三． （作者单位：浙江省绍兴县柯桥中学） 责任编校徐国坚 ５２ 祷巾２０１ ３年辩７ ８瀚
