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第２５卷第６期 ２００７年１２月 河南科学 ＶｏＩ－２５ Ｎｏ．６ Ｄｅｃ．２００７ ＨＥＮＡＮ ＳＣＩＥＮＣＥ 文章编号：１００４—３９１８（２００７）０６—０８８８—０３ 基本微分方程的应用研究 张同斌ｔ， 管军军 ， 焦万堂１ （１、河南工业大学理学院，郑州４５００５２； ２、河南工业大学生物工程学院，郑州４５００５２） 摘要：利用基本微分方程的解，研究了其在指数型充电与放电过程、Ｎｅｒｎｓｔ电位Ｅ；及通道蛋白的动力学中的应用． 文献标识码：Ａ 关键词：基本微分方程；应用 中图分类号：０ １７５、１ 方程（１）为基本微分方程［】Ｊ，可应用于自然界中速率变化的一类现象，如：生长过程、衰减过程、充电放电 过程等等． 其满足初始条件－厂（Ｏ） 的特解为 ｋ为常数，与 单位相同． 掣＝ １ ｆ（ｘ）（１Ｘ ， （１） －厂 ）ｉ ｅ ． （２） 在某些实际问题中，方程（２）可理解为生长或衰减函数的特解．那么，从一个稳态到另一稳态函数的通 解为 ） 一 ）ｅ ． （３） 这里， 为变化时的初始值， 为稳态值．当ｘ＝０时，方程（３）与（２）相同．对于衰减函数，当 ＝Ｏ时，方 程（３）也与方程（２）相同．当然方程（３）也可解释为充电曲线于某一阶段的变化，如同由高向低衰减． 对方程（３）进行求导，得到结果虽然与基本微分方程（１）有点不同， 一 ）ｅ｝ ， ｄ 即 ｃｌｘ ＝一ｋｆ（— ｋｘ）－１． （４） 方程（４）本质上其实与基本微分方程（１）是一样的，只是多了一个斜率偏移量，可解释为处于非零稳态 时的值．那么，现象呈指数变化时，初始状态下的斜率（如 ＝Ｏ）为 ｊＩ一 ＿ 一一‘ ｌ ｘ＝０ ｋ 由此，常数ｋ源于曲线的初始斜率． 以下就几种过程应用基本微分方程进行了研究： １指数型充电与放电过程 对于普通的ＲＣ环路，电压呈指数增加或衰减，其符合Ｋｉｒｋｏｆｆ’Ｓ定律， Ｉ ｌｃ＋Ｉｒ ： ： ：ｃ ｄ￡ ， ｄ￡ ｄ￡ ，ｒ＝ Ｖ， 由此，可得 即 收稿日期：２００７－０６—２７ 作者简介：张同斌（１９６４一），男，河南沁阳人，硕士，副教授，主要从事常微分方程定性与稳定性理论研究． 维普资讯 http://www.cqvip.com
２００７年１２月 张同斌等：基本微分方程的应用研究 ８８９—— 考虑到电压充电时随着电流的注入而衰减，如ｔ＝Ｏ， 降到０，由此可简化方程（５）为 ：一ｌ＿ 尺Ｃ ， （６） ｄ￡ 记ｚ＝ＲＣ 方程（６）的通解为 再求导得 Ｖ＝Ｖ 一（ 一Ｖ。）ｅ－７－ ｄｔ： （Ｔ ｄ Ｉ ｝＝击（ ～ ｏ ｝ （７） 那么，当充电发生变化时，ｔ＝０时的初始斜率为 ｄｔ １ 。一＿＿ｌＪ 一’ 而 警，由方程（７）可得 ｍｏ＝初始斜率： Ｉｔ－＝Ｏ＝ ， ｃ： ｎｏ 因此，电容可从初始斜率中计算出 ． ２ Ｎｅｒｎｓｔ电位蜀（离子平衡势能） 大多数神经元对能量的消耗常常是通过钠与钾形成浓度梯度而进行的．而贮存于这些离子的能量产 生横跨膜电压，其可通过神经信号的快速传递而分布于事个神经元．此平衡电位巨，表示贮存于浓度梯度 的电子能量．离子从膜高浓度的一侧迁移到低浓度的一侧可产生电压差，也有可能离子进入浓度更高的一 侧． 平衡状态下，离子受浓度梯度而进行迁移的流量与受电压差驱使进行移动的流量相等，且方向相反，表 示如下： ＝一 ， （８） Ｆｉｃｋｅ’ｓ定律描述为 ｃ￣ａ＝－ｐ６ ， 这里，Ｐ表示离子的渗透性： 表示离子在溶液中的扩散系数；Ｃ表示浓度；负号表示离子由于浓度梯度而扩 散的方向性． Ｋｏｈｒａｕｃｈ方程描述为 －ｐｚｌ￣Ｃ ｄ Ｖ， 这里， 表示带电子离子在溶液中的迁移率；ｚ表示离子所带的电荷，负号表示离子由于电压差而移动的方向 性．另外，流量随着浓度Ｃ而提高． 由此，方程（８）可写成 ＿＿ｄＣ＝一 ｃ ， （９） 为了表示此方程与基本微分方程的关系，（９）可写成 ｄＣ～：一坐Ｃ， ｄＶ 解得 或 这里， Ｃ＝Ｃｏｅ— ， ： ｝， ＝ Ｅｉ＝ＲＴ １ｎ ・ｎ等， ． 由Ｎｅｒｎｓｔ—Ｐｌａｎｃｋ—Ｅｉｎｓｔｅｉｎ方程 我们得到最终的Ｎｅｒｎｓｔ方程 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com
——８９０—— 河南科学 第２５卷第６期 ３通道蛋白的动力学 通道蛋白的状态可以用如同酶蛋Ｉ￣Ｍｉｃｈａｅｌｉｓ—Ｍｅｎｔｏｎ动力学来描述，因为二者复合物在分子形状均经 历了构象的变化． （１一ｍ）二 ● 、… ——————一 ｍ， （１０） ＃ＥｖＯ 这里，ｍ表示通道开放的可能性，（１一ｍ）表示通道关的可能性， ［ 表示前进速率常数， ［ 表示反向速率 常数．方程（１０）中速率常数可表示为 ＝ＯＬ（１－ｍ）一ｍ， ０ 或 ＝ 一（ ＋ ），ｎ， ｄ 方程（１１）是基本微分方程的形式，其通解为 ｍ：ｍ 一ｍ ｏｏ－‰）ｅ一｝， 求导可确定出解中常数ｍ ， 与微分方程中 ， 的关系． ：一１ ｍｏｏ－‰）ｅ一 ｔ， ｄ 由此 ：堕一 ｍ， ｄ 比较方程（１２）与基本微分方程（１１），不难发现常量之间的关系： 一 ｌ ＯＬ ’ 或者 ＯＬ＝ ，８： ． ‘ ‘ 参考文献： Ｄ ［１］ ［美］ＷＩＬＬＩＡＭ Ｆ，Ｉ．ＵＣＡＳ，微分方程模 ｒＭ１．长沙：国防科桔大学出版料，１９８８． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｂａｓｉｃ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＺＨＡＮＧ Ｔｏｎｇ—ｂｉｎｇ ， ＧＵＡＮ Ｊｕｎ－ｊｕｎ ， ＪＩＡＯ Ｗａｎ—ｔａｎｇ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００５２，Ｃｈｉｎａ： ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｂｉｏｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００５２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｗａｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａ ｈｏｓｔ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｂｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｈａｒｇｉｎｇ ａｎｄ ｄｉｓｃｈａｒｇｉｎｇ，Ｎｅｒｎｓｔ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ｅｉ，ａｎｄ ｋｉｎｅｔｉｃｓ ｏｆ ｃｈａｎｎｅｌ ｐｒｏｔｅｉｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂａｓｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ：ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
