一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（ ） A．1∈A
B．∅⊆A
C．∁RA＝{x|0＜x＜2} D．A∩∅＝A
2．已知a＞b＞0，则（ ） A．a2＜ab
B．a+b＜2b
C．＞1
D．
3．下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A．y＝x2与y＝x
B．y＝
与y＝（
）2
C．y＝与y＝x+1 D．y＝与y＝x
4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（ ） A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N* C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*
B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N* D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*
5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（ ） A．f（﹣1）＜f（﹣2） C．f（1）＞f（﹣2）
B．f（﹣1）＜f（2） D．f（0）＝0
7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（之间的关系是（ ）
）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2
A．r+R2＝R1 B．r+R1＝R2 C．＝R2 D．R1+R2＝r
8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称 B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称
C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数 D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ） A．a2+b2
B．
C．
≥4
D．
≥4
10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（ ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0 B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1 C．方程无实数根的充要条件是m＞1 D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0 11．已知函数f（x）＝
，下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于y轴对称
B．f（x）的单调减区间为（2，+∞） C．f（x）的值域为R
D．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值
12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝ ． 14．已知f（x）＝
，则f（3）的值为 ．
15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为 .（注：写出一个满足条件的即可） 16．设函数为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）已知x+x
＝3，求
的值；
定义在R上的增函数，则实数a取值范围
（2）已知，求的值．
18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}． （1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁RA； （2）若____，求实数a的取值范围．
（注：从①A∪B＝A；②B∩∁RA＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）
19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）． （1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；
（2）如果当地财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（
≈1.414）
20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，
满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝ ．
＞0恒成立．
21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]． （1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值． 22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝
．
（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．
参
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（ ） A．1∈A
B．∅⊆A
C．∁RA＝{x|0＜x＜2} D．A∩∅＝A
【分析】解出集合A再做判断．
解：因为A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}， 所以ACD选项均错误， 故选：B．
2．已知a＞b＞0，则（ ） A．a2＜ab
B．a+b＜2b
C．＞1
D．
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解． 解：对于A，∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0，
∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故A错误， 对于B，∵a＞b＞0，
∴a+b＞b+b，即a+b＞2b，故B错误， 对于C，∵a＞b＞0， ∴b﹣a＜0， ∴
，即
，故C错误，
对于D，∵a＞b＞0， ∴b﹣a＜0， ∴故选：D．
3．下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A．y＝x2与y＝x
B．y＝
与y＝（
）2
＜0，即
，故D正确．
C．y＝与y＝x+1 D．y＝与y＝x
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 解：对于A，函数y＝x2，定义域为R，y＝x不同，不是同一函数； 对于B，函数y＝
＝|x|，定义域为R，y＝
＝x，定义域为[0，+∞），两函数＝x|x|，定义域为R，两函数的对应关系
的定义域不同，不是同一函数； 对于C，函数y＝
＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y＝x+1，定义域为
R，两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于D，函数y＝
＝x，定义域为R，y＝x，定义域为R，两函数的定义域相同，
对应关系也相同，是同一函数． 故选：D．
4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（ ） A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N* C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*
B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N* D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*， 故选：C．
5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可． 解：把四个图象分别叫做A，B，C，D． 若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得
矛盾，所以不成立．
若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．
若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点， 得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴
有可能，所以此时a＝﹣1成立．
若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1， 此时对称轴
，矛盾，所以不成立．
故图象为第三个，此时a＝﹣1． 故选：B．
6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（ ） A．f（﹣1）＜f（﹣2） C．f（1）＞f（﹣2）
B．f（﹣1）＜f（2） D．f（0）＝0
【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．
解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数， 则f（x）在（0，+∞）是减函数，
所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2）， 故选：C．
7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（之间的关系是（ ）
）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2
A．r+R2＝R1 B．r+R1＝R2 C．＝R2 D．R1+R2＝r
【分析】利用公式P2＝U2I和本不等式求解即可．
，表示出滑动变阻器消耗的电功率，然后利用基
解：根据公式P2＝U2I和可得，
滑动变阻器消耗的电功率，
因为
当且仅当U2＝E﹣U2，即最大． 故选：B．
时，此时
，
时，R2消耗的电功率P
8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称 B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称
C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数 D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数
【分析】根据f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，分别对各个选项进行判断即可． 解：由题意函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，
则f（x+a）﹣b＝﹣f（﹣x+a）+b，则f（x+a）+f（﹣x+a）＝2b， 对于A：f（x）＝2x+1，a＝，b＝0，
则f（x+）+f（﹣x+）＝2（x+）+1+2（﹣x+）+1＝4≠2b＝0，故A错误； 对于B：f（x）＝x3﹣3x2＝x2（x﹣3），a＝1，b＝2，
则f（x+1）+f（﹣x+1）＝（x+1）2（x+1﹣3）+（﹣x+1）2（﹣x+1﹣3）＝﹣4≠2b＝4，故B错误；
对于C：若f（x）关于x＝a对称，则f（x）＝f（2a﹣x），
令x＝t+a，则f（t+a）＝f（a﹣t），用x替换t，则f（x+a）＝f（a﹣x），故f（x+a）是偶函数，
若f（x+a）是偶函数，则f（x+a）＝f（﹣x+a），令h＝x+a，则f（h）＝f（2a﹣h），故f（h）关于h＝a对称，
用x替换h，则f（x）关于x＝a对称，故C正确；
对于D：f（x﹣1）＝x2﹣4x+8，f（﹣x﹣1）＝x2+4x+8，f（x﹣1）≠f（﹣x﹣1），故f（x﹣1）不是偶函数，故D错误， 故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ） A．a2+b2
B．
C．
≥4
D．
≥4
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1， A：由A正确； B：由ab≤（正确； D：
＝
＝2+
＝4，当且仅当a＝b时取等号，D正确；
）2＝，得
，
≥4，当且仅当a＝b时取等号，B错误，C
，得
．即a2+b2
，当且仅当a＝b时取等号，
故选：ACD．
10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（ ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0 B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1 C．方程无实数根的充要条件是m＞1 D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0 【分析】利用根与系数关系与判别式计算判断即可．
解：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0中△＝（m﹣3）2﹣4m＝m2﹣10m+9、两根和为3﹣m、两根积为m．
若方程有一个正根一个负根，则
，解得m＜0，∴A对；
若方程有两个正根，则，解得0＜m≤1，∴B对；
若方程无实根，则△＝m2﹣10m+9＜0，解得m＜1或m＞9，∴C错； 当m＝3时，关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0为x2+3＝0无解，∴D错． 故选：AB． 11．已知函数f（x）＝
，下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于y轴对称
B．f（x）的单调减区间为（2，+∞） C．f（x）的值域为R
D．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值
【分析】根据函数奇偶性判断A；化简f（x）解析式，根据f（x）的单调性判断B；根据f（x）≠0判断C；根据奇偶性和单调性判断D． 解：对于A，函数f（x）＝且f（﹣x）＝
＝
的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称， ＝f（x），
所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故A正确； 对于B，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）时，f（x）＝当x∈[0，2）∪（2，+∞）时，f（x）＝
＝
，
＝﹣
，
所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，+∞），故B错误； 对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误； 对于D，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝﹣当x∈[0，2）时，f（x）＝
为增函数，f（x）＜f（0）＝﹣，
为减函数，f（x）≤f（0）＝﹣，
所以当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝﹣，故D正确． 故选：AD．
12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（ ） A．
B．0
C．1
D．
【分析】由条件可知C（A）＝2，根据A*B＝1，可得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，然后分析方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0根的情况，
即可得出a的可能取值．
解：根据题意，已知A＝{1，2}，则C（A）＝2， 又A*B＝1，则C（B）＝1或3，
即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，
若（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0， 若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，
当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意， 当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0或﹣， 所以①需要x2+ax+2＝0有两根且根不为0或﹣， 当△＝0时，a＝±2当a＝2当a＝﹣2
，
，﹣，
}，C（B）＝3，符合题意， }，C（B）＝3，符合题意，
，此时B＝{0，﹣2，此时B＝{0，2
②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3，
当a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意， 当a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题题意， 综上所述，a可取的值为0，±3，±故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝ 1 ． 【分析】由{2，m}＝{2m﹣1，2}得m＝2m﹣1． 解：∵{2，m}＝{2m﹣1，2}， ∴m＝2m﹣1， 解得，m＝1， 故答案为：1． 14．已知f（x）＝
，则f（3）的值为 2 ．
，
【分析】由题意得 f（3）＝f（5）＝f（7），故f（7）为所求． 解：∵f（x）＝
，
则f（3）＝f（5）＝f（7）＝7﹣5＝2， 故答案为 2．
15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为 b≤3 .（注：写出一个满足条件的即可） 【分析】根据题意，将f（x）≤g（x）变形可得b≤x+
+1，由基本不等式的性质求出
b的取值范围，即可得“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件，由充分必要条件的定义分析可得答案．
+∞），f（x）解：根据题意，∀x∈（0，≤g（x），即﹣x2+bx≤x+，变形可得b≤x+
+1，
又由x∈（0，+∞），则x++1＝+++1≥3+1＝+1，当且
仅当x＝时等号成立，
若“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），必有b≤+1，即“∀x∈（0，+∞），f（x）
≤g（x）”的充分必要条件为b≤+1，
故满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3， 故答案为：b≤3，（答案不唯一） 16．设函数4] ．
【分析】根据题意，分析y＝|x2﹣x﹣2|的单调区间，由函数单调性的定义可得
定义在R上的增函数，则实数a取值范围为 [2，
，解可得a的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，y＝|x2﹣x﹣2|＝，在区间（﹣1，）、[2，+∞）
上为增函数，
若函数是定义在R上的增函数，
则有，解可得2≤a≤4，即a的取值范围为[2，4]；
故答案为：[2，4]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）已知x+x
＝3，求
的值；
（2）已知，求的值．
【分析】（1）由x+x＝3结合完全平方公式可求出x+x﹣1的值，进而求出x﹣x﹣1的
值，代入所求式子即可求出结果．
（2）解方程组，用x表达出y，z的值，代入所求式子化简，即可求出结果． 解：（1）∵x+x∴
＝3，
﹣﹣
＝x+x1+2＝9，∴x+x1＝7，
∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49， ∴x2+x﹣2＝47，
又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45， ∴x﹣x﹣1＝∴
＝
，
＝
＝
＝
．
（2）由，得，
∴＝＝．
18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}． （1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁RA；
（2）若____，求实数a的取值范围．
（注：从①A∪B＝A；②B∩∁RA＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）
【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交并补运算即可求解； （2）根据所选条件，进行转化，然后结合集合包含关系可求．
解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}
A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁RA＝{x|﹣1≤x＜1}；
（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}， 所以
，解得3≤a≤5，
所以a的范围[3，5]；
若选②B∩∁RA＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁RA＝{x|x＜1或x＞7}， 所以
，解得3≤a≤5，
所以a的范围[3，5]；
③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}， 所以
，解得3≤a≤5，
所以a的范围[3，5]；
19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）． （1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；
（2）如果当地财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（
≈1.414）
【分析】（1）由矩形的长为xm，求出矩形的宽，中间区域的长，宽，得到定义域，表示出总造价y即可；
（2）利用基本不等式求解最值，比较即可得到答案． 解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为则中间区域的长为x﹣4m，宽为所以定义域为x∈（4，50）， 故y＝100×
整理可得y＝18400+400（x+（2）因为x+当且仅当所以当x＝
，即x＝
200[200﹣（x﹣4）（），x∈（4，50）； ＝20
，
﹣4）]，
﹣4m，
m，
时取等号，
≈2.97万元＜3万元，
时，总造价最低为18400+8000
故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地． 20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，
＞0恒成立．
满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝
．
【分析】（1）利用奇函数的定义以及奇函数的性质，得到f（0）＝0，结合f（1）＝求出a，b的值，验证即可；
，
（2）将问题转化为证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝则f（x）为奇函数，
满足f（x）+f（﹣x）＝0，
又f（1）＝，
所以，解得b＝0，a＝9，
所以，
经检验，f（x）为奇函数， 所以
；
（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增， 用定义证明如下： 设﹣3≤x1＜x2≤3， 则
＝
＞0恒成立，
＝
，
因为﹣3≤x1＜x2≤3， 所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，
故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增， 故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，
21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]． （1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值． 【分析】（1）求得二次函数的对称轴，考虑单调性，可得最值；
（2）求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，可得最大值，解方程可得a．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，
＞0恒成立． ，
又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝， 所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5； （2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]， 对称轴为x＝当
，
≤，即a≤时，
f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣； 当x＝
＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．
综上可得a＝﹣．
22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．
（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．
【分析】（1）利用f（﹣1）＝0以及函数f（x）的最小值为0，列出关于a，b的方程组，求解即可；
（2）求出g（x）的解析式，然后确定函数的对称轴，由二次函数的单调性，列出不等式，求解即可；
（3）利用函数为偶函数，求出f（x）和F（x）的解析式，由题意得到|m|＞|﹣n|，表示出F（m）+F（n），即可得到答案．
解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①， 又f（x）的最小值为0，则a≠0， 且b2﹣4a＝0②，
由①②解得，a＝1，b＝2， 所以f（x）＝x2+2x+1，
则；
（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝
，
当
或
，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，
故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）； （3）因为f（x）为偶函数， 所以f（x）＝ax2+1， 则
，
因为mn＜0，由于m，n的对称性， 不妨设m＞n，则n＜0， 又m+n＞0，则m＞﹣n＞0， 所以|m|＞|﹣n|，
所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0， 所以F（m）+F（n）能大于零．
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