材料力学第五版课后习题答案详解

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孙训方材料力学课后答案

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第二章 轴向

拉伸和压缩

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9

下页 2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

（a）解： （c）解：

.

； ； （b）解： ； ；

； 。 (d) 解： 。

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返回

2-2 试求图示等直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 上的应力。 解：

，试求各横截面

.

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返回

2-3

试求图示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积

，

，

，并求各横截面上的应力。

解：

返回

2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面

的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为 的应力。

的竖直均布荷载。试求拉杆AE和EG横截面上

解：

1） 求内力 取I-I分离体

=

.

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得

（拉）

取节点E为分离体

，

故

2） 求应力

（拉）

75×8等边角钢的面积 A=11.5 cm2

(拉)

（拉）

.

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返回

2-5(2-6) 图示拉杆承受轴向拉力

，杆的横截面面积

。

如以 表示斜截面与横截面的夹角，试求当 ，30 ，45 ，60 ，90 时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。 解：

.

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返回

2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图；

（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。

解： （压）

（压）

.

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返回

2-7(2-9) 一根直径

，其伸长为

、长 的圆截面杆， 承受轴向拉力

。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。

解：

2-8(2-11) 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为E， ，试求C与D两点间的距离改变量

。

解：

横截面上的线应变相同

因此

.

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返回

2-9(2-12) 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知 ，

。试求C点的水平位移和铅垂位移。

，

，

解：（1）受力图（a）

，

（2）变形协调图（b） 因

，故

。

.

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= （向下） （向下）

为保证

何关系知；

返回

，点A移至 ，由图中几

第三章 扭转

3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3

-12 3-1 一传动轴作匀速转动，转速 ，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为60kW，从动轮，Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。试作轴的扭矩图。

解： kN

kN

kN

kN

.

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返回

3-2(3-3) 圆轴的直径 ，转速为 切应力等于 ，试问所传递的功率为多大？

。若该轴横截面上的最大

解： 故

即

又

故 返回

.

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3-3(3-5) 实心圆轴的直径

，材料的切变模量

mm，长

m，其两端所受外力偶矩

。试求：

（1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角；

（2）图示截面上A，B，C三点处切应力的数值及方向； （3）C点处的切应变。

解： =

返回

3-4(3-6) 图示一等直圆杆，已知

，。试求：

（1）最大切应力；

（2）截面A相对于截面C的扭转角。

.

，，

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解：（1）由已知得扭矩图（a）

（2） 返回

3-5(3-12) 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴外径为D，内径为

。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力 ），扭矩T相等时的重量比和刚度比。

，且

.

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解：重量比=

因为

即

故

故

刚度比=

= 返回

3-6(3-15) 图示等直圆杆，已知外力偶矩 切变模量

， ， ，

许用切应力 ，许可单位长度扭转角

。试确定该轴的直径d。

.

解：扭矩图如图（a）

（1）考虑强度，最大扭矩在BC段，且

（1）

(2）考虑变形

比较式（1）、（2），取

返回

.

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2）

（实用文档

3-7(3-16) 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D=140mm，内径

d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。外力偶矩 。已知： 轴的强度和刚度。

，

，

， ，

。试校核该

解：扭矩图如图（a） （1）强度

=

， BC段强度基本满足

= 故强度满足。 （2）刚度

.

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BC段：

BC段刚度基本满足。

AE段：

AE段刚度满足，显然EB段刚度也满足。 返回

3-8(3-17) 习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力 变模量 ，许可单位长度扭转角 件选择圆轴的直径。 解：由3-1题得：

，切

。试按强度及刚度条

故选用 返回

。

.

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3-9(3-18) 一直径为d的实心圆杆如图，在承受扭转力偶矩 表面与纵向线成 量G的表达式。

方向上的线应变为 。试导出以

后，测得圆杆

，d和 表示的切变模

解：圆杆表面贴应变片处的切应力为

圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a）。 切应变

（1）

对角线方向线应变：

（2）

式（2）代入（1）：

返回

3-10(3-19) 有一壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为180 。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已知材料的切变模量 。

.

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解：

3-11(3-21) 簧杆直径 用，弹簧的平均直径为

（1）簧杆内的最大切应力；

（2）为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。

mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力 mm，材料的切变模量 。试求：

作

解： ，

故

因为

故 返回

圈

3-12(3-23) 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩

切变模量 ，试求： （1）杆内最大切应力的大小、位置和方向； （2）横截面矩边中点处的切应力；

。已知材料的

.

（3）杆的单位长度扭转角。

解：

，

，

由表得

MPa

返回

第四章 弯曲应力

4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9页 4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

.

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4-10 下

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（b）

（c）

（d）

.

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=

（e）

（f）

（g）

.

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（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

.

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（b）

时

时

（c）

时

时

.

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（d）

（e）

时，

时，

.

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（f）AB段：

BC段：

（g）AB段内：

BC段内：

.

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（h）AB段内：

BC段内：

CD段内：

返回

4-3(4-3) 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和

弯矩图。

.

.

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返回

4-4(4-4) 剪力图

和弯矩图。.

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试作下列具有中间铰的梁的

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返回

4-5(4-6) 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。

返回

4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载

图。

.

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返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

.

实用文档

.

返回

.

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4-8(4-18) 圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成 角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。

解：（a）

（b）

.

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返回

4-9(4-19) 图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问： （1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？

（2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？

解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。

，得：

当 时，

当M极大时： ，

则 ，故，

故 为梁内发生最大弯矩的截面

故： =

.

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返回

4-10(4-21) 长度为250mm、截面尺寸为

的薄钢尺，由于两端

外力偶的作用而弯成中心角为 的圆弧。已知弹性模量

。试求钢尺横截面上的最大正应力。

解：由中性层的曲率公式 应力公式

及横截面上最大弯曲正

得：

由几何关系得：

于是钢尺横截面上的最大正应力为：

返回

第五章 梁弯曲时的位移

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8

5-1(5-13) 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-4。

解：

.

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（向下）

（向上）

（逆）

（逆）

返回

5-2(5-14) 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-5。

.

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解：分析梁的结构形式，而引起BD段变形的外力则如图（a）所示，即弯矩

与弯矩

。

由附录（Ⅳ）知，跨长l的简支梁的梁一端受一集中力偶M作用时，跨中点挠度为

。用到此处再利用迭加原理得截面C的

挠度

（向上）

返回

5-3(5-15) 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-10。

解：

返回

5-4(5-16) 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-7中的

。

解：原梁可分解成图5-16a和图5-16d迭加，而图5-16a又可分解成图5-16b和5-16c。

由附录Ⅳ得

.

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返回

5-5(5-18) 试按迭加原理求图示梁中间铰C处的挠度 大致形状。已知EI为常量。

，并描出梁挠曲线的

解：（a）由图5-18a-1

.

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（b）由图5-18b-1

=

返回

.

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5-6(5-19) 试按迭加原理求图示平面折

杆自由端截面C的铅垂位移和水平位移。已知杆各段的横截面面积均为A，弯曲刚度均为EI。

解：

返回

5-7(5-25) 松木桁条的横截面为圆形，跨长为4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为 木的许用应力

的均布荷载。已知松 ，弹性模量

。桁条的许可相对挠度为

。试求桁条横截面所需的直径。（桁条可视为等直圆木梁计算，直径

以跨中为准。）

解：均布荷载简支梁，其危险截面位于跨中点，最大弯矩为 强度条件有

，根据

从满足强度条件，得梁的直径为

.

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对圆木直径的均布荷载，简支梁的最大挠度

为

而相对挠度为

由梁的刚度条件有

为满足梁的刚度条件，梁的直径有

。

由上可见，为保证满足梁的强度条件和刚度条件，圆木直径需大于 返回

5-8(5-26) 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长等于0.20 m的正方形，

。

，

；钢拉杆的横截面面积

。试求拉杆的伸长

及梁中点沿铅垂方向的位移

解：从木梁的静力平衡，易知钢拉杆受轴向拉力

.

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40

于是拉杆的伸长

为

=

木梁由于均布荷载产生的跨中挠度 为

梁中点的铅垂位移 等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移 的和，即

与中点挠度

返回

第六章 简单超静定问题

6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 6-10 6-11 6

-12 6-13 6-1 试作图示等直杆的轴力图。

.

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解：取消A端的多余约束，以

（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。

代之，则

因为固定端不能移动，故变形协调条件为：

故

故 返回

6-2 图示支架承受荷载 别为

，

和

各杆由同一材料制成，其横截面面积分

。试求各杆的轴力。

。此时各杆的变形

解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至 及

程。

如图所示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方

即： 亦即：

将 ， ， 代入，得：

.

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即：

亦即：

（1）

此即补充方程。与上述变形对应的内力 衡条件有：

如图所示。根据节点A的平

；

亦

即：

（2）

；

亦

，

即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得：

（拉）

（拉）

（压）

返回

6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。

.

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解：因为2，4两根支柱对称，所以 ，在F力作用下：

变形协调条件：

补充方程：

求解上述三个方程得：

.

实用文档

返回

6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知 ，两根钢杆的横截面面积 解：

，试求两杆的轴力和应力。 ，

（1）

又由变形几何关系得知：

，

（2）

联解式（1），（2），得 故

，

，

返回

6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力 弹性模量

；木材的许用应力

。试求短木柱的许可荷载

。

，弹性模量

，

.

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： 由木柱与角钢间的变形相容条件，有

（2） 由物理关系：

式（3）代入式（2），得

（4）

解得：

代入式（1），得：

（2）许可载荷 由角钢强度条件

.

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1）

3）

（ （实用文档

由木柱强度条件：

故许可载荷为： 返回

6-6(6-9) 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离

。已知上、

下两段杆的横截面面积分别为 和 ，材料的弹性模量

。试作图示荷载作用下杆的轴力图。

解：变形协调条件

故 故

，

.

实用文档

返回

6-7(6-10) 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为 ，线膨胀系数

解：设轴力为

℃-1。试求当温度升高

，总伸长为零，故

℃后，该杆各部分产生的应力。

= =

返回

6-8(6-11) 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩

。若

，试求固定端的支反力偶矩

，并作扭矩图。

解：解除B端多余约束

.

，则变形协调条件为

实用文档

即

故：

即：

解得： 由于

故 返回

6-9(6-13) 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个 角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知管A和杆B的极惯性矩分别为

；两杆的材料相同，其切变模量为G。

解：解除Ⅱ端约束 端扭了一个

，则Ⅱ端相对于截面C转了

=0

角，（因为事先将杆B的C角），故变形协调条件为

故：

故：

为：

故连接处截面C，相对于固定端Ⅱ的扭转角

.

实用文档

=

为：

而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角

=

应变能

=

= 返回

6-10(6-15) 试求图示各超静定梁的支反力。

解（a）：原梁AB是超静定的，当去掉多余的约束铰支座B时，得到可静定求解的基本系统（图i）去掉多余约束而代之以反力 点的挠度

，则得

的位移条件，得补充方程： ，并根据原来约束条件，令B到原超静定梁的相当系统（图ii）。利用

由此得：

，

为：

由静力平衡，求得支反力

.

实用文档

剪力图、弯矩图分别如图（iii），（iv）所示。梁的挠曲线形状如图（v）所示。这里遵循这样几个原则： （1）固定端截面挠度，转角均为零； （2）铰支座处截面挠度为零；

（3）正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸； （4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。 （b）解：由相当系统（图ii）中的位移条件

，得补充方程式：

因此得支反力：

：

根据静力平衡，求得支反力

,

剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。

.

实用文档

（c）解：由于结构、

荷载对称，因此得支反力

应用相当系统的位移条件

，得补充方程式：

注意到

，于是得：

=

剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii）、（（v）所示。

其中：

若

截面的弯矩为零，则有：

整理：

解得： 或

。

返回

.

；

iv）、实用文档

6-11(6-16) 荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为

解：令梁在连接处受力为

图（b）所示。梁AB 截面B的挠度为：

，则梁AB、CD受力如

梁CD 截面C的挠度为：

。

由于在铅垂方向截面B与C连成一体，因此有 将有关式子代入得：

变换成：

即：

解得每个梁在连接处受力： 返回

6-12(6-18) 图示结构中梁AB和梁CD的尺寸及材料均相同，已知EI为常量。试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。

.

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解：由EF为刚性杆得

即

图（b）：由对称性，

剪力图如图（c）所示，

弯矩图如图（d）所示，

返回

6-13(6-21) 梁AB的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度 时，试确定梁的约束反力

。

解：当去掉梁的A端约束时，得一悬臂梁的基本系统（图a）。对去掉的约束代之以反力

.

和 ，并限定A截面的位移： 。这样得到原结构的

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相当系统（图b）。利用位移条件，

补充式方程如下：

，与附录（Ⅳ）得

（1）

（2）

由式（1）、（2）联解，得： 从静力平衡，进而求得反力

是：

返回

第七章 应力状态和强度理论

7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7 7-8 7-9 7-10 7-11 7

-12 7-13 7-1(7-3) 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。由于实用的原因，图中的 限于

正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力

角

范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的

为许

用拉应力 的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问 角的值应取多大？ 解：按正应力强度条件求得的荷载以

表示：

.

实用文档

按切应力强度条件求得的荷载以

示，则

表

即：

当

时 ， 时， 时， 时，

由

、

随

， ， ， ，

时，杆件承受的荷载最大，

，

，

而变化的曲线图中得出，当 。

若按胶合缝的 达到 的同时， 亦达到 的条件计算

.

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则

即：

，

则

故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载 返回

。

7-2(7-7) 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：

.

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=

由应力圆得

返回

7-3(7-8) 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

.

实用文档

解：（a）

，

，，，

（b）

（c）

.

,

,

,

，

，

，

，

实用文档

（d）

，

，

，

，

，

返回

7-4(7-9) 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）主应力的数值；

（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 解：（a） （b） （c）

，，，

，，，

，

，，

.

实用文档

（d）

，，，

返回

7-5(7-10) 已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。试利

用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角 值。 解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交 为圆心，CA或CB为半径作圆，得 （或由 得 半径 （1）主应力

轴于点C，以C

）

（2）主方向角

.

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（3）两截面间夹角：

返回

7-6(7-13) 在一块钢板上先画上直径 的圆，然后在板上加上应力，如图所示。试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。已知钢板的弹性常数E=206GPa， =0.28。

解：

所画的圆变成椭圆，其中

.

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（长轴）

（短轴） 返回

7-7(7-15) 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。

解：（a）由xy平面内应力值作a，b点，连接ab交 应力圆半径

轴得圆心C（50，0）

故

（b）由xz平面内应力作a，b点，连接ab交 径

则：

.

轴于C点，OC=30，故应力圆半

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（c）由图7-15（c）yz平面内应力值作a，b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得

返回

7-8(7-18) 边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知 =0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。

解： （压）

（1）

（2）

联解式（1），（2）得

.

实用文档

（压）

返回

7-9(7-20) D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 图所示。在轴的中部表面A点处，测得与其母线成

。已知材料的弹性常数

。

，

方向的线应变为

，试求扭转力偶矩

，如

解： 方向如图

返回

7-10(7-22) 一直径为25mm的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa。设钢球的E=210GPa， =0.3。试问其体积减小多少？

解：体积应变

=

.

实用文档

返回

7-11(7-23) 已知图示单元体材料的弹性常数 元体的形状改变能密度。

。试求该单

解：主应力： 形状改变能密度：

= =

返回

7-12(7-25) 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论校核危险截面上的点a的强度。 注：通常在计算点a处的应力时近似地按点 解： =

（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

的位置计算。

.

实用文档

超过 的5.3%尚可。

（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

（3）在集中力作用处偏外横截面上校核点a的强度

超过

返回

的3.53%，在工程上是允许的。

7-13(7-27) 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A（图a）处的应力状态如图b所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得

。已知钢材的弹性模量E=210GPa，泊松比 =0.3，

许用应力

。试按第三强度理论校核A点的强度。

解：

.

实用文档

根据第三强度理论：

，

，

超过

返回

的7.%，不能满足强度要求。

第八章 组合变形及连接部分的计算

8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 8-9 8-10 下页 8-1 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知

，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端

m，

，

= = 返回

8-2 受集度为 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 梁的尺寸为

m，

，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 mm，

mm；许用应力

；

；许可挠度

。试校核梁的强度和刚度。

.

实用文档

解：

=

，强度安全

，

=

= 返回

刚度安全。

8-3(8-5) 图示一悬臂滑车架，杆AB为18号工字钢，其长度为 m。试求当荷载 作用在AB的中点D处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。

.

实用文档

解：18号工字钢

，

，AB杆系弯压组合变形。

， ，

= =

=

返回

8-4(8-6) 砖砌烟囱高 自重

kN，受

=

m，底截面m-m的外径

的风力作用。试求：

m，内径 m，

（1）烟囱底截面上的最大压应力； （2）若烟囱的基础埋深 许用压应力

m，基础及填土自重按

，圆形基础的直径D应为多大？

计算，土壤的

注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。

.

实用文档

解：烟囱底截面上的最大压应力：

=

土壤上的最大压应力

=

：

即 即 解得： 返回

m

8-5(8-8) 试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。

解：

，z为形心主轴。

.

实用文档

固定端为危险截面，其中： 轴力

，弯矩

，

=

A点拉应力最大

= =

B点压应力最大

= =

因此 返回

8-6(8-9) 有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。试求：

（1）当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力（设混凝土的密度为

）；

（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h为多大？

.

实用文档

解：以单位宽度的水坝计算： 水压：

混凝土对墙底的压力为：

墙坝的弯曲截面系数： 墙坝的截面面积： 墙底处的最大拉应力

为：

=

=

当要求混凝土中没有拉应力时：

即

即

.

实用文档

m

返回

8-7(8-10) 受拉构件形状如图，已知截面尺寸为40mm×5mm，承受轴向拉力 。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的

试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。

时，

解：

即

整理得： 解得： 返回

mm

8-8(8-11) 一圆截面直杆受偏心拉力作用，偏心距 70mm，许用拉应力

mm，杆的直径为

为120MPa。试求杆的许可偏心拉力值。

.

实用文档

解：圆截面面积

圆截面的弯曲截面系数

即：

，

返回

8-9(8-15) 曲拐受力如图示，其圆杆部分的直径

处应力状态的单元体，并求其主应力及最大切应力。

mm。试画出表示A点

解：A点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用，其值

它们在点A分别产生拉应力和切应力，其应力状态如图8-15a，其中

.

实用文档

注：剪力在点A的切应力为零。 返回

8-10(8-16) 铁道路标圆信号板，装在外径 最大风载

，

mm的空心圆柱上，所受的

。试按第三强度理论选定空心柱的厚度。

解：忽略风载对空心柱的分布压力，只计风载对信号板的压力，则信号板受风力

空心柱固定端处为危险截面，其弯矩： 扭矩：

.

实用文档

=

mm

返回

第九章 压杆稳定

9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-8 9-9 9-10 9-11 9-1(9-2) 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？

解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 与约束情况有关的长度系数。 （a） （b） （c） （d） （e） （f）

=1×5=5m =0.7×7=4.9m =0.5×9=4.5m =2×2=4m =1×8=8m =0.7×5=3.5m

最小，图f所示杆

最大。

成反比，此处，

为

故图e所示杆

.

实用文档

返回

9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为 时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的

线膨胀系数

将丧失稳定？ 解：

。试问当温度升高至多少度时，杆

返回

9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力

的算式。

解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。

.

实用文档

（c）两根立柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳

故面外失稳时

最小

= 返回

。

9-4(9-7) 图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点， 。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。

解：杆DB为两端铰支 ，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取 。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故

.

实用文档

返回

9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长 m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力 解：

，试求压杆的许可荷载。

m

返回

9-6(9-10) 如果杆分别由下列材料制成： （1）比例极限 （2） （3）

， ，

，弹性模量

，含镍3.5%的镍钢； 的松木。

的钢；

试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。

.

实用文档

解：（1）

（2）

（3） 返回

9-7(9-11) 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm×150mm的正方形，长度

m，强度许用应力

。试求木柱的许可荷载。

解：

由公式（9-12a）， 返回

9-8(9-13) 一支柱由4根80mm×80mm×6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长

l=6m，压力为450 。若材料为Q235钢，强度许用应力 支柱横截面边长a的尺寸。

，试求

解： （查表：

.

，

）

实用文档

，查表得：

m4

=

返回

mm

9-9(9-14) 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，

。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。

解：由型钢表查得

角钢：

得 查表：

故

.

实用文档

返回

9-10(9-16) 图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为TC15。若架上受集度为 用应力

的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许

，试求撑杆所需的直径d。

解：取I-I以上部分为分离体，由

，有

设

，

m

则

m。

求出的 与所设 基本相符，故撑杆直径选用 返回

.

实用文档

9-11(9-17) 图示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成，C，D两处均为球铰。已知

mm，

mm，

mm；

，稳定安全因数

，

，

。试确定该结构

；强度安全因数

的许可荷载。

解：（1）杆CD受压力

梁BC中最大弯矩 （2）梁BC中

（3）杆CD

（由梁力矩平衡得）

=

返回

（第Ⅱ册）第三章 能量法

.

实用文档

10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10

下页 10-1(3-1) 试求图示杆的应变能。各杆均由同一种材料制成，弹性模量为 各杆的长度相同。

。

解：（a）

（b） （c）取

长的微段（如图），在均布轴力

的作用下，它具有的应变能：

式中： ,

杆具有的应变能：

题（d）与题（c）同理，得杆的应变能

返回

10-2(3-2 )试求图示受扭圆轴内的应变能

.

。

解：应变能

式中：

因此

返回

10-3、10-4(3-3) 试计算图示梁或结构内的应变能。略去剪切的影响，知。对于只受拉伸（或压缩）的杆件，考虑拉伸（压缩）时的应变能。解：（a）梁的弯矩方程式：

利用对称性，得梁的弯曲应变能

（b）梁的弯矩方程式

.

实用文档

为已

梁的应

变能

（c）刚架的弯矩方程

，

刚架的应变能

（d）结构中梁的弯矩方程

，

拉杆的轴力

结构的应变能等于梁的弯曲应变能与拉杆的拉伸应变能的和，即.

实用文档

实用文档

返回

10－5、10－6、10－7、10－8（3-7） 试用卡氏第二定理求图示各刚架截面 位移和截面

的转角。略去剪力

和轴力

的影响，

为已知。

的

解：（a）

（1）求截面 截面

的水平位移

，刚架的应变能

处添加一水平集中荷载

.

实用文档

（向右）

(2) 求截面 截面

的转角

，刚架的应变能

处添加一集中力偶矩

（逆）

（3）求截面B的转角

B处添加力偶矩 ，刚架的应变能

（顺）

解：（b）

.

实用文档

（1） 求截面 的铅垂位移 截面

处添加一铅垂集中力

，刚架的应变能

（向上）

，刚架的应变能

（2） 求 截面水平位移 截面

处添加一水平面的集中力

（向右）

（3）求截面 在截面

的转角

，刚架的应变能

处，添加一集中力偶

.

实用文档

（4）求截面

的转角

，刚架的应变能

（逆）

截面B添加一集中力偶

= （逆）

解:（c）

（1） 截面A处的铅垂位移 令作用于A处的集中力

，刚架的应变能

.

实用文档

= （向下）

，则刚架的应变能

（2）求截面A处的水平位移 令作用于B处的集中力

= =

（向右）

（3）求截面A的转角

于截面A处添加一力偶矩 ，则刚架的应变能

= =

，则刚架的应变能

（顺）

（4）求截面B的转角

在截面B处添加一力偶矩

= = （顺）

解：（d）

.

实用文档

（1） 求截面A处的水平位移 刚架的应变能

=

右）

（2）求截面A的转角 截面A处加一力偶矩

，刚架的应变能

（向

于是 = =

（逆）

（3）求截面B的转角

因为刚架的AB段未承受横向力，所以AB段未发生弯曲变形，转角

。 返回

10-9(3-11) 试用卡氏第二定理求图示梁在荷载作用下截面 的铅垂位移。 为已知。

等于转角

的转角及截面

.

实用文档

解：（1）求截面A的转角 在截面A处加一力偶矩

（图a）,梁的弯矩方程

梁的应变能

(逆)

（2）求截面B的铅垂位移

截面B处加一竖直向下荷载F。梁的弯矩方程

.

实用文档

梁的应变能

=

=

= 返回

（向下）

10-10(3-12) 试用卡氏第二定理求解图示超静定结构。已知各杆的 同。

， 相

解：（a）一次静不定，静定基如图3-12a-1 由对称性知 由节点C平衡

（1）

由节点B平衡

（2）

（3）

.

实用文档

（4）

（拉） 代入式（3）， （压）

（拉）

解：（b）一次静不定，静定基如图3-12b-1

.

1）

5）

（（实用文档

（2）

=

即

（3）

代入式（2），得：

解：（c）解除B端约束，代之反力 ，并令B端沿铅垂方向的位移 于是得到原超静定的刚架（图c1）的相当系统（图c2）。

，

图（c2）所示刚架的应变能为

B截面处的铅垂位移

为：

.

实用文档

=

= =0

解得

内力图如图（c3）、（c4）、（c5）所示。

解：（d）静定基3-12d1

.

实用文档

=

解：（e）由结构对称，荷载反对称，得静定基如图3-12e1

C处上下相对位移：

（与图示反向）

（向左）

由左图平衡

（向下）

，

（逆）

由反对称，得右图B处反力：

.

实用文档

（向左），

（逆）

解：（f）由对称性得静定基如图3-12f1，

中间铰处弯矩为零。

（向上），

故 返回

（第Ⅱ册）第二章 考虑材料塑性的极限分析

11-1 11-2 11-3 11-4 11-5

11-1(2-1) 一组合圆筒，承受荷载 面面积为 积为

，弹性模量为

，如图a所示。内筒材料为低碳钢，横截

；外筒材料为铝合金，横截面面

，屈服极限为

，弹性模量为 ，屈服极限为 。假设两种材料均可理想化弹性-理

和极限

想塑性模型，其应力-应变关系如图b所示。 试求组合筒的屈服荷载 荷载

。

解：（1）求屈服荷载

低碳钢刚出现屈服时，

此时铝仍处于线弹性阶段，且其应变与低碳钢相同，即故 屈服荷载 （2）求极限荷载 此时铝刚达屈服

.

实用文档

返回

11-2(2-2) 一水平刚性杆 ， 端为固定铰链支承，在 处分别与两根长度 、横截面面积 和材料均相同的等直杆铰接，如图所示。两杆的材料可理想化为弹性-理想塑性模型，其弹性模量为 处承受集中荷截

，试求结构的屈服荷载

、屈服极限为 。和极限荷载

。在刚性杆的 。

解：（1）由图2-2a，

（1）

在线弹性阶段

（2）

代入式（1），得 ，

（2）显然杆C先达到屈服，此时

.

实用文档

（3）杆C屈服后，杆C受力保持 此时杆B应力达

：

，杆C失去约束作用，使杆B也达屈服，

即 故 返回

11-3(2-4) 等直圆轴的截面形状如图所示，实心圆轴的直径 圆轴的内、外径分别为 其剪切屈服极限

，空心

。材料可视为弹性-理想塑性，

。试求两轴的极限扭矩。

解：

返回

11-4(2-7) 图示T形截面梁的材料可视为弹性-理想塑性，其屈服极限

，试求该梁的极限弯矩。

解：1.求极限塑性中性轴位置

.

2.

返回

11-5(2-8) 矩形截面简支梁受载如图所示。已知梁的截面尺寸为

；梁的材料可视为弹性-理想塑性，屈服极限

。试求梁的极限荷载。

解：由图2-8a，

返回

（第Ⅱ册）第六章 动荷载·交变应力

12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-9 12-11

.

实用文档

12-10

实用文档

12-1(6-2) 一起重机重

根起吊

跨度

，装在两

的20a号工字钢梁上，用钢索

的重物。该重物在前3s内按等加速上升10m。已知 ，试校核梁的强度（不计梁和钢索的自重）。

解：

返回

12-2(6-4) 一杆以角速度 截面面积为 ，重量为

试求杆的伸长。 解：（1）求轴力

绕铅垂轴在水平面内转动。已知杆长为 ，杆的横。另有一重量为

的重物连接在杆的端点，如图所示。

杆AB受力如图6-4a，其中轴向惯性分布力：

为求轴力，用截面法，在x截面截开，取右半部分，如图6-4b，图中未示出重

力，则

=

.

实用文档

（2）求杆伸长

= 返回

12-3(6-5) 图示钢轴和钢质圆杆 重物。已知钢的密度

杆AB内的最大正应力。

的直径均为10m，在

。若轴

的转速

处有一 的，试求

解：

=

=

返回

.

实用文档

12-4(6-8) 在直径 的轴上，装有转动惯量 的飞轮，轴以300 r/min的匀角速度旋转，如图所示。现用制动器使飞轮在4秒内停止转动，试求轴内的最大切应力（不计轴的质量和轴承内的摩擦力）。 解：设轴为等减速转动，其角减速度为

返回

12-5(6-9) 重量为

的重物自高度

处自由下落，冲击到20b

。试求梁

号工字钢梁上的 点处，如图所示。已知钢的弹性模量 内最大冲击正应力（不计梁的自重）。

解：

返回

12-6(6-10) 重量为

的重物，自高度

处自由下落，冲击到外

。

伸梁的 点处，如图所示。已知梁为20b号工字钢，其弹性模量 试求梁内最大冲击正应力（不计梁的自重）。

.

实用文档

解：

返回

12-7(6-11) 重量为 的重物，自高度 梁中点E处，如图所示。该梁一端吊在弹簧 冲击前梁

处自由下落，冲击到钢

上，另一端支承在弹簧 上，

，钢

处于水平位置。已知两弹簧的刚度系数均为

的弹性模量 ，梁的截面为宽40mm、高8mm的矩形，其自重不计。

试求梁内最大冲击正应力。

解：弹簧变形 梁的最大挠度

返回

.

实用文档

12-8(6-12) 图示为等截面刚架，重物（重量为P）自高度h处自由下落冲击到刚架的A点处。已知 。试求截面 的最大竖直位移和刚架内的最大冲击正应力（刚架的质量可略去不计，且不计轴力、剪力对刚架变形的影响）。

解：

=

返回

12-9(6-14) 重量

的冰块，以

的速度沿水平方向冲击在木桩的

，弹性模量

。

上端，如图所示。木桩长 ，直径

试求木桩的最大冲击正应力（不计木桩自重）。

解：

.

实用文档

返回

12-10(6-16) 试计算图示各交变应力的应力比和应力幅。

解：（a）应力比 ，应力幅

（b）应力比 ，应力幅

（c）应力比 ，应力幅

（d）应力比 返回

，应力幅

12-11(6-17) 图a所示为直径 的钢圆轴，受横向力 和

轴向拉力 的联合作用。当轴以匀角速 转动时，试绘出跨中截面上 点处的正应力随时间变化的曲线，并计算其应力比和应力幅。

解：跨中截面上k点正应力

.

实用文档

其应力比 应力幅 返回

（第Ⅱ册）第五章 应变分析·电阻应变计法基础

13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6

13-1(5-1) 用45°应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为 ，

的主应变数值和方向。

，

。试作应变圆，求该点处

解：应变圆的作图法：

（1）定 坐标系如图所示。

.

实用文档

（2）从 轴上量取

与 轴交于

；量取

作垂直线 作垂直线

，与 轴交于 ；量取 作垂直线

，与 轴交于D。

（3）平分AD得圆心C。 （4）在 （5）连 主应变数值。 （6）连

证：在直角三角形 返回

13-2(5-2) 用45°应变花测得构件表面上某点处

，

和方向。

，

垂线上向上量取

=CB。

两点，则

为

即为应变圆半径，作应变圆交 轴于

及三角形

，故

中，

应力圆半径。

。试求该点处三个主应变的数值

解：

.

实用文档

，

返回

13-3(5-4) 由电阻应变计法测得钢梁表面上某点处

，已知：

。试求

及

值。

解：

返回

13-4(5-5) 有一处于平面应力状态下的单元体，其上的两个主应力如图所示。设 变

。

。试求单元体的三个主应变，并用应变圆求出其最大切应

解：

= =

=

由应变圆可知：

=

.

实用文档

返回

13-5(5-7) 在一钢结构表面的某点处，用

，

，

应变花测得三个方向的线应变为

，结构材料的弹性常数

。试用应变圆求主应变，并求该点处主应力的数值及方向。

解：（1）作应变轴如图5-7-1 （2）在 轴上按比例截 取AD中点C为圆心，坐标

值，A，B，D三点应变值对应

，则

。

（3）过A作 轴的垂线 （4）以C为圆心，

，使

为半径，作圆

（5）由图中量得， 由理论计算知：

.

实用文档

=

=

返回

13-6(5-9) 在一液压机上横梁的表面上某点处，用45°应变花测得

，

，

。试用应变圆求该点处两

试求该点处

主应变的数值和方向。上横梁的材料为铸铁， 的主应力值。

解：作应变圆得

.

实用文档

=

=

返回

第II册 第一章 弯曲问题的进一步研究

14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6

14-1（1-1） 截面为16a号槽钢的简支梁，跨长 的均布荷载作用，梁放在 处的弯曲正应力。

，受集度为

点和

点

的斜面上。试确定梁危险截面上

解：16a号槽钢的几何性质为

， ，

槽钢截面对于 不对称，规格表中所给 于点

，故求

时不能引用。

对点

而言，不适用

.

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14-2(1-2) 矩形截面木檩条的跨度 杉木，弯曲许用正应力 条的强度和刚度。

，荷载及截面尺寸如图所示，木材为

，许可挠度为l/200。试验算檩

解：

（1）檩条的强度验算：

满足强度条件。 （2）檩条的刚度验算

.

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沿 方向的挠度：

沿 方向的挠度：

容许挠度为

尚可认为满足刚度要求。

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14-3(1-3) 图示跨长为

钢制成，在梁跨中点受集中力 处的正应力。

的简支梁，由200 mm×200 mm×20 mm的等边角

作用。试求最大弯矩截面上

点

解：200×200×20角钢的截面几何性质为：

（对于点

的），

.

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14-4(1-4) 由木材制成的矩形截面悬臂梁，在水平对称面内受到 用，在铅垂对称面内受到 位置，并求梁的最大挠度。

作用，如图所示。已知：

。试求梁横截面上的最大正应力及其作用点的

作

如果截面为圆形， 解：矩形戴面时

发生在固定端截面上，

分别作用下的正应力图如图所示 ，试求梁的横截面上的最大正应力。

.

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在 共同作用下，最大拉应力在固定端戴面上点1处，而最大压应力在该截面上点3处，两者的值相等。

最大挠度

.

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故

圆形截面时：

由于此时梁在 分别作用下，在固定端截面上产生的最大正应力不在同一点处，故不可能如矩形截面梁中那样判定最大正应力作用点位置及最大正应力。注意到，圆截面对于任何形心轴的抗弯截面模量均为 面上由于 弯矩。

引起的弯矩

和由于

引起的弯矩

，故可将固定端截取矢量和求得最大

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14-5(1-5) Z形截面简支梁在跨中受一集中力作用，如图所示。已知该截面对通过截面形心的一对相互垂直的轴 的惯性矩和惯性积分别为

和

力。

。试求梁的最大正应

解：

由公式（1-1）得：

.

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14-6(1-7) 一用钢板加固的木梁承受集中荷载 的弹性模量分别为

的最大弯曲正应力。

及

，如图所示。钢和木材

，试求危险截面上钢和木材部分

解：由两种材料构成的组合梁，在受力弯曲时，我们假定梁的变形仍然满足平面假设。因此纵向线应变沿截面高度的变化仍服从公式： 为了便于叙述，设木材为材料1，钢板为材料2。 而正应力沿横截面的变化，根据胡克定律有：

（1）

（2）

设z轴是整个横截面的中性轴，根据轴向合力为零，有式：

.

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即 （3） 显然

是横截面的部份对z轴（中性轴）的静矩。用 同理

于是式（3）为：

（4） 即

根据横截面上的内力元素

mm

对中性轴之矩的和，应等于该截面的弯矩，有：

表示：

其中

分别为木材和钢截面对中性轴的惯性矩，由上式得：

（5） 将式（5）分别代入式（1）、（2）得：

（6）

部份截面对中性轴z的惯性矩是：

.

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最大弯矩在集力中F作用处：

木材中的最大正应力绝对值：

= =

（压）

= 返回

（拉）

附录I 截面的几何性质

15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7

15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。

.

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解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是

利用平行轴定理，可求得截面对形心轴

的惯性矩

，

所以

再次应用平行轴定理，得

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15-2(I-9) 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边平行，相距1 m。

解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是 心轴

的惯性矩

，用平行轴定理得截面对形

再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩

.

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15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴 的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是

上面一个圆的圆心到 轴的距离是 。

利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

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15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是 利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩

。

.

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（b）等边角钢 的截面积是

边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：

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15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩

计算如下：

，其形心距外

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15-6(I-14) 在直径

的圆截面中，开了一个

和

的矩形孔，如图所。

示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩 解：先求形心主轴 的位置

即

.

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15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩

和

相等，则两槽钢的间距 应为多少？

、

的惯性矩是

；槽钢背到其形心轴

，

的距离

解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴

；横截面积为

是

。

根据惯性矩定义

是

和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别

若

；

即

等式两边同除以2，然后代入数据，得

于是 所以，两槽钢相距

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.

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.