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多种方法快速绘制剪力图和弯矩图
作者：刘小会
来源：《读与写·教育教学版》2012年第04期
摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。 关键词：剪力图 弯矩图 面积法 叠加法
中图分类号： G2 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2012)04-0052-02 1 引言
直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。
2 直接绘制剪力图和弯矩图
例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端， BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。
解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。 (2) 绘制剪力图。
过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为
（a，-qa/4)。在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，
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剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。受到D点约束力的作用，D-截面在剪力图中的坐标为(3a，qa/4)。DE段无载荷作用剪力保持不变， E+截面在剪力图中的坐标为(4a，qa/4)。在E点受到大小为qa/4的集中载荷作用，E-截面的剪力图坐标为(4a，0)，即剪力值从零开始，到零结束，剪力图始终是一个封闭图形。 （3）绘制弯矩图。
建立水平方向的x轴，竖向的M轴，且方向向下为正。画弯矩图按照习惯从左到右开始，从原点（0,0）即A+截面开始。整梁无集中力偶，弯矩图无突变。根据剪力和弯矩的关系知道AB梁段的弯矩图为斜向上的直线，A点和B点弯矩的变化值为AB段剪力图围成的矩形面积之和-qa2/4，即B点的坐标为（a,
-qa2/4）。在BC段上有方向向下的均匀载荷q，则弯矩图开口方向向上[1]，剪力图中显示BC段中点G处剪力为零，则弯矩图中BC段中点处有极值，此点处弯矩的值为这点左边剪力图面积之和qa2/8，坐标为（3a/2, -qa2/8），C点处的坐标为（2a,-qa2/4）。同理，CD段的弯矩图开口方向向下，根据计算面积， CD中点处坐标为（5a/2, -qa2/8），D点坐标为（3a,-qa2/4）。根据剪力图可以确定DE段的弯矩图为斜向下直线，D、E两点弯矩之差为对应的DE段梁剪力图包围的面积，所以E点的坐标为（4a,0）。起始点A处弯矩为零，梁末端E点弯矩为零，弯矩图始终是封闭图形，这也说明整个梁受到的弯矩为零。对于BD梁受到相反方向的均匀载荷作用，其变形为扭曲的S形，观察其弯矩图也是S形，这说明弯矩图的形状和梁的变形有一定的相似性，我们也可以根据这个方法判断自己画的弯矩图是否正确。 3 采用叠加原理绘制剪力图和弯矩图
采用上述方法计算约束力较为困难，绘制剪力图及弯矩图也比较复杂。图1（a）中结构为对称结构，根据叠加原理将其载荷分解，对称载荷和非对称载荷分别作用于对称结构上如图2（a）和3（a）所示，然后分别绘制内力图。对于图2（a）中的对称结构可以方便计算出FSBy=qa/4以及FSDy=qa/4。根据上述方法可以画出剪力图2（b）及弯矩图2（c），对称载荷作用下，剪力图是反对称的，弯矩图是对称的。
对于反对称载荷作用于对称结构上，如图3(a)所示。可以容易计算出约其束力，FDBy=qa/2以及FDDy=-qa/2。根据上述方法可以画出剪力图3（b）及弯矩图3（c），反对称载荷作用下，剪力图是对称的，弯矩图是反对称的。
将图2及图3中的内力图进行叠加就可以得到和图1中相同的剪力图和弯矩图。这时须注意两个弯矩图的叠加并非是两个图形的简单拼加，而是指两图中对应的纵坐标相叠加，同侧的纵坐标应相加[2]，异侧的纵坐标应相减，叠加法的运用可以使复杂弯矩图的绘制变得简单。 4 结语
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弯曲内力图是材料力学教学中的重点和难点，是梁强度及刚度计算的基础，因此，要求学生能够熟练掌握。通过对典型例题详细分析，介绍了绘制剪力图和弯矩图的技巧，有助于学生快速掌握。 参考文献：
[1]徐烈烜，聂国隽.材料力学[M].上海：同济大学出版社，2011.
[2]易春林，丁小艳.探索弯矩叠加[J].洛阳工业高等专科学校学报，2005,15(3).
