材料力学(机械工业出版社)知识小结：第十二章 静不定结构

12–1静不定结构概述

用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。 在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的静不定次数。 静不定问题分类

第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的，可称为外力静不定系统。 第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的，可称为内力静不定系统。 第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是静不定的。 分析方法

1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。 2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。 变形比较法：静定基 变形协调条件：f0

静定基和变形协调条件：

（1）去掉一个可动铰支座或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。

（2）将刚性联接改成单铰联接，相当于去掉一个约束。

（3）去掉一个单铰，相当于去掉两个约束 （4）在刚性联接处切断，相当于去掉三个约束

用去掉多余约束的方法确定结构的静不定次数。

相当系统：通常把载荷和多余约束力作用下的基本静定系称为相当系统。 静定基或相当系统的不唯一性（略）

12–2静不定结构的求解（笔记上有纪录，可以好好看看） 一、用卡氏定理求解静不定结构

VsFRn0

二、莫尔积分法求解静不定结构（略）

12–3用力法解静不定结构

一、力法的基本思路（举例说明）

[例1]如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图，并求梁中点的挠度。

解：①判定多余约束反力的数目（一个）

②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，列出变形协调方程，见图(b)。

P (b)

A B1X11P0

C B X1

③用能量法计算1P和1X，由莫尔定理可得(图c、d、e)

1P (c)

A C x B

(d)

B

x X1

(e)

x l25Pl3B 1

，1X11P1EIll2P(x)xdx1EI48EIl0X1xxdxX1l33EI

④求多余约束反力

将上述结果代入变形协调方程得⑤求其它约束反力 ⑥作弯矩图，见图(g)

⑦求梁中点的挠度

注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。 二、力法正则方程

上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式：11X11P0 X1——多余未知量；

X1l33EI5Pl348EI0，X1516P

11——在基本静定系上，X1取单位值时引起的在X1作用点沿X1方向的位移；

1P——在基本静定系上，由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向的位移；

对于有无数多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：

11X112X21nXn1P021X122X22nXn2P0  n1X1n2X2nnXnnP0

12–4对称及对称性质的应用

一、对称结构的对称变形与反对称变形

结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。

正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形对称截面上，对称内力为零或已知。

对称轴 X3

X2 X1 P X1 X2 P X3

X3 X3 X1 X1 P

X2 X2 P P

12-5连续梁与三弯矩方程（略）