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第十三章能量方法（训练题）
（一）改错与填空：
1．用图乘法对下图各梁求yC时，下面的求法是否正确？若不正确应如何改正？（略）
113ql23l12ql2l
1)对图（a）yc=(××l×) 2)对图（b）yc=(××l×)
EI324EI384
qAlF=qaCAqClB
题1图（a） 题1图（b）
2．用图乘法求如下悬臂梁上B截面处的挠度时，yB= 。（略）
剪 切 线 题2图
（二）基本计算题：
1．计算图示各杆的应变能。
Melx1
x2MelFN2l3F2lF2lF2l
=+=(a)U=∑ 2EA2EA2E(2A)4EAM(x)dx∑∫2EI=∫
2
l30
(−
(b) U=
Me2Me
x1)dx1x2)2dx22l(−Me2lll3
+∫=
02EI2EI18EI
题1图（a) 题1图（b)
2．由五根钢杆组成的杆系如图所示。各杆横截面积为A=500mm2，E=200 GPa。设沿对角线AC方向作用一对F=20kN的力，试求A、C两点的距离的改变。
- 125 -
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FaDAB1AaBCaF
DCa1题2图
解：结构受F力作用内力：
FNAB=FNAD=FNCD=FNBC=
结构受一对单位力作用内力：
2F;FNBD=−F； 2
FNAB=FNAD=FNCD=FNBC=
2;FNBD=−1； 2Δ=∑
FNFNl
=EA
4(22F)a+(−1)(−F)2a(2+2)22=Fa
EAEA
3．试用莫尔积分法求图示梁的截面B的挠度和转角。EI=常数。
题3图 x2x1解：
11 M(x1)=−x1;M(x2)=−(l−a+x2);M(x1)=1;M(x2)=1; 2qx2−[−(l−a+x2)]dx2qa3aM(x)M(x)dx2Δy=∑∫=∫=(4l−a)(↓)024EIEIEI
2qx2−(1)dx2aM(x)M(x)dxqa32=∫=−(↵)θ=∑∫06EIEIEI
4．图示刚架的各杆的EI皆相等，试用莫尔积分求截面A的位移和截面C的转角。
题4图
- 126 -
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x1x2111x3(b)(c)(d)(a)
M(x1)=0(a);M(x2)=−Fx2(a);M(x3)=−Fb(a);M(x1)=−x1(b);M(x2)=0(b);M(x3)=−a(b);M(x1)=0(c);M(x2)=0(c);M(x3)=−x3(c);M(x1)=0(d);M(x2)=−1(d);M(x3)=−1(d);
b−Fb(−a)dxM(x)M(x)dxFabh3
ΔAy=∑∫=∫=(↑)
0EIEIEIb−Fb(−x)dxM(x)M(x)dxFbh233
ΔAx=∑∫ =∫=(→)
0EIEI2EIb−Fx(−1)dxb−Fb(−1)dxM(x)M(x)dxFb322
θc=∑∫=∫+∫=(b+2h)(↵)
00EIEIEI2EI
5．试用图乘法及叠加原理，计算图示梁B截面的挠度和转角。
题5图 解：
11Fl4Fl4l41 - 127 -
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ΔB=∑
ωMC
EI
=
1EI
Fll1Fl2l1llFl⎤⎡1
−×××+××××+×××⎥ll⎢24224342444⎦⎣
5Fl3
=(↓)384EI
ωMC1
=θB=∑EIEIFl2
=(↵)12EI
Fl11Fl2lFl⎤⎡1
−×××+××××+××⎥ll11⎢4224344⎦⎣2
6．已知图示刚架AC和CD两部分的I=3×103.cm4，E=200 GPa。试用图乘法求截面D的水平位移和转角。F=10kN，l=1m。
2Fl2l
1
2Fl1 (c)(b)(a)
解：结构受外力、单位1力、单位1力偶作用如图（a）、（b）、（c）所示；
2Fl 题6图
2l1121⎡1⎤
××××+××+×××2l2Fl2l2Fl2l2ll2l2Fl⎢⎥EI32⎣2⎦
38Fl338×103×10×109===21.1mm(←)3EI3×200×103×3×102×104
ωMC1⎡11⎤
=×××+××+×××θD=∑2l2Fl12Fl2l1l2Fl1⎥EIEI⎢2⎣2⎦ΔDX=∑
=
7Fl27×10×103×106
===0.0117rad(↵)37
EI200×10×3×10
7．刚架各部分的EI相等，试用图乘法求在下图所示一对力F的作用下，A、B两点之间的相对位移和相对转角。
ωMC
1EI
- 128 -
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题7图（a） 题7图（b） 解：（a）题；
1
1h Fh h(a1) (b1)(c1)
（b）图；
结构受外力、单位1力、单位1力偶作用如图（a2）、（b2）、（c2）所示；
ΔAB=∑ωMCEI=1EI⎡2Fl122⎤×××××2ll⎥⎢2232⎦⎣
Fl3=(←→)3EIθAB=∑ωMCEI=1EI⎡12Fl⎤××××1⎥2l⎢2⎣2⎦
2Fl2
=(↵)
EI
22
1Fll22
(a2)(b2)(c2)
8．平面刚架如图所示。刚架各部分材料和截面相同，试用图乘法求截面A的转角。
3Fl1题8图
3Fl1
(b)- 129 -
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解：结构受外力、单位1力作用如图（b）、（c）所示；
θA=∑
ωMC
EI
=−
1
EI
16.5Fl2
(↵)=−
EI
1⎡1⎤
23l3Fl15l3Fl××××+×××1⎢⎥2⎣2⎦
9．图示刚架的各组成部分的抗弯刚度EI相同，抗扭刚度GIp也相同，在力F作用下，试求截面A和C的水平位移。
CDAFaaFaB题9图
解：结构受外力、A点受单位1力、C点受单位1力作用弯矩图如图（b）、（c）、（d）所示； 结构受外力、C点受单位1力作用扭矩图如图（e）、（f）所示；
a2a3Fa
aaFa
(b)(c)(d) aFa
aFa
(e)(f)
- 130 -
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ΔAX=∑
ωMC
EI
=
1EI
7Fl3
(←)=2EI
215⎡1⎤
2a2Fa2aaFa2a××××+××××⎢⎥326⎣2⎦
ΔCX=∑
ωMC
EI
+∑
ωTC
GIt
=
1EI
212a⎤⎡1
××××+××××+××+a2FaaaFaaFaa⎢⎥3232⎦⎣2
Fa×a×a
GIt
⎡3Fa3Fa3⎤=⎢+⎥(←)⎣2EIGIt⎦
（三）附加题：
1．计算图示曲杆的应变能。
题1图
解：
ππ2223
M2(s)dsM(θ)Rdθ(FRsinθ)RdθπFR
=∫2+∫2= U=∑∫002EI2EI2EI8EI
2．图示刚架各杆的EI皆相等，试求截面A、B的位移 1题2图 x1 x3
qlql 122
(a)(b)11(c)1 - 131 -
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M(x1)=0
解：利用对称性，可求得两点约束反力如图（a）所示，弯矩方程：
qlq2；
M(x2)=x2−x2
22
M(x1)=0
（b）图为A截面加单位力外力图，弯矩方程：
1；
M(x2)=x2
2M(x1)=x1M(x2)=−h
；
（c）图为B截面加单位力外力图，弯矩方程：
根据对称性，
ΔAx=0ΔBy=0
；
ΔAy
ΔBx
xqlq2
)×(2)dx2x2−x24
5ql22(↓)=2∫2=
384EIEI
；
qlq2
)×hdx2x2−x2l(ql3h222(→)=2∫=
012EIEI
l20
(
- 132 -
