2014年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)

数学（理科）

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

7+i（1）【2014年天津，理1，5分】i是虚数单位，复数=（ ）

3+4i17311725（A）1-i （B）-1+i （C）+i （D）-+i

772525【答案】A

(7+i)(3-4i)25-25i7+i===1-i，故选A． 【解析】

3+4i(3+4i)(3-4i)25【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．

xy20（2）【2014年天津，理2，5分】设变量x，y满足约束条件xy20，则目标函数zx2yy1的最小

值为（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 【答案】B

【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点(1,1)时，z取得最小值3，故选B．

y21O-22x【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． （3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（ ）

（A）15 （B）105 （C）245 （D）945 【答案】B

【解析】i=1时，T=3，S=3；i=2时，T=5，S=15；i=3时，T=7，S=105，i=4输出S=105，

故选B．

【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键． （4）【2014年天津，理4，5分】函数f(x)=log1(x2-4)的单调递增区间是（ ）

2

（A）(0,+¥) （B）(-¥,0) （C）(2,+¥) （D）(-?,2)

【答案】D

【解析】x2-4>0，解得x<-2或x>2．由复合函数的单调性知f(x)的单调递增区间为(-?,2)，故选D． 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．

x2y2（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，

ab双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）

x2y2x2y23x23y23x23y2 （A）-=1 （B）-=1 （C）-=1 （D）-=1

5202052510010025【答案】A

ìïb=2aïïx2y222ï【解析】依题意得íc=5，所以a=5，b=20，双曲线的方程为-=1，故选A． ï520ï222ïïîc=a+b【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

（6）【2014年天津，理6，5分】如图，DABC是圆的内接三角形，ÐBAC的平分线交圆于点D，交 BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论： B①BD平分ÐCBF；②FB2=FD?FA；③AE?CEBE?DE；④AF?BDAB?BF．则所有正确

1

FACED结论的序号是（ ）

（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ 【答案】D

【解析】∵圆周角DBC对应劣弧CD，圆周角DAC对应劣弧CD，∴DBCDAC．∵弦切角FBD对应

劣弧BD，圆周角BAD对应劣弧BD，∴FBDBAF．∵BD是BAC的平分线，∴BAFDAC． ∴DBCFBD．即BD平分CBF．即结论①正确．又由FBDFAB，BFDAFB，得

FBFDBFBD．由，FB2FDFA．即结论②成立．由，得AFBDFABFBDABBF．即

FAFBAFAB结论④成立．正确结论有①②④，故选D．

【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题． （7）【2014年天津，理7，5分】设a,bÎR，则|“a>b”是“aa>bb”的（ ） （A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件 【答案】C

【解析】解法一：

ìïx2,x³0ï设f(x)=xx，则f(x)=í2，所以f(x)是R上的增函数，“a>b”是“aa>bb”的充要条件，ïïî-x,x<0故选C． 解法二：

若ab0，则不等式aa>bb等价为a?ab?b此时成立．若0ab，则不等式aa>bb等价为

aabb，即a2b2，此时成立．若a0b，不等式aa>bb等价为aabb，即a2b2，

此时成立，综上则“a>b”是“aa>bb”的充要条件，故选C．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．

BE=lBC，?BAD120，（8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形ABCD的边长为2，点E,F分别在边BC,DC上，

2DF=mDC．若AE?AF1，CE?CF-，则l+m=（ ）

31257（A） （B） （C） （D）

23612【答案】C

【解析】因为?BAD120，所以AB?ADAB鬃ADcos120=-2．因为BE=lBC，所以AE=AB+lAD，

3AF=mAB+AD．因为AE?AF1，所以AB+lAD?mABAD=1，即2l+2m-lm= ①

225同理可得lm-l-m=- ②，①+②得l+m=，故选C．

36【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．

()()第II卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的

方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 【答案】60

4【解析】应从一年级抽取300?60名．

4+5+5+6【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各 层的样本数之比，属于基础题．

（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的

22体积为 m3． 44正视图侧视图20p【答案】

32

俯视图24【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高

1820为2，底面直径为4，∴几何体的体积V1242224．

333【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关

键．

（11）【2014年天津，理11，5分】设{an}是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1,S2,S4 成等比数列，则a1的值为 ．

1【答案】-

21． 2【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． 【解析】依题意得S22=S1S4，所以(2a1-1)=a1(4a1-6)，解得a1=-2（12）【2014年天津，理12，5分】在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知b-c=则cosA的值为 ．

1【答案】-

412sinB=3sinC，a，4b2+c2-a213c【解析】因为2sinB=3sinC，所以2b=3c，解得b=，a=2c．所以cosA==-．

22bc4【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． （13）【2014年天津，理13，5分】在以O为极点的极坐标系中，圆r=4sinq和直线rsinq=a相交于A,B两点．若

DAOB是等边三角形，则a的值为 ．

【答案】3

【解析】圆的方程为x2+(y-2)=4，直线为y=a．因为DAOB是等边三角形，所以其中一 骣a÷,a÷个交点坐标为ç，代入圆的方程可得a=3． ç÷ç桫3【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐

标是解题的关键，属于基础题．

（14）【2014年天津，理14，5分】已知函数f(x)=x2+3x，xÎR．若方程f(x)-ax-1=02y3O1yx恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】0,19,

【解析】解法一：

（ⅰ）当y=-a(x-1)与y=-x2-3x相切时，a=1，此时f(x)-ax-1=0恰有3个

互异的实数根．

（ⅱ）当直线y=a(x-1)与函数y=x2+3x相切时，a=9，此时f(x)-ax-1=0恰 有2个互异的实数根． 结合图象可知09． 解法二：

4x2+3x显然a¹1，所以a=．令t=x-1，则a=t++5．

tx-13O1xy44?(?,4][4,+?)，所以t++5?(?,1][9,+?)． tt结合图象可得09．

【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，

难度较大．

三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

3（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数fxcosxsinx3cos2x，xR．

34因为t+3

91Ot（1）求fx的最小正周期；

（2）求fx在闭区间,上的最大值和最小值．

44骣1331÷2÷=sinx?cosxç解：（1）由已知，有f(x)=cosx?çsinxcosx-3cosx+÷ç÷ç2224桫33cos2x+ 24 =1sin2x-4331=sin2x-(1+cos2x)+4441骣p32x-÷cos2x=sinç÷． ç桫42ç3÷所以，f(x)的最小正周期T=2p=p． 2轾p轾pp骣p÷骣p÷p11ç-,--,上是增函数．fç-=-f-=- （2）因为f(x)在区间犏上是减函数，在区间犏，， ÷÷çç÷÷çç犏犏桫桫41212444122臌臌骣轾ppp÷111犏fç=-,．所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为． fx-()÷çç犏桫4÷44442臌2【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式T应

用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．

（16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同

学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院． 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

13C3?C72C30?C749=解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)=． 3C1060492p．所以，f(x)的最小正周期T==p．

260k3-kC4×C6（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3．P(x=k)=(k=0,1,2,3)． 3C10所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为

所以，随机变量X的分布列是 0 1 2 3 X 1131 P 62103011316随机变量X的数学期望E(X)=0?． 1?+2?3?6210305【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决

实际问题的能力．

（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，AD^AB，

AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （1）证明 BE^DC；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F为棱PC上一点，满足BF^AC，求二面角F-AB-P的余弦值． 解：解法一：

依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， PzP(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．

（1）向量BE=(0,1,1)，DC=(2,0,0)，故BE?DC0．所以，BE^DC．

（2）向量BD=(-1,2,0)，PB=(1,0,-2)．设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量，

AEyDCBx4

ìï-x+2y=0，即ï，不妨令y=1，可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个 íï0ïîx-2z=03n×BE23法向量，\\cosn,BE=．所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为． ==336´2n×BE（3）向量BC=(1,2,0)，CP=(-2,-2,2)，AC=(2,2,0)，AB=(1,0,0)．由点F在棱PC上，设CF=lCP，

0＃l1．故BF=BC+CF=BC+lCP=(1-2l,2-2l,2l)．由BF^AC，得BF?AC0，

骣1133÷ç-,,÷．设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向因此，2(1-2l)+2(2-2l)=0，解得l=．即BF=çç222÷桫4ìx=0ïìïïn?AB01ïï量，则í，即í1．不妨令z=1，可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向13ïï-x+y+z=0ïïîn1?BF0ï22î2n1×n2-3310量．取平面ABP的法向量n2=(0,1,0)，则cosn1,n2=． =-=1010´1n1×n10ìïn?BD则ïíïn?PBïî易知，二面角F-AB-P是锐角，所以其余弦值为310． 10解法二：

（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．由于E,M分别为PC,PD的中点，故

1EM//DC，且EM=DC，又由已知，可得EM//AB且EM=AB，故四边形

2ABEM为平行四边形，所以BE//AM．因为PA^底面ABCD，故PA^CD，而 CD^DA，从而CD^平面PAD，因为AMÌ平面PAD，于是CD^AM，又 BE//AM，所以BE^CD．

（2）连接BM，由（1）有CD^平面PAD，得CD^PD，而EM//CD，故PD^EM．又因为AD=AP，

M为PD的中点，故PD^AM，可得PD^BE，所以PD^平面BEM，故平面BEM^平面PBD． 直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE^EM，可得ÐEBM为锐角，故ÐEBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=22，而M为PD中点，可得AM=2，进而BE=2．

3EMAB1故在直角三角形BEM中，tan?EBM，因此sin?EMB． ==3BEBE23 所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．

3（3）如图，在DPAC中，过点F作FH//PA交AC于点H．因为PA^底面ABCD，故

从而FH^AC．又BF^AC，得AC^平面FHB，因此AC^BH． FH^底面ABCD，

在底面ABCD内，可得CH=3HA，从而CF=3FP．在平面PDC内，作FG//DC交

PD于点G，于是DG=3GP．由于DC//AB，故GF//AB，所以A,B,F,G四点共面．由AB^PA，

AB^AD，得AB^平面PAD，故AB^AG．所以ÐPAG为二面角F-AB-P的平面角．

1231010cos?PAG?APG45，在DPAG中，，由余弦定理可得AG=，． PA=2，PG=PD=42102310所以，二面角F-AB-P的斜率值为．

10【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解

答的关键．

x2y2（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆221（ab0）的左、右焦点为F1,F2，右顶点为A，上顶

ab3F1F2． 点为B．已知AB=2（1）求椭圆的离心率；

5

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆相切． 求

直线的斜率．

3c21222222F1F2，可得a+b=3c，又b=a-c，则2=． 解：（1）设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)．由AB=2a222所以，椭圆的离心率e=．a2+b2=3c，所以2a2-c2=3c2，解得a=2c，e=．

22x2y22222（2）由（1）知a=2c，b=c．故椭圆方程为2+2=1．设P(x0,y0)．由F1(-c,0)，B(0,c)，

2cc有F1P=(x0+c,y0)，F1B=(c,c)．由已知，有F1P?F1B0，即(x0+c)c+y0c=0．又c¹0，

x02y02故有x0+y0+c=0． ① 又因为点P在椭圆上，故2+2=1． ② 由①和②可得3x02+4cx0=0．

2cc骣4cc÷4cc-,÷．设圆的圆心为 而点P不是椭圆的顶点，故x0=-，代入①得y0=，即点P的坐标为ççç桫33÷33c4+c-c+02252233c．=c，进而圆的半径r=(x1-0)+(y1-c)==-c，y1= T(x1,y1)，则x1=32323设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=kx．由l与圆相切，可得kx1-y1k2+1即=r，

骣2c÷2ckç-÷-çç桫3÷3k2+1=5c， 3整理得k2-8k+1=0，解得k=4?15．所以，直线l的斜率为4+15或4-15．

【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距

离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

（19）【2014年天津，理19，14分】已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M={0,1,2,,q-1}，集合

A={xx=x1+x2q++xnqn-1,xi?M,i=1,2,,n}．

（1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

（2）设s,tÎA，s=a1+a2q++anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，其中ai,biÎM，i=1,2,,n．证明：

若an解：（1）当q=2，n=3时，M={0,1}，A={xx=x1+2x2+4x3,xi?M,i可得，A={0,1,2,3,4,5,6,7}． 1,2,3}．

（2）由s,tÎA，s=a1+a2q++anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，ai,biÎM，i=1,2,,n及an可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q++(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1

?(q1)+(q-1)q++(q-1)qn-2-qn-1=(q-1)(1-qn-1)1-q【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基

本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

xÎR．（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数f(x)=x-aex(aÎR)，已知函数y=f(x) 有两个零点x1,x2，

且x1（1）求a的取值范围；

x（2）证明2随着a的减小而增大；

x1（3）证明x1+x2随着a的减小而增大．

解：（1）由f(x)=x-aex，可得f¢(x)=1-aex．下面分两种情况讨论：

1）a£0时，f¢(x)>0在R上恒成立，可得f(x)在R上单调递增，不合题意．

2）a>0时，由f¢(x)=0，得x=-lna．当x变化时，f¢(x)，f(x)的变化情况如下表：

-qn-1=-1<0．所以，sx (-?,lna) 6

-lna (-lna,+¥)

f¢(x) ＋ ↗ 0 -lna-1 － ↘ f(x) 这时，f(x)的单调递增区间是(-?,lna)；单调递减区间是(-lna,+¥)．于是，“函数y=f(x)有 两个零点”等价于如下条件同时成立：（1）f(-lna)>0；（2）存在s1?(?,lna)，满足f(s1)<0； 3）存在s2?(lna,+?)，满足f(s2)<0．由f(-lna)>0，即-lna-1>0，解得00．由已知，x1,x2

满足a=g(x1)，a=g(x2)．由aÎ(0,e-1)，及g(x)的单调性，可得x1Î(0,1)，x2?(1,?)．

对于任意的a1,a2Î(0,e-1)，设a1>a2，g(x1)=g(x2)=a1，其中0其中0a2，即g(x1)>g(h1)，可得x1>h1；类似 可得x20，得

x2h2h2x<<．所以，2随着a的减小而增大． x1x1h1x1x2． x1（3）由x1=aex1，x2=aex2，可得lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2．故x2-x1=lnx2-lnx1=ln设

ìx2=tx1ï(t+1)lntx2lnttlnt=t，则t>1，且ïx+x=，解得，．所以，． ① x=x=í1221ïx1t-1x-x=lntt-1t-11ïî2令h(x)=(x+1)lnxx-12，x?(1,?)，则h¢(x)=-2lnx+x-(x-1)21x．令u(x)=-2lnx+x-1，

x骣x-1÷得u¢(x)=ç．当x?(1,?)时，u¢(x)>0．因此，u(x)在(1,+¥)上单调递增，故对于任意的 ÷ç÷ç桫xx?(1,?)，u(x)>u(1)=0，由此可得h¢故h(x)在(1,+¥)上单调递增．因此，由①可得x1+x2 (x)>0，

随着t的增大而增大．而由（2），t随着a的减小而增大，所以x1+x2随着a的减小而增大．

【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽

象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．

7