2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第6节 指数与指数函数教案 理 新人教版

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指数与指数函数

[考试要求] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函11

数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.

23

3.体会指数函数是一类重要的函数模型．

1．根式

(1)n次方根的概念

①若x＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

n*

nx＝na，当n为奇数且n∈N，n＞1时，

x＝a⇒

x＝±na，当n为偶数且n∈N时.

*

n*

(2)根式的性质

①(a)＝a(n∈N，n＞1)．

nn*

a，n为奇数，n②a＝a，a≥0，

|a|＝

－a，a＜0，

n

n为偶数.

2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念

mnm*

①正分数指数幂：an＝a(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；

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m②负分数指数幂：an＝

－

＝ (a＞0，m，n∈N，且n＞1)；

*

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aa＝arsrsr＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(a)＝a(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)＝ab(a＞0，b＞0，r∈Q)．

提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3．指数函数的概念

函数y＝a(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.

提醒：形如y＝ka，y＝a数，不是指数函数．

4．指数函数的图象与性质

xx＋kxrrrrs(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函

y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 R (0，＋∞) 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1； 性质 当x＜0时，0＜y＜1 在R上是增函数 [常用结论] 1．指数函数图象的画法

当x＜0时，y＞1 在R上是减函数 画指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1

－1，.

a

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝a，(2)y＝b，(3)y＝c，(4)y＝d的图象，底数a，b，c，

xxxxx2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第6节 指数与指数函数教案 理 新人教版

d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限

内，指数函数y＝a(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．

x

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(a)＝a. 21

(2)(－1)4＝(－1)2＝－1.

nnnn ( )

( ) ( ) ( )

x2＋1

(3)函数y＝a (a＞1)的值域是(0，＋∞)．

(4)若a＜a(a＞0，且a≠1)，则m＜n. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生

mn1x1．若函数f (x)＝a(a＞0，且a≠1)的图象经过点P2，，则f (－1)＝________.

2

122

2 [由题意知＝a，所以a＝，

22

22

所以f (x)＝，所以f (－1)＝＝2.]

22

484

2．化简16xy(x＜0，y＜0)＝________. 44284

－2xy [16xy＝

2xy2

4

x－1

＝|2xy|＝－2xy.]

22

113－－－333434

3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

552

3c＜b＜a [∵y＝是减函数，

5

110－－333∴3＞4＞， 555

x2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第6节 指数与指数函数教案 理 新人教版

则a＞b＞1，

30－33

又c＝4＜＝1，

22∴c＜b＜a.]

4．某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为________．

y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N) [当x＝1时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，

当x＝2时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)， 当x＝3时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)， ……

当x＝m时，y＝a(1＋p%)，

因此y随年数x变化的函数解析式为y＝a(1＋p%)(0≤x≤m，x∈N)．]

xm2

2

32

考点一 指数幂的化简与求值

指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 21－－27－10

1．计算：－3＋0.0022－10(5－2)＋π＝________.

8

－2

1673－ [原式＝－＋500－

92167

20＋1＝－.]

9

12

105－2

5＋2

5＋2

4

＋1＝＋105－105－

9

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2．

3．已知ab＝－5，则a－＋bba－＝________.

ab0 [由ab＝－5知a与b异号， ∴a－＋bba－＝aab－

ab＋ba2

－

aba5b5＝＋＝0.] b2|a||b|

点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如11－122＝4. 4

考点二 指数函数的图象及其应用

指数函数图象问题的求解策略

对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)变换作图 的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解 数形结合

一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 [典例1] (1)函数f (x)＝a的是( )

x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确

A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0

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D．0＜a＜1，b＜0

(2)若曲线y＝|3－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．

(1)D (2)(0,1) [(1)由f (x)＝ax－bx的图象可以观察出，函数f (x)＝ax－bxx－b在定

义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f (x)＝a平移得到的，所以b＜0.故选D．

的图象是在f (x)＝a的基础上向左

(2)曲线y＝|3－1|的图象是由函数y＝3的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．]

xxx

[母题变迁]

1．若本例(2)条件变为：方程3－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．

(0，＋∞) [作出函数y＝3－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．

|x|

|x|

]

2．若本例(2)的条件变为：函数y＝|3－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数

xm的取值范围是________．

(－∞，－1] [作出函数y＝|3－1|＋m的图象如图所示．

x

由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]

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点评：注意区分函数y＝3与y＝|3|

|x|xy＝3|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，y＝|3x|不是偶函数，其图象都在x轴上

方，在这里y＝|3|＝3.

[跟进训练]

1．已知函数f (x)＝a过点A的是( )

A．y＝1－x C．y＝2－1

xx－1

xx(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经

B．y＝|x－2| D．y＝log2(2x)

A [易知A(1,1)．经验证可得y＝1－x的图象不经过点A(1,1)，故选A．] 2．已知实数a，b满足等式2 019＝2 020，下列五个关系式： ①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b. 其中不可能成立的关系式有________(填序号)．

③④ [作出y＝2 019及y＝2 020的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 019＝2 020，而③④不可能成立．]

abxxab

考点三 指数函数的性质及其应用

比较指数式的大小

比较幂值大小的三种类型及处理方法

[典例2－1] (1)已知a＝2，b＝0.4，c＝0.4，则( ) A．a＞b＞c C．c＞a＞b

xy－y－x0.20.20.6B．a＞c＞b D．b＞c＞a

(2)若2＋5≤2＋5，则有( ) A．x＋y≥0 C．x－y≤0

B．x＋y≤0 D．x－y≥0

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(1)A (2)B [(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.4＞0.4，即b＞c.因为a＝2＞1，b＝0.4＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c，故选A．

(2)设函数f (x)＝2－5，易知f (x)为增函数．又f (－y)＝2－5，由已知得f (x)≤f (－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.]

点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识．

解简单的指数方程或不等式

指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据 ①af ＝a②af ＞a(x)(x)0.6

0.2

0.2

0.2

x－x－yyg(x)⇔f (x)＝g(x)． ，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)； g(x)当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)． (2)解指数方程或不等式的方法 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解． x4，x≥0，

[典例2－2] (1)已知实数a≠1，函数f (x)＝a－x2，x＜0，

若f (1－a)＝f

(a－1)，则a的值为________．

1－7，x＜0，

(2)设函数f (x)＝2

x，x≥0，________．

111－a1

(1) (2)(－3,1) [(1)当a＜1时，4＝2，解得a＝；当a＞1时，代入不

221

成立．故a的值为.

2

x

若f (a)＜1，则实数a的取值范围是

11

(2)若a＜0，则f (a)＜1⇔－7＜1⇔＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0；

22

若a≥0，则f (a)＜1⇔a＜1，解得a＜1，故0≤a＜1. 综合可得－3＜a＜1.]

与指数函数有关的复合函数的单调性、值域

1.与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数y＝af 的单调性，它的单调区间与f (x)的单调区间有关： (x)aa2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第6节 指数与指数函数教案 理 新人教版

(1)若a＞1，函数f (x)的单调增(减)区间即函数y＝af 的单调增(减)区间； (2)若0＜a＜1，函数f (x)的单调增(减)区间即函数y＝af 的单调减(增)区间．即“同增异减”． 2．与指数函数有关的复合函数的值域

形如y＝af 的函数的值域，可先求f (x)的值域再根据函数y＝a的单调性确定y＝af 的值域．

(x)

(x)

(x)(x)t1ax－4x＋3

[典例2－3] 已知函数f (x)＝.

3

(1)若a＝－1，求f (x)的单调区间； (2)若f (x)有最大值3，求a的值；

(3)若f (x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

2

1－x－4x＋32

[解] (1)当a＝－1时，f (x)＝，令g(x)＝－x－4x＋3，由于

31

g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递

3

减，所以f (x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

2

12

(2)令g(x)＝ax－4x＋3，则f (x)＝3

应有最小值－1，

g(x)

，由于f (x)有最大值3，所以g(x)

a＞0，

因此必有3a－4

＝－1，a

解得a＝1，即当f (x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使f (x)的值域为(0，＋∞)， 应使y＝ax－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)． 故a的值为0.

点评：形如y＝af (a＞0)的函数的定义域就是函数y＝f (x)的定义域． [跟进训练]

(x)

2

2

x2＋11x－2

x1．若2≤，则函数y＝2的值域是( )

4

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1A．，2

8

1

－∞，C．

8

1

B．，2

8

D．[2，＋∞)

x2＋11x－2x2＋14－2x2

B [2≤ ⇔2≤2⇔x＋1≤4－2x，

4

1－3x解得－3≤x≤1，∴2≤2≤2，即≤y≤2，故选B．]

8

11－79x－x2．已知f (x)＝2－2，a＝4，b＝5，则f (a)，f (b)的大小关系是

97________．

1111－7999

f (a)＞f (b) [a＝4＝4，则4＞5，即a＞b，

9777又函数f (x)＝2－2是R上的增函数． ∴f (a)＞f (b)．]

x－x1x＋2x－1

3．函数y＝的值域是________．

212

(0,4] [设t＝x＋2x－1，则y＝.

2

11

因为0＜＜1，所以y＝为关于t的减函数．

22

tt2

112

因为t＝(x＋1)－2≥－2，所以0＜y＝≤＝4，故所求函数的值域为

22

(0,4]．]

t－2

11＋1

4．函数y＝－在区间[－3,2]上的值域是________．

42311，57 [令t＝，由x∈[－3,2]得t∈，8， 42413y＝t2－t＋1＝t－＋，

24

133当t＝时，ymin＝，当t＝8时，ymax＝57，故所求值域为，57.]

244 考点四 指数型函数的综合应用

2

xxx2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第6节 指数与指数函数教案 理 新人教版

指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题． 2a－4＋a[典例3] 已知函数f (x)＝(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数． x2a＋a(1)求a的值；

(2)求函数f (x)的值域；

(3)当x∈[1,2]时，2＋mf (x)－2≥0恒成立，求实数m的取值范围． [解] (1)∵f (x)是R上的奇函数，∴f (－x)＝－f (x)， 2a－4＋a2a－4＋a即＝－，得a＝2. －xx2a＋a2a＋a(注：本题也可由f (0)＝0解得a＝2，但要进行验证) 2·2－22－12(2)由(1)可得f (x)＝＝x＝1－x， x2·2＋22＋12＋1∴函数f (x)在R上单调递增． 2x又2＋1＞1，∴－2＜－x＜0，

2＋12

∴－1＜1－x＜1.

2＋1

∴函数f (x)的值域为(－1,1)． 2－1

(3)当x∈[1,2]时，f (x)＝x＞0.

2＋1

2－1x由题意得mf (x)＝m·x≥2－2在x∈[1,2]时恒成立，

2＋1∴m≥

2＋12－2

在x∈[1,2]时恒成立． x2－1

xxxxxxx－xxxx令t＝2－1,1≤t≤3， 则有m≥

t＋2

tt－1

2

＝t－＋1.

t∵当1≤t≤3时，函数y＝t－＋1为增函数，

2

t10102

∴t－＋1max＝.∴m≥.

33t

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10

故实数m的取值范围为，＋∞.

3

点评：在指数型函数的综合应用中，把a看作一个整体，即令t＝a是常用的思维意识．

[跟进训练]

xxax－1

已知函数f (x)＝x(a＞0，且a≠1)．

a＋1

(1)求f (x)的定义域和值域； (2)讨论f (x)的奇偶性； (3)讨论f (x)的单调性．

[解] (1)由a＋1＞1知，f (x)的定义域为R，

xax－12

f (x)＝x＝1－x，

a＋1a＋1

由a＋1＞1得0＜

x2

＜2， a＋1

x∴－1＜f (x)＜1，即函数f (x)的值域为(－1,1)．

a－x－11－ax(2)因为f (－x)＝－x＝＝－f (x)，

a＋11＋ax所以f (x)是奇函数．

ax＋1－22

(3)f (x)＝＝1－.

ax＋1ax＋1

设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2， 22

则f (x1)－f (x2)＝ax2＋1－ax1＋1＝

.

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