湖南省醴陵市第一中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题

数学试卷

时量：120分钟 总分：150分

班级：________ 姓名___________ 考号______________

一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.若且,则在( ) A. 第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

2.向量，若，则的值为（ ） A. B.2 C. D.-

3．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( ) A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ) 4．下列命题正确的是( )

A．单位向量都相等 B．若与共线，与共线，则与共线 C．若，则 D．若与都是单位向量，则

→→

5.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设AB＝a，AC＝b，以向量a，b为基底，→

则向量AE＝( )

111111A.2a＋b B.4a＋2b C．a＋2b D.2a＋4b

6.在△ABC中，角所对的边分别为，若，则这个三角形一定是（ ） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

7.一条河的两岸平行，河水从西向东流去，一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸．已知船的速度|v1|＝20 km/h，水流速度|v2|＝10 km/h，要使该船行驶的航程最短，则船速v1的方向与河道南岸上游的夹角为( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

A.1 B.2 C.3 D.4

- 1 -

→→→→

9.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，D是BC边上一点，且CD＝2DB，则AD·BC 的值为( )．

A. -2 B.2 C. D.

10.已知点是平面上一动点，内角为,且动点P满足：

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

2

11．函数f(x)＝2|cos x|＋cos x－3在区间[0，2π]内的零点个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

12．在锐角△ABC中，分别为内角所对的边，若，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．) 13.已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于______

14.弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移y(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化曲线如图所示，则小球在开始振动(即t＝0)时离开平衡位置的位移是__________．

15.若函数y＝sinx（a＜x＜b）的值域是则b﹣a的最大值是

16.已知且，若成立，则的取值范围是______.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤) 17.（10分）

18、（12分）

在中，角A、B、C所对的边分别为、、，且，.

- 2 -

(1)若，求的值； (2)若的面积，求、的值.

19.（12分） 已知向量，且 （1）当时，求

（2）设函数，求函数的最大值及相应的x的值.

π4

20．（12分）已知0<α<2<β<π，sin(α＋β)＝5，

(1)求sin 2β的值；

π

21.（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ 0 π2 π3 5 π 3π2 5π6 －5 2π 0 x Asin(ωx＋φ) 0 （1）请将上表数据补充完整并求函数的单调减区间；

π

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

- 3 -

22．（本题满分12分）.

某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过60米.设. （1）求的长（用表示）；

（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？

2019年上学期醴陵一中高一年级期中考试

数学试卷

时量：120分钟 总分：150分

班级：________ 姓名___________ 考号______________

一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.若且,则在(B ) A. 第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

2.向量，若，则的值为（ A ） A. B.2 C. D.-

3．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( A ) A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ) 4．下列命题正确的是( C )

A．单位向量都相等 B．若与共线，与共线，则与共线 C．若，则 D．若与都是单位向量，则

→→

5.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设AB＝a，AC＝b，以向量a，b为基底，→

则向量AE＝( B )

- 4 -

111111A.2a＋b B.4a＋2b C．a＋2b D.2a＋4b

6.在△ABC中，角所对的边分别为，若，则这个三角形一定是（ C ） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

7.一条河的两岸平行，河水从西向东流去，一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸．已知船的速度|v1|＝20 km/h，水流速度|v2|＝10 km/h，要使该船行驶的航程最短，则船速v1的方向与河道南岸上游的夹角为( C )

A．30° B．45° C．60° D．90°

A.1 B.2 C.3 D.4

→→→→

9.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，D是BC边上一点，且CD＝2DB，则AD·BC 的值为( A )．

A. -2 B.2 C. D.

10.已知点是平面上一动点，内角为,且动点P满足：

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

2

11．函数f(x)＝2|cos x|＋cos x－3在区间[0，2π]内的零点个数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4

12．在锐角△ABC中，分别为内角所对的边，若，则的取值范围是（D）． A． B． C． D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．) 13.已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于_24_____

14.弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移y(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化曲线如图所示，则小球在开始振动(即t＝0)时离开平衡位置的位移是___33_______．

15.若函数y＝sinx（a＜x＜b）的值域是则b﹣a的最大值是

- 5 -

16.已知且，若成立，则的取值范围是_.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤) 17.（10分）

答案（1）-1 （2）1

18、（12分）

在中，角A、B、C所对的边分别为、、，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求、的值。

3

解：(1)因为cos B＝5>0，0所以sin B＝1－cos2

B＝5 ………3分

aba2

由正弦定理得sin A＝sin B，所以sin A＝b sin B＝5 ……….6分 14

(2)因为S△ABC＝2acsin B＝5c＝4，所以c＝5 ………9分 3

由余弦定理得b2

＝a2

＋c2

－2accos B＝22

＋52

－2×2×5×5＝17，

所以b＝17 …………12分 19.已知向量，且 （1）当时，求

（2）设函数，求函数的最大值及相应的x的值. （1） ，）由 得 ＝

= 当时，= 6分 （2）-=

=

- 6 -

由 得,当 ，即时 12分

π4

20．已知0<α<2<β<π，sin(α＋β)＝5，

(1)求sin 2β的值；

πππ221解：(1)法一：因为cosβ－4＝cos4cos β＋sin4sin β＝2cos β＋2sin β＝3，

227

所以cos β＋sin β＝3，所以1＋sin 2β＝9，所以sin 2β＝－9. 6分

π

法二：sin 2β＝cos2－2βπ7

＝2cos2β－4－1＝－9. 

πππ3π3π

(2)因为0<α<2<β<π，所以4<β－4<4π，2<α＋β<2. ππ14所以sinβ－4>0，cos(α＋β)<0，因为cosβ－4＝3，sin(α＋β)＝5， π223所以sinβ－4＝3，cos(α＋β)＝－5. ππ所以cosα＋4＝cos（α＋β）－β－4 ππ3142282－3

＝cos(α＋β)cosβ－4＋sin(α＋β)sinβ－4＝－5×3＋5×3＝15. 12分

π

21.某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ 0 π2 π3 5 π 3π2 5π6 －5 2π 0 x Asin(ωx＋φ) 0 （1）请将上表数据补充完整并求函数的单调减区间；

π

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

- 7 -

π

(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－6，数据补全如下表：

ωx＋φ 0 π12 0 π2 π3 5 π 7π12 0 3π2 5π6 －5 2π 13π12 0 x Asin(ωx＋φ)

π且函数解析式为f(x)＝5sin2x－6. 4分 减区间 6分

π(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－6，

πππ因此g(x)＝5sin2x＋6－6＝5sin2x＋6. 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， πkππ

令2x＋6＝kπ，k∈Z，解得x＝2－12，k∈Z，

kππ－，0即y＝g(x)图象的对称中心为212，k∈Z， π－，0其中离原点O最近的对称中心为12. 12分

22．（本题满分12分）.

某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过60米.设. （1）求的长（用表示）；

（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？

- 8 -

解： （1）过点作垂直于，垂足为

在直角三角形中，，

所以，因此．．．．．．．．．．．．3分

（2）由图可知，点处的观众离点最远 ．．．．．．．．．．．．5分 在三角形中，由余弦定理可知

．．．．．．9分 因为，所以当，即时， (OP2

)max＝800＋1600， 又(OP2)max＝800＋1600

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米．

故对于任意，上述设计方案均能符合要求． ．．．．．．12分

- 9 -