【最新】人教版九年级数学上册期末试卷(及答案)

（含答案）

（时间：120分钟 满分：100分）

一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1．抛物线yx123的顶点坐标为

A．1,3 B．

1,3 C．1,3 D．3,1

4，32．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P轴正半轴的夹角为α，则tan的值为 A．3 B．4

5C．3

45D．4

3，OP与xy321Pα1234Ox

3．方程x2x30的根的情况是

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根

4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△ABC，当B，C，A在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为 A．150° B．120° C．60° D．30°

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数

y2(x0)的图象上的一点，则矩形xyCOBBCA'AB'OABC的面积为

AxA．1 C．3

B．2 D．4

6．如图，在△ABC中，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD:AB=2:3，DE∥BC，则△ADE和△ABC的面积之比等于 ．．

A．2:3 B．4:9 C．4:5 D．BDAEC2:3 7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为

PABQ30°30°CD闸机箱

图1 图2

A．(543+10)cm

闸机箱 B．(542+10)cm

C．cm D． 54cm

8．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是

A．y1 B.y2 C．y3 D.y4

y1y2y3y54321–6–5–4–3–2–1

二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程x23x0的根为．

10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．

y4–1–2–3–4O1234x11．已知抛物线的对称轴是xn，若该抛物线与x轴交于，两（，10）（3，0）点，则n的值为．

12．在同一平面直角坐标系xOy中，若函数yx与yk0的图象有两个交点，则k的取值范围是．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A把△OAB缩小得到△OABO为位似中心，的坐标为．

yk

x

2，4，B4，02，0，以原点，则点A.若B的坐标为

54321AOB'123B45x(2，y2)是反比例函数图象上两个点的坐标，14．已知(1，y1)，且y1y2，

请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A3，0，判断在M，N，P，Q四

点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线yy21PM12A345O–1–2xNQ2上的一个动点，

⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为．

Py321

Q

三．解答题（共52小题）

17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60° 18．函数y＝mx﹣2mx﹣3m是二次函数．

2

–3–2–1O123x（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝ ； （2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．

19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4． （1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；

（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．

21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．

请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：

（1）盲区1的面积约是 m；盲区2的面积约是 m； （

≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）

（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的

2

2

圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域． 22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上． （1）在该网格中画出△A2B2C（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1； 2（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．

23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F． 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE＝2∠EBD； （2）如果AB＝5，sin∠EBD＝

．求BD的长．

24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表： （1）如果在三月份出售这种植物，单株获利 元；

（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）

25．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，

取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为

xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值

为0；当点P与点B重合时，y的值为3）

小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小凡的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm y/cm

0 0

1 2.2

2 3 4 3.4

5 3.3

6 3

3.2

（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的

点，画出该函数的图象；

（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 cm．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax+bx+3a过点A（﹣1，0）． （1）求抛物线的对称轴；

（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围． 27．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且

2

AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．

（1）∠BFE的度数是 ； （2）如果（3）如果明．

＝，那么

＝ ；

＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证

28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2

），F（﹣2，0）．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是 ；

②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．

（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．

答 案

一、选择题（本题共24分，每小题3分） 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 A 5 B 6 B 7 C 8 A 第8题：二次函数a的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a︳越大，开口越小，显然a12 9．x10，x23 10．π11．2 12．k013．1，14．答案不唯一，如：y115．M，N 16．x3 3 第16题：OQ2=OP2-1,OP最小时，OQ最小，OPmin=2，∴OQmin=三．解答题（共52小题）

17．计算：sin60°﹣tan45°+2cos60° 【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解：原式＝＝＝

．

【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．

18．函数y＝mx﹣2mx﹣3m是二次函数．

（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝ ﹣1 ；

（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．

2

【分析】（1）由抛物线与y轴交于（0，3），将x＝0，y＝3代入抛物线解析式，即可求出m的值；

（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象． 【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴交于点（0，3）， ∴把x＝0，y＝3代入解析式得：﹣3m＝3， 解得m＝﹣1， 故答案为﹣1；

（2）由（1）可知函数的解析式为y＝﹣x+2x+3， ∵y＝﹣x+2x+3＝﹣（x﹣1）+4， ∴顶点坐标为（1，4）； 列表如下：

2

2

2

x y

描点；

﹣2 ﹣5

﹣1 0

0 3

1 4

2 3

3 0

4 ﹣5

画图如下：

【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．

19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．

（1）求证：△ADE∽△ACB；

（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．

【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．

（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知

＝

，从而列出方程解出x的值．

【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB；

（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，

∴＝，

∵点E是AC的中点，设AE＝x， ∴AC＝2AE＝2x， ∵AD＝8，AB＝10， ∴

＝

，

， ．

解得：x＝2∴AE＝2

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直，AB＝4． （1）如果反比例函数y＝的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式；

（2）如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出k的取值范围．

【分析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

（2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得． 【解答】解：（1）由题意得，A（2，2）， ∵反比例函数y＝的图象经过点A， ∴k＝2×2＝4，

∴反比例函数的表达式为：y＝；

（2）由图象可知：如果反比例函数y＝的图象与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是0＜k≤4或﹣4≤k＜0．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．

21．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．

请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：

（1）盲区1的面积约是 5 m；盲区2的面积约是 4 m； （

≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）

（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域． 【分析】（1）作OP⊥CD于P．根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1．解直角△ODP，得出OP＝DP•tan∠D＝

，再利用梯

2

2

形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN，求出BE＝

≈4，那么S△BEN＝BE•EN≈4m，即为盲区2的面积；

（2）利用勾股定理求出AC＝AD＝＝

＝

，AM＝AN＝

＝＝

，AH＝AG，得到AC最大，

2

那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域． 【解答】解：（1）如图，作OP⊥CD于P． ∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4， ∴DP＝（CD﹣OB）＝1． 在直角△ODP中，∵∠D＝60°，

∴OP＝DP•tan∠D＝1×＝，

＝3

≈3×1.7≈5（m），

2

∴S梯形OBCD＝（OB+CD）•OP＝（2+4）•即盲区1的面积约是5m；

2

在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2， ∴BE＝

≈

＝4，

2

∴S△BEN＝BE•EN≈×4×2＝4（m）， 即盲区2的面积约是4m． 故答案为5，4；

（2）∵AC＝AD＝

＝

＝＝

， ，

，

2

AH＝AG＝AM＝AN＝

∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，

∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域． 如图所示．

【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

22．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上． （1）在该网格中画出△A2B2C（顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1； 2（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．

【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可； （2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．

【解答】解：（1）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C2＝2，再在网格中取一格点

B2，使∠C2A2B2＝135°，且A2B2＝

则△A2B2C2∽△A1B1C1；

∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝2∴

＝

，

，

＝，∠C2A2B2＝∠C1A1B1，

∴△A2B2C2∽△A1B1C1．

【点评】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．

23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F． 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE＝2∠EBD； （2）如果AB＝5，sin∠EBD＝

．求BD的长．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠

EBD＝∠BAF即可解决问题；

（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝＝

，推出BE＝2BF＝2

，AB＝5，推出BF，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，

＝

，由此即可求

推出BH＝出DH解决问题；

＝4，由EH∥AB，推出

【解答】（1）证明：连接AF．

∵AB是直径， ∴∠AFB＝90°， ∴AF⊥BE， ∵AB＝AE， ∴∠BAE＝2∠BAF， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠ABD＝90°，

∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°， ∴∠EBD＝∠BAF， ∴∠BAE＝2∠EBD．

（2）解：作EH⊥BD于H． ∵∠BAF＝∠EBD， ∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝∴BF＝

，

，

，∵AB＝5，

∴BE＝2BF＝2

在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2， ∴BH＝∵EH∥AB， ∴

＝

， ，

＝4，

∴＝

∴DH＝， ∴BD＝BH+HD＝

．

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．

24．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：

（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利 1 元；

（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）

【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解；

（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1＝﹣x+7；同理，抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）+1，故：y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）﹣1＝﹣（x﹣5）+，即可求解．

【解答】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，

则每株获利为5﹣4＝1（元）， 故：答案为1；

（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0）， 把点（3，5）、（6，3）代入上式得：

，解得：

，

2

2

2

∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；

设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）+n，

∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）+1， 把点（3，4）代入上式得： 4＝a（3﹣6）+1，解得：a＝﹣，

则抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣6）+1，

∴y1﹣y2＝﹣x+7+（x﹣6）﹣1＝﹣（x﹣5）+， ∵a＝﹣＜0，

∴x＝5时，函数取得最大值，

故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大．

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 25．如图，P是

所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交

于点C，

2

2

2

2

2

2

取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为

xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值

为0；当点P与点B重合时，y的值为3）

小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小凡的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm y/cm

0 0

1 2.2

2 3 4 3.4

5 3.3

6 3

2.9 3.2

（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的

点，画出该函数的图象；

（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3 cm．

【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC＝P′C′＝再利用勾股定理即可解决问题； （2）利用描点法即可解决问题；

（3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；

【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：

，

根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2， ∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，

∴PC＝P′C′＝∴CD＝

故答案为2.9．

， ≈2.9．

（2）利用描点法画出图象如图所示：

（3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x，

观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3）， ∴AP的长度为3.3．

【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax+bx+3a过点A（﹣1，0）． （1）求抛物线的对称轴；

（2）直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C．如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b2

＝4a，则解析式为y＝ax+4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴； （2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0；进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx+3a过点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+3a＝0， ∴b＝4a，

∴抛物线的解析式为y＝ax+4ax+3a， ∴抛物线的对称轴为x＝﹣

＝﹣2；

2

2

2

（2）∵直线y＝x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C， ∴B（0，4），C（﹣2，2），

∵抛物线y＝ax+bx+3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝﹣2， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（﹣3，0）， ①a＞0时，如图1，

将x＝0代入抛物线得y＝3a， ∵抛物线与线段BC恰有一个公共点， ∴3a≥4， 解得a≥， ②a＜0时，如图2，

将x＝﹣2代入抛物线得y＝﹣a， ∵抛物线与线段BC恰有一个公共点， ∴﹣a≥2， 解得a≤﹣2；

综上所述，a≥或a≤﹣2．

2

【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．

27．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且

AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．

（1）∠BFE的度数是 60° ； （2）如果（3）如果明．

＝，那么

＝ 1 ；

＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证

【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题． （2）如图1中，当

＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用

等腰三角形的性质即可解决问题；

（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△

CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出

关系式即可解决问题；

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°， 在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠DAF＝∠ABD，

∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°， 故答案为：60°．

（2）如图1中，当

＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．

∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，

∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠FAB＝∠FBA， ∴FA＝FB， ∴

＝1．

故答案为1．

（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，

∵△ABD≌△CAE，

∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m， ∵∠ADF＝∠BDA， ∴△ADF∽△BDA， ∴

＝

，

∴＝①，

∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°， ∴△BFE∽△BCD， ∴

＝

， ②，

，

∴＝

①÷②得到：＝∴

＝

．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是 D，E ；

②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．

（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围． 【分析】（1）①根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍，由此即可判定；

②如图2中，设直线EF交半径为2的⊙O于点K，连接OK，作KM⊥

），F（﹣2，0）．

OF于M．当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，求出点K的

坐标即可解决问题；

（2）因为△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，所以这个圆的圆心Q是线段FG的中点，易知Q（2，0），设这个圆的半径为r．根据QG≤2r，构建不等式即可解决问题；

【解答】解：（1）根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍．即半径为1的⊙O的“等径点”在以O为圆心2为半径的圆内或圆上．

如图1中，观察图象可知：在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是D，

E．

故答案为D，E；

②如图2中，设直线EF交半径为2的⊙O于点K，连接OK，作KM⊥

OF于M．

∵OF＝2，OE＝2∴tan∠EFO＝

， ＝

，

∴∠OFK＝60°， ∵OF＝OK，

∴△OFK是等边三角形， ∴OF＝OK＝FK＝2， ∵KM⊥OF， ∴FM＝OM＝1，KM＝∴K（﹣1，

），

＝

，

∵当点T在线段FK上时，点T是“等径点”， ∴﹣2≤m≤﹣1．

（2）如图3中，

∵△EFG是直角三角形，∠FEG＝90°，∠EFG＝60°， ∴EF＝2OF＝4，FG＝2EF＝8， ∴OG＝6，

由题意△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，这个圆的圆心Q是线段FG的中点，Q（2，0），设这个圆的半径为r． 由题意：QG≤2r ∴4≤2r， ∴r≥2，

即这个圆的半径r的取值范围为r≥2．

【点评】本题属于圆综合题，考查了“等径点”的定义，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．