2021-2022学年北师大版九年级数学上册试题 一课一练《矩形的性质与判定》习题(含答案)

一、选择题

1．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝50°，则∠BGE＝( )

A．100° B．90° C．80° D．70°

2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是( )

A．110° B．120° C．140° D．150°

3．在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：

甲：将矩形按图1所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；

乙：将矩形按图2所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形． 对于这两人的操作，以下判断正确的是( )

A．甲、乙都正确 C．甲不正确、乙正确

B．甲、乙都不正确 D．甲正确、乙不正确

4．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )

A．15° B．20° C．25° D．30°

5．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，且EF丄 EC，DE =2，矩形的周长为16，则AE的长是( )

A．3 B．4 C．5 D．7

6．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为( )

A．25 B．21 C．210

D．41

7．如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，P是AD上不与A和D重合的一

F，个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、则PEPF的值为( )

A．10 B．4.8 C．6 D．5

8．如图，在RtABC中，BAC90，AB3，AC4，P是斜边BC上动点，

PEAB于E，PFAC于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值是( )

A．4.8 B．3.6 C．2.4 D．1.2

9.如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，

EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是( )

A．四边形CEDF是平行四边形 B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形 C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形 D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形

10.如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是( )

A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90°

B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90° D．AB＝CD，AC＝BD

111.如图，在ABC中，ACB90,B28．分别以点A,B为圆心，大于AB2的长为半径画弧，两弧交于点D和E，直线DE交AB于点F，连结CF，则AFC的度数为( )

A．62 B．60 C．58 D．56

12.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )

A．20 B．12 C．14 D．13

13.如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA ，M是OP的中点，DM=4 cm．若点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( )cm．

A．7 B．6 C．5 D．4

14.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离( )

A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断

二、填空题

1.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝________°．

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E，则∠BOE的大小为______．

3.如图，矩形ABCD中，AB5cm，点E在AD上，且AE3cm，连接EC，将

ABE沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A处，则AC_________cm．

4.如图，D是△ABC中BC边中点，∠EDF＝60°，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若EF＝4，则BC＝__．

5.如图，在ABC中，ACB90，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD2，则线段EF的长是__________．

三、解答题

1.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△BCD沿BD所在直线翻折，使点C落在点F上，如果BF交AD于E．

(1)求证：△ABE≌△FDE； (2)求AE的长．

2.如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．

(1)求证：AF＝CE；

(2)连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．

3.如图，矩形ABCD中，AC2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形ABCD，使点B的对应点B落在AC上，在BC上取点F，使BFAB． BC交AD于点E，

(1)证：AECE． (2)FBB的度数． (3)知AB2，求BF的长．

4.如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．

(1)求证：四边形BECD是平行四边形；

(2)若∠A=50°,则当∠BOD=___°时，四边形BECD是矩形.

5.如图，在平行四边形ABCD中，AB2AD，E是CD的中点，连接AE、BE.

(1)求证：AE平分DAB；

EFAB． (2)过点A作AF∥BE，过点B作BF∥AE，AF、BF交于点F，连接EF，求证：

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF. 求证：(1)△ODE≌△FCE; (2)四边形OCFD是矩形。

7.如图，ABCD的对角线AC， BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO= 1， BO=2，AB5，求证：四边形OCED是矩形．

8.如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．

(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

(2)当AB=AC时，判断四边形DEFG的形状．(无需证明)

9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE 求证：(1)△ABF≌△DCE； (2)四边形ABCD是矩形．

10.已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．

(1)求证：D是BC的中点；

(2)如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

答案 一、选择题

1．A.2．B．3．A．4．B．5．A．6．D．7．B．8．D．9.D． 10.D．11.D．12.C．13.D．14.B． 二、填空题 1.35 2.75°．

83. 34.8． 5.2． 三、解答题

1.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠C=90°，

由翻折的性质可知，DF=DC，∠F=∠C=90°， ∴∠A=∠F=90°，AB=FD， ∵∠AEB=∠FED， ∴△AEB≌△FED(AAS)； (2)解：∵△AEB≌∠FED， ∴AE=EF，

根据折叠可得：BF=BC=4， 设AE=x，

则EF=x，BE=BF-EF=4x，

在Rt△AEB中，由勾股定理可得：AB2+AE2=EB2， 代入得：32+x2=(4x)2， 解得：x7 8即AE=

7． 82.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠B及AD=BC， 在ADF与△CBE中，

ADFCBE∵ADCB， DAFBCE∴△ADF△CBEASA， ∴AF=CE；

(2)如图，连接AC，

由(1)可知：AF=CE， ∴AF=4， 在RtADF中， ∵∠DAF=30°， ∴DF1AF2， 2∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD， ∴∠FCA=∠EAC， ∵AC平分∠FAE， ∴∠FAC=∠EAC， ∴∠FCA=∠FAC， ∴AF=CF=4， ∴CD=FC+DF=6.

3.解：(1)证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB ∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=60°

∵矩形旋转

∴ACB=∠ACB=30，∠BAC=BAC=60° ∴EAC=BAC-DAC=30° ∴EACACB=30° ∴AECE

(2)由(1)知∠BAC=60° ∵AB=AB

∴△ABB为等边三角形 ∴∠ABB=60° ∵∠ABC=90°

∴∠BBF=∠ABB+∠ABC=150° ∵BFAB ∴BFBB ∴FBB=BFB

∵FBBBFBBBF=180° ∴2FBB+150°=180° ∴FBB=15°

(3)如图，连接AF，作AHBF于点H

∵在Rt△ABH中，∠AHB=90°，AB=2，∠ABH=ABBFBB=45° ∴Rt△ABH是等腰直角三角形 ∴AH=BH=AB·sin∠ABH=2×

2=2 2∵在Rt△ABF中，∠ABF=90°，ABBF=AB=2

∴AF=AB2BF222 ∴在Rt△AHF中，HF=AF2AH26 ∴BF=BH+HF=2+6 4.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠OEB=∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO=CO，

在△BOE和△COD中

OEBODCBOECOD BOCO∴△BOE≌△COD(AAS)； ∴OE=OD，

∴四边形BECD是平行四边形；

(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形。理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠A=50°， ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，

∴∠ODC=100°−50°=50°=∠BCD， ∴OC=OD， ∵BO=CO，OD=OE， ∴DE=BC，

∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形； 故答案为：100.

5.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD， ∴∠EAB=∠DEA，

∵E是CD的中点，AB=2AD， ∴AD=DE， ∴∠DAE=∠DEA， ∴∠DAE=∠EAB， ∴AE平分∠DAB；

(2)证明：∵AF∥BE，BF∥AE， ∴四边形AFBE是平行四边形， 由(1)得：AE平分∠DAB， 同理：BE平分∠ABC，

∴∠DAE=∠EAB，∠CBE=∠ABE， ∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°， ∴∠EAB+∠ABE=

1×180°=90°， 2∴∠AEB=90°， ∴四边形AFBE是矩形， ∴EF=AB．

6.证明：(1)CF∥BD，

DOECFE，.

E是CD中点，DECE， 又DEOCEF

ODEFCE(AAS)

(2)ODEFCE，

ODFC，. CF∥BD，

四边形OCFD是平行四边形，

平行四边形ABCD是菱形，

DOC90.

平行四边形OCFD是矩形.

7.解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=5， ∵将△ABO平移到△DCE， ∴AO=DE=1，BO=CE=2， ∴CO=DE，DO=CE，

∴四边形OCED是平行四边形， ∵CO2+DO2=1+4=5，CD2=5， ∴CO2+DO2=CD2， ∴∠COD=90°，

∴平行四边形OCED是矩形．

8.解：(1)证明：∵BD、CE是△ABC的中线， ∴AE=BE，AD=CD， ∴DE∥BC，DE1BC， 21BC， 2∵F、G分别是OB、OC的中点， ∴FG∥BC，FG∴DE∥FG，DE=FG，

∴四边形DEFG是平行四边形；

(2)当AB=AC时，四边形DEFG是矩形． 证明：∵AB=AC，BD、CE是△ABC的中线， ∴BE=CD，∠EBC=∠DCB， 又BC=CB，

∴△EBC≌△DCB(SAS)， ∴CE=BD，∠BCE=∠CBD，

∴OC=OB， ∴OE=OD，

∵四边形DEFG是平行四边形， ∴OE11EG,ODDF， 22∴EG=DF，

∴四边形DEFG是矩形．

9.(1)∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF， ∴BF=CE．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC．

在△ABF和△DCE中， ∵AB=DC，BF=CE，AF=DE， ∴△ABF≌△DCE． (2)∵△ABF≌△DCE， ∴∠B=∠C．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠B+∠C=180°． ∴∠B=∠C=90°．

∴平行四边形ABCD是矩形．

10.(1)证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE． ∵AF∥BC，

∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE． 在△AFE和△DBE中，

FAEBDEAFEDBE AEDE∴△AFE≌△DBE(AAS)． ∴AF=BD． ∵AF=DC， ∴BD=DC．

即：D是BC的中点． (2)解：四边形ADCF是矩形； 证明：∵AF=DC，AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC即∠ADC=90°． ∴平行四边形ADCF是矩形．